基本概念
第一章 數和數的運算
一、概念
（一）整數
1、整數的意義
自然數和0都是整數。
2、自然數
我們在數物體的時候，用來表示物體個數的1，2，3……叫做自然數。
一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數。
3、計數單位
一（個）、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億……都是計數單位。其中「一」是計數的基本單位。
10個1是10，10個10是100……每相鄰兩個計數單位之間的進率都是10。這樣的計數法叫做十進位計數法。
4、數位
計數單位按照一定的順序排列起來，它們所佔的位置叫做數位。
5、整數的讀法：從高位到低位，一級一級地讀。讀億級、萬級時，先按照個級的讀法去讀，再在後面加一個「億」或「萬」字。每一級末尾的0都不讀出來，其它數位連續有幾個0都只讀一個零。
6、整數的寫法：從高位到低位，一級一級地寫，哪一個數位上一個單位也沒有，就在那個數位上寫0。
7、一個較大的多位數，為了讀寫方便，常常把它改寫成用「萬」或「億」作單位的數。有時還可以根據需要，省略這個數某一位後面的數，寫成近似數。
⑴ 準確數：在實際生活中，為了計數的簡便，可以把一個較大的數改寫成以萬或億為單位的數。改寫後的數是原數的準確數。 例如把 1254300000 改寫成以萬做單位的數是 125430 萬；改寫成 以億做單位 的數 12.543 億。
⑵ 近似數：根據實際需要，我們還可以把一個較大的數，省略某一位後面的尾數，用一個近似數來表示。 例如： 1302490015 省略億後面的尾數是 13 億。⑶ 四捨五入法：求近似數，看尾數最高位上的數是幾，比5小就捨去，是5或大於5捨去尾數向前一位進1。這種求近似數的方法就叫做四捨五入法。
8、整數大小的比較：位數多的那個數就大，如果位數相同，就看最高位，最高位上的數大，那個數就大；最高位上的數相同，就看下一位，哪一位上的數大那個數就大。以此類推。
（二）小數
1、小數的意義
把整數1平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾…… 可以用小數表示。如1/10記作0.1,7/100記作0.07。
一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾，三位小數表示千分之幾……
一個小數由整數部分、小數部分和小數點部分組成。數中的圓點叫做小數點，小數點左邊的數叫做整數部分，小數點左邊的數叫做整數部分，小數點右邊的數叫做小數部分。
小數點右邊第一位叫十分位，計數單位是十分之一（0.1）；第二位叫百分位，計數單位是百分之一（0.01）……小數部分最大的計數單位是十分之一，沒有最小的計數單位。小數部分有幾個數位，就叫做幾位小數。如0.36是兩位小數，3.066是三位小數
在小數裡，每相鄰兩個計數單位之間的進率都是10。小數部分的最高分數單位「十分之一」和整數部分的最低單位「一」之間的進率也是10。
2、小數的讀法：讀小數的時候，整數部分按照整數的讀法讀，小數點讀作「點」，小數部分從左向右順次讀出每一位數位上的數字。
3、小數的寫法：寫小數的時候，整數部分按照整數的寫法來寫，小數點寫在個位右下角，小數部分順次寫出每一個數位上的數字。
4、比較小數的大小：先看它們的整數部分，，整數部分大的那個數就大；整數部分相同的，十分位上的數大的那個數就大；十分位上的數也相同的，百分位上的數大的那個數就大……
5、小數的分類
⑴ 純小數：整數部分是零的小數，叫做純小數。例如： 0.25 、 0.368 都是純小數。
⑵ 帶小數：整數部分不是零的小數，叫做帶小數。 例如： 3.25 、 5.26 都是帶小數。
⑶ 有限小數：小數部分的數位是有限的小數，叫做有限小數。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小數。
⑷ 無限小數：小數部分的數位是無限的小數，叫做無限小數。 例如： 4.33 …… 3.1415926 ……
⑸ 無限不循環小數：一個數的小數部分，數字排列無規律且位數無限，這樣的小數叫做無限不循環小數。 例如：∏
⑹ 循環小數：一個數的小數部分，有一個數字或者幾個數字依次不斷重複出現，這個數叫做循環小數。 例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 ……
一個循環小數的小數部分，依次不斷重複出現的數字叫做這個循環小數的循環節。 例如： 3.99 ……的循環節是「 9 」 ， 0.5454 ……的循環節是「 54 」 。
⑺ 純循環小數：循環節從小數部分第一位開始的，叫做純循環小數。 例如： 3.111 …… 0.5656 ……
⑻ 混循環小數：循環節不是從小數部分第一位開始的，叫做混循環小數。 3.1222 …… 0.03333 ……
寫循環小數的時候，為了簡便，小數的循環部分只需寫出一個循環節，並在這個循環節的首、末位數字上各點一個圓點。如果循環 節只有一個數字，就只在它的上面點一個點。
（三）分數
1、分數的意義
把單位「1」平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數叫做分數。
在分數裡，中間的橫線叫做分數線；分數線下面的數，叫做分母，表示把單位「1」平均分成多少份；分數線下面的數叫做分子，表示有這樣的多少份。
把單位「1」平均分成若干份，表示其中的一份的數，叫做分數單位。
2、分數的讀法：讀分數時，先讀分母再讀「分之」然後讀分子，分子和分母按照整數的讀法來讀。
3、分數的寫法：先寫分數線，再寫分母，最後寫分子，按照整數的寫法來寫。
4、比較分數的大小:
⑴ 分母相同的分數，分子大的那個分數就大。
⑵ 分子相同的分數，分母小的那個分數就大。
⑶ 分母和分子都不同的分數，通常是先通分，轉化成通分母的分數，再比較大小。
⑷ 如果被比較的分數是帶分數，先要比較它們的整數部分，整數部分大的那個帶分數就大；如果整數部分相同，再比較它們的分數部分，分數部分大的那個帶分數就大。
5、分數的分類
按照分子、分母和整數部分的不同情況，可以分成：真分數、假分數、帶分數
⑴ 真分數：分子比分母小的分數叫做真分數。真分數小於1。
⑵ 假分數：分子比分母大或者分子和分母相等的分數，叫做假分數。假分數大於或等於1。
⑶ 帶分數：假分數可以寫成整數與真分數合成的數，通常叫做帶分數。
6、分數和除法的關係及分數的基本性質
⑴ 除法是一種運算，有運算符號；分數是一種數。因此，一般應敘述為被除數相當於分子，而不能說成被除數就是分子。
⑵ 由於分數和除法有密切的關係，根據除法中「商不變」的性質可得出分數的基本性質。
⑶ 分數的分子和分母都乘以或者除以相同的數（0除外），分數的大小不變，這叫做分數的基本性質，它是約分和通分的依據。
7、約分和通分
⑴ 分子、分母是互質數的分數，叫做最簡分數。
⑵ 把一個分數化成同它相等但分子、分母都比較小的分數，叫做約分。
⑶ 約分的方法：用分子和分母的公約數（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最簡分數為止。
⑷ 把異分母分數分別化成和原來分數相等的同分母分數，叫做通分。
⑸ 通分的方法：先求出原來幾個分母的最小公倍數，然後把各分數化成用這個最小公倍數作分母的分數。
8、倒 數
⑴ 乘積是1的兩個數互為倒數。
⑵ 求一個數（0除外）的倒數，只要把這個數的分子、分母調換位置。
⑶ 1的倒數是1，0沒有倒數
（四）百分數
1、百分數的意義
表示一個數是另一個數的百分之幾的數 叫做百分數,也叫做百分率或百分比。百分數通常用"%"來表示。百分號是表示百分數的符號。
2、百分數的讀法：讀百分數時，先讀百分之，再讀百分號前面的數，讀數時按照整數的讀法來讀。
3、百分數的寫法：百分數通常不寫成分數形式，而在原來的分子後面加上百分號「%」來表示。
4、百分數與折數、成數的互化：
例如：三折就是30％，七五折就是75％，成數就是十分之幾，如一成就是牐 闖砂俜質 褪?0%，則六成五就是65%。
5、納稅和利息：
稅率：應納稅額與各種收入的比率。
利率：利息與本金的百分率。由銀行規定按年或按月計算。
利息的計算公式：利息=本金×利率×時間
6、百分數與分數的區別主要有以下三點：
⑴ 意義不同。百分數是「表示一個數是另一個數的百分之幾的數。」它只能表示兩數之間的倍數關係，不能表示某一具體數量。如：可以說 1米 是 5米 的 20％，不可以說「一段繩子長為20％米。」因此，百分數後面不能帶單位名稱。分數是「把單位『1』平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數」。分數不僅 可以表示兩數之間的倍數關係，如：甲數是3，乙數是4，甲數是乙數的?；還可以表示一定的數量，如：犌Э恕 米等。
⑵ 應用範圍不同。百分數在生產、工作和生活中，常用於調查、統計、分析與比較。而分數常常是在測量、計算中，得不到整數結果時使用。
⑶ 書寫形式不同。百分數通常不寫成分數形式，而採用百分號「％」來表示。如：百分之四十五，寫作：45％；百分數的分母固定為100，因此，不論百分數 的分子、分母之間有多少個公約數，都不約分；百分數的分子可以是自然數，也可以是小數。而分數的分子只能是自然數，它的表示形式有：真分數、假分數、帶分 數，計算結果不是最簡分數的一般要通過約分化成最簡分數，是假分數的要化成帶分數。
7、數的互化
⑴ 小數化成分數：原來有幾位小數，就在1的後面寫幾個零作分母，把原來的小數去掉小數點作分子，能約分的要約分。
⑵ 分數化成小數：用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數，有的不能除盡，不能化成有限小數的，一般保留三位小數。
⑶ 一個最簡分數，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的質因數，這個分數就能化成有限小數；如果分母中含有2和5 以外的質因數，這個分數就不能化成有限小數。
⑷ 小數化成百分數：只要把小數點向右移動兩位，同時在後面添上百分號。
⑸ 百分數化成小數：把百分數化成小數，只要把百分號去掉，同時把小數點向左移動兩位。
⑹ 分數化成百分數：通常先把分數化成小數（除不盡時，通常保留三位小數)，再把小數化成百分數。
⑺ 百分數化成小數：先把百分數改寫成分數，能約分的要約成最簡分數。
（五）數的整除
1、整除的意義
整數a除以整數b(b ≠ 0），除得的商是整數而沒有餘數，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a 。
除盡的意義 甲數除以乙數，所得的商是整數或有限小數而餘數也為0時，我們就說甲數能被乙數除盡，（或者說乙數能除盡甲數）這裡的甲數、乙數可以是自然數，也可以是小數（乙數不能為0）。
2、約數和倍數
⑴ 如果數a能被數b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數（或a的因數）。倍數和約數是相互依存的。
⑵ 一個數的約數的個數是有限的，其中最小的約數是1，最大的約數是它本身。
⑶ 一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數。
3、奇數和偶數
⑴ 自然數按能否被2 整除的特徵可分為奇數和偶數。
① 能被2整除的數叫做偶數。0也是偶數。
② 不能被2整除的數叫做奇數。
⑵ 奇數和偶數的運算性質：
① 相鄰兩個自然數之和是奇數，之積是偶數。
② 奇數+奇數=偶數，奇數+偶數=奇數，偶數+偶數=偶數；奇數-奇數=偶數，
奇數-偶數=奇數，偶數-奇數=奇數，偶數-偶數=偶數；奇數×奇數=奇數，奇數×偶數=偶數，偶數×偶數=偶數。
4、整除的特徵
⑴ 個位上是0、2、4、6、8的數，都能被2整除。
⑵ 個位上是0或5的數，都能被5整除。
⑶ 一個數的各位上的數的和能被3整除，這個數就能被3整除。
⑷ 一個數各位數上的和能被9整除，這個數就能被9整除。
⑸ 能被3整除的數不一定能被9整除，但是能被9整除的數一定能被3整除。
⑹ 一個數的末兩位數能被4（或25）整除，這個數就能被4（或25）整除。
⑺ 一個數的末三位數能被8（或125）整除，這個數就能被8（或125）整除。
5、質數和合數
⑴ 一個數，如果只有1和它本身兩個約數，這樣的數叫做質數（或素數），100以內的質數有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
⑵ 一個數，如果除了1和它本身還有別的約數，這樣的數叫做合數，例如 4、6、8、9、12都是合數。
⑶ 1不是質數也不是合數，自然數除了1外，不是質數就是合數。如果把自然數按其約數的個數的不同分類，可分為質數、合數和1。
6、分解質因數
⑴ 質因數
每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式。其中每個質數都是這個合數的因數，叫做這個合數的質因數，例如15=3×5，3和5 叫做15的質因數。
⑵ 分解質因數
把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。通常用短除法來分解質因數。先用能整除這個合數的質數去除，一直除到商是質數為止，再把除數和商寫成連乘的形式。
⑶ 公因（約）數
幾個數公有的因數叫做這幾個數的公因數。其中最大的一個叫這幾個數的最大公因數。
公因數只有1的兩個數，叫做互質數。成互質關係的兩個數，有下列幾種情況：①和任何自然數互質；
②相鄰的兩個自然數互質；
③當合數不是質數的倍數時，這個合數和這個質數互質；
④兩個合數的公約數只有1時，這兩個合數互質，如果幾個數中任意兩個都互質，就說這幾個數兩兩互質。
如果較小數是較大數的約數，那麼較小數就是這兩個數的最大公約數。
如果兩個數是互質數，它們的最大公約數就是1。
⑷ 公倍數
① 幾個數公有的倍數叫做這幾個數的公倍數。其中最大的一個叫這幾個數的最大公倍數。
求幾個數的最大公約數的方法是：先用這幾個數的公約數連續去除，一直除到所得的商只有公約數1為止，然後把所有的除數連乘求積，這個積就是這幾個數的的最大公約數。
② 幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數，其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數。
求幾個數的最小公倍數的方法是：先用這幾個數（或其中的部分數）的公約數去除，一直除到互質（或兩兩互質）為止，然後把所有的除數和商連乘求積，這個積就是這幾個數的最小公倍數。
如果較大數是較小數的倍數，那麼較大數就是這兩個數的最小公倍數。
如果兩個數是互質數，那麼這兩個數的積就是它們的最小公倍數。
幾個數的公約數的個數是有限的，而幾個數的公倍數的個數是無限的。
二、性質和規律
（一）商不變的規律
商不變的規律：在除法裡，被除數和除數同時擴大或者同時縮小相同的倍，商不變。
（二）小數的性質
小數的性質：在小數的末尾添上零或者去掉零小數的大小不變。
（三）小數點位置的移動引起小數大小的變化
1、小數點向右移動一位，原來的數就擴大10倍；小數點向右移動兩位，原來的數就擴大100倍；小數點向右移動三位，原來的數就擴大1000倍……
2、小數點向左移動一位，原來的數就縮小10倍；小數點向左移動兩位，原來的數就縮小100倍；小數點向左移動三位，原來的數就縮小1000倍……
3、小數點向左移或者向右移位數不夠時，要用「0"補足位。
（四）分數的基本性質
分數的基本性質：分數的分子和分母都乘以或者除以相同的數（零除外），分數的大小不變。
（五）分數與除法的關係
1、被除數÷除數= 被除數/除數
2、因為零不能作除數，所以分數的分母不能為零。
3、被除數 相當於分子，除數相當於分母。
三、運算法則
（一）整數四則運算的法則
1、整數加法：
把兩個數合併成一個數的運算叫做加法。
在加法裡，相加的數叫做加數，加得的數叫做和。加數是部分數，和是總數。
加數+加數=和 一個加數=和－另一個加數
2、整數減法：
已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算叫做減法。
在減法裡，已知的和叫做被減數，已知的加數叫做減數，未知的加數叫做差。被減數是總數，減數和差分別是部分數。
加法和減法互為逆運算。
3、整數乘法：
求幾個相同加數的和的簡便運算叫做乘法。
在乘法裡，相同的加數和相同加數的個數都叫做因數。相同加數的和叫做積。
在乘法裡，0和任何數相乘都得0. 1和任何數相乘都的任何數。
一個因數× 一個因數 =積 一個因數=積÷另一個因數
4、整數除法：
已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算叫做除法。
在除法裡，已知的積叫做被除數，已知的一個因數叫做除數，所求的因數叫做商。
乘法和除法互為逆運算。
在除法裡，0不能做除數。因為0和任何數相乘都得0，所以任何一個數除以0，均得不到一個確定的商。
被除數÷除數=商 除數=被除數÷商 被除數=商×除數
5、乘方:
求幾個相同因數的積的運算叫做乘方。例如 3 × 3 =32
（二）小數四則運算
1、小數加法：
小數加法的意義與整數加法的意義相同。是把兩個數合併成一個數的運算。
2、小數減法：
小數減法的意義與整數減法的意義相同。已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算.
3、小數乘法：
小數乘整數的意義和整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數和的簡便運算；一個數乘純小數的意義是求這個數的十分之幾、百分之幾、千分之幾……是多少。
4、小數除法：
小數除法的意義與整數除法的意義相同，就是已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。
（三）分數四則運算
1、分數加法：
分數加法的意義與整數加法的意義相同。 是把兩個數合併成一個數的運算。
2、分數減法：
分數減法的意義與整數減法的意義相同。已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算。
3、分數乘法：
分數乘法的意義與整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數和的簡便運算。
4、分數除法：
分數除法的意義與整數除法的意義相同。就是已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。
（四）運算定律
1、加法運算定律
⑴ 加法交換律：
兩個數相加，交換加數的位置，它們的和不變，即a+b=b+a 。
⑵ 加法結合律：
三個數相加，先把前兩個數相加，再加上第三個數；或者先把後兩個數相加，再和第一個數相加它們的和不變，即（a+b)+c=a+(b+c) 。
2、乘法運算定律
⑴ 乘法交換律：
兩個數相乘，交換因數的位置它們的積不變，即a×b=b×a。
⑵ 乘法結合律：
三個數相乘，先把前兩個數相乘，再乘以第三個數；或者先把後兩個數相乘，再和第一個數相乘，它們的積不變，即(a×b)×c=a×(b×c) 。
⑶乘法分配律：
兩個數的和與一個數相乘，可以把兩個加數分別與這個數相乘，再把兩個積相加，即(a+b)×c=a×c+b×c 。
⑷ 乘法分配律擴展：
兩個數的差與一數相乘，可以先把它們與這個數分別相乘，再相減，即(a-b) ×c=a×c-b×c
3、減法運算定律
⑴ 從一個數裡連續減去幾個數，可以從這個數裡減去所有減數的和，差不變，即a-b-c=a-(b+c) 。
⑵ 一個數連續減去兩個數，可以先減去第二個減數，再減去第一個減數，即a-b-c=a-c-b。
4、除法運算定律
⑴ 一個數連續除以兩個數，可以除以這兩個數的集，即a÷b÷c=a÷(b×c)。
⑵ 一個數連續除以兩個數，可以先除以第二除數，再除以第一個除數，即a÷b÷c=a÷c÷b。
5、其它
a-b+c=a+c-b
a-b+c=a+(b-c)
a÷b×c=a×c÷b
a÷b×c=a÷(b÷c)
6、積的變化規律：在乘法中，一個因數不變，另一個因數擴大（或縮小）若干倍，積也擴大（或縮小）相同的倍數。
推廣：一個因數擴大A倍，另一個因數擴大B倍，積擴大AB倍。
一個因數縮小A倍，另一個因數縮小B倍，積縮小AB倍。
7、商不變性質:在除法中，被除數和除數同時擴大（或縮小）相同的倍數，商不變。m≠0 a÷b=(a×m) ÷(b×m)=(a÷m) ÷(b÷m)
推廣：被除數擴大（或縮小）A倍，除數不變，商也擴大（或縮小）A倍。
被除數不變，除數擴大（或縮小）A倍，商反而縮小（或擴大）A倍。
利用積的變化規律和商不變規律性質可以使一些計算簡便。但在有餘數的除法中要注意餘數。如：8500÷200= 可以把被除數、除數同時縮小100倍來除，即85÷2= ，商不變，但此時的餘數1是被縮小100被後的，所以還原成原來的餘數應該是100。
（五）計算方法
1、整數加法計算法則：
相同數位對齊，從低位加起，哪一位上的數相加滿十，就向前一位進一。
2、整數減法計算法則：
相同數位對齊，從低位加起，哪一位上的數不夠減，就從它的前一位退一作十，和本位上的數合併在一起，再減。
3、整數乘法計算法則：
先用一個因數每一位上的數分別去乘另一個因數各個數位上的數，用因數哪一位上的數去乘，乘得的數的末尾就對齊哪一位，然後把各次乘得的數加起來。
4、整數除法計算法則：
先從被除數的高位除起，除數是幾位數，就看被除數的前幾位；如果不夠除，就多看一位，除到被除數的哪一位，商就寫在哪一位的上面。如果哪一位上不夠商1，要補「0」佔位。每次除得的餘數要小於除數。
5、小數乘法法則：
先按照整數乘法的計算法則算出積，再看因數中共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位，點上小數點；如果位數不夠，就用「0」補足。
6、除數是整數的小數除法計算法則：
先按照整數除法的法則去除，商的小數點要和被除數的小數點對齊；如果除到被除數的末尾仍有餘數，就在餘數後面添「0」，再繼續除。
7、除數是小數的除法計算法則：
先移動除數的小數點，使它變成整數，除數的小數點也向右移動幾位（位數不夠的補「0」），然後按照除數是整數的除法法則進行計算。
8、同分母分數加減法計算方法:
同分母分數相加減，只把分子相加減，分母不變。
9、異分母分數加減法計算方法:
先通分，然後按照同分母分數加減法的的法則進行計算。
10、帶分數加減法的計算方法:
整數部分和分數部分分別相加減，再把所得的數合併起來。
11、分數乘法的計算法則:
分數乘整數，用分數的分子和整數相乘的積作分子，分母不變；分數乘分數，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。
12、分數除法的計算法則:
甲數除以乙數（0除外），等於甲數乘乙數的倒數。
（六） 運算順序
1、小數四則運算的運算順序和整數四則運算順序相同。
2、分數四則運算的運算順序和整數四則運算順序相同。
3、沒有括號的混合運算:同級運算從左往右依次運算；兩級運算 先算乘、除法，後算加減法。
4、有括號的混合運算:先算小括號裡面的，再算中括號裡面的，最後算括號外面的。
5、第一級運算：加法和減法叫做第一級運算。
6、第二級運算：乘法和除法叫做第二級運算。
四、應用
（一）整數和小數的應用
1、簡單應用題
（1）簡單應用題：只含有一種基本數量關係，或用一步運算解答的應用題，通常叫做簡單應用題。
（2）解題步驟：
a 審題理解題意：了解應用題的內容，知道應用題的條件和問題。讀題時，不丟字不添字邊讀邊思考，弄明白題中每句話的意思。也可以複述條件和問題，幫助理解題意。
b選擇算法和列式計算：這是解答應用題的中心工作。從題目中告訴什麼，要求什麼著手，逐步根據所給的條件和問題，聯繫四則運算的含義，分析數量關係，確定算法，進行解答並標明正確的單位名稱。
C檢驗：就是根據應用題的條件和問題進行檢查看所列算式和計算過程是否正確，是否符合題意。如果發現錯誤，馬上改正。
2、複合應用題
（1）有兩個或兩個以上的基本數量關係組成的，用兩步或兩步以上運算解答的應用題，通常叫做複合應用題。
（2）含有三個已知條件的兩步計算的應用題。
求比兩個數的和多（少）幾個數的應用題。
比較兩數差與倍數關係的應用題。
（3）含有兩個已知條件的兩步計算的應用題。
已知兩數相差多少（或倍數關係）與其中一個數，求兩個數的和（或差）。
已知兩數之和與其中一個數，求兩個數相差多少（或倍數關係）。
（4）解答連乘連除應用題。
（5）解答三步計算的應用題。
（6）解答小數計算的應用題：小數計算的加法、減法、乘法和除法的應用題，他們的數量關係、結構、和解題方式都與正式應用題基本相同，只是在已知數或未知數中間含有小數。
d答案：根據計算的結果，先口答，逐步過渡到筆答。
(7)解答加法應用題：
a求總數的應用題：已知甲數是多少，乙數是多少，求甲乙兩數的和是多少。
b求比一個數多幾的數應用題：已知甲數是多少和乙數比甲數多多少，求乙數是多少。
（8)解答減法應用題：
a求剩餘的應用題：從已知數中去掉一部分，求剩下的部分。
-b求兩個數相差的多少的應用題：已知甲乙兩數各是多少，求甲數比乙數多多少，或乙數比甲數少多少。
c求比一個數少幾的數的應用題：已知甲數是多少，，乙數比甲數少多少，求乙數是多少。
(9)解答乘法應用題：
a求相同加數和的應用題：已知相同的加數和相同加數的個數，求總數。
b求一個數的幾倍是多少的應用題：已知一個數是多少，另一個數是它的幾倍，求另一個數是多少。
( 10) 解答除法應用題：
a把一個數平均分成幾份，求每一份是多少的應用題：已知一個數和把這個數平均分成幾份的，求每一份是多少。
b求一個數裡包含幾個另一個數的應用題：已知一個數和每份是多少，求可以分成幾份。
C 求一個數是另一個數的的幾倍的應用題：已知甲數乙數各是多少，求較大數是較小數的幾倍。
d已知一個數的幾倍是多少，求這個數的應用題。
（11）常見的數量關係：
總價= 單價×數量
路程= 速度×時間
工作總量=工作時間×工效
總產量=單產量×數量
3、典型應用題
具有獨特的結構特徵的和特定的解題規律的複合應用題，通常叫做典型應用題。
（1）平均數問題：平均數是等分除法的發展。
解題關鍵：在於確定總數量和與之相對應的總份數。
算術平均數：已知幾個不相等的同類量和與之相對應的份數，求平均每份是多少。數量關係式：數量之和÷數量的個數=算術平均數。
加權平均數：已知兩個以上若干份的平均數，求總平均數是多少。
數量關係式 （部分平均數×權數）的總和÷（權數的和）=加權平均數。
差額平均數：是把各個大於或小於標準數的部分之和被總份數均分，求的是標準數與各數相差之和的平均數。
數量關係式：（大數－小數）÷2=小數應得數 最大數與各數之差的和÷總份數=最大數應給數 最大數與個數之差的和÷總份數=最小數應得數。
例：一輛汽車以每小時 100 千米 的速度從甲地開往乙地，又以每小時 60 千米的速度從乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。
分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設為「 1 」，則汽車行駛的總路程為「 2 」，從甲地到乙地的速度為 100 ，所用的時間為 ，汽車從乙地到甲地速度為 60 千米，所用的時間是 ，汽車共行的時間為 + = , 汽車的平均速度為 2 ÷ =75 （千米）
（2）歸一問題：已知相互關聯的兩個量，其中一種量改變，另一種量也隨之而改變，其變化的規律是相同的，這種問題稱之為歸一問題。
根據求「單一量」的步驟的多少，歸一問題可以分為一次歸一問題，兩次歸一問題。
根據球痴單一量之後，解題採用乘法還是除法，歸一問題可以分為正歸一問題，反歸一問題。
一次歸一問題，用一步運算就能求出「單一量」的歸一問題。又稱「單歸一。」
兩次歸一問題，用兩步運算就能求出「單一量」的歸一問題。又稱「雙歸一。」
正歸一問題：用等分除法求出「單一量」之後，再用乘法計算結果的歸一問題。
反歸一問題：用等分除法求出「單一量」之後，再用除法計算結果的歸一問題。
解題關鍵：從已知的一組對應量中用等分除法求出一份的數量（單一量），然後以它為標準，根據題目的要求算出結果。
數量關係式：單一量×份數=總數量（正歸一）
總數量÷單一量=份數（反歸一）
例 一個織布工人，在七月份織布 4774 米 ， 照這樣計算，織布 6930 米，需要多少天？
分析：必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。 693 0 ÷（ 477 4 ÷ 31 ） =45 （天）
（3）歸總問題：是已知單位數量和計量單位數量的個數，以及不同的單位數量（或單位數量的個數），通過求總數量求得單位數量的個數（或單位數量）。
特點：兩種相關聯的量，其中一種量變化，另一種量也跟著變化，不過變化的規律相反，和反比例算法彼此相通。
數量關係式：單位數量×單位個數÷另一個單位數量 = 另一個單位數量 單位數量×單位個數÷另一個單位數量= 另一個單位數量。
例 修一條水渠，原計劃每天修 800 米 ， 6 天修完。實際 4 天修完，每天修了多少米？
分析：因為要求出每天修的長度，就必須先求出水渠的長度。所以也把這類應用題叫做「歸總問題」。不同之處是「歸一」先求出單一量，再求總量，歸總問題是先求出總量，再求單一量。 80 0 × 6 ÷ 4=1200 （米）
（4）和差問題：已知大小兩個數的和，以及他們的差，求這兩個數各是多少的應用題叫做和差問題。
解題關鍵：是把大小兩個數的和轉化成兩個大數的和（或兩個小數的和），然後再求另一個數。
解題規律：（和＋差）÷2 = 大數 大數－差=小數
（和－差）÷2=小數 和－小數= 大數
例 某加工廠甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要臨時從乙班調 46 人到甲班工作，這時乙班比甲班人數少 12 人，求原來甲班和乙班各有多少人？
分析：從乙班調 46 人到甲班，對於總數沒有變化，現在把乙數轉化成 2 個乙班，即 9 4 － 12 ，由此得到現在的乙班是（ 9 4 － 12 ）÷ 2=41 （人），乙班在調出 46 人之前應該為 41+46=87 （人），甲班為 9 4 － 87=7 （人）
（5）和倍問題：已知兩個數的和及它們之間的倍數關係，求兩個數各是多少的應用題，叫做和倍問題。
解題關鍵：找準標準數（即1倍數）一般說來，題中說是「誰」的幾倍，把誰就確定為標準數。求出倍數和之後，再求出標準的數量是多少。根據另一個數（也可能是幾個數）與標準數的倍數關係，再去求另一個數（或幾個數）的數量。
解題規律：和÷倍數和=標準數 標準數×倍數=另一個數
例:汽車運輸場有大小貨車 115 輛，大貨車比小貨車的 5 倍多 7 輛，運輸場有大貨車和小汽車各有多少輛？
分析：大貨車比小貨車的 5 倍還多 7 輛，這 7 輛也在總數 115 輛內，為了使總數與（ 5+1 ）倍對應，總車輛數應（ 115-7 ）輛 。
列式為（ 115-7 ）÷（ 5+1 ） =18 （輛）， 18 × 5+7=97 （輛）
（6）差倍問題：已知兩個數的差，及兩個數的倍數關係，求兩個數各是多少的應用題。
解題規律：兩個數的差÷（倍數－1 ）= 標準數 標準數×倍數=另一個數。
例 甲乙兩根繩子，甲繩長 63 米 ，乙繩長 29 米 ，兩根繩剪去同樣的長度，結果甲所剩的長度是乙繩 長的 3 倍，甲乙兩繩所剩長度各多少米？ 各減去多少米？
分析：兩根繩子剪去相同的一段，長度差沒變，甲繩所剩的長度是乙繩的 3 倍，實比乙繩多（ 3-1 ）倍，以乙繩的長度為標準數。列式（ 63-29 ）÷（ 3-1 ） =17 （米）…乙繩剩下的長度， 17 × 3=51 （米）…甲繩剩下的長度， 29-17=12 （米）…剪去的長度。
（7）行程問題：關於走路、行車等問題，一般都是計算路程、時間、速度，叫做行程問題。解答這類問題首先要搞清楚速度、時間、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他們之間的關係，再根據這類問題的規律解答。
解題關鍵及規律：
同時同地相背而行：路程=速度和×時間。
同時相向而行：相遇時間=速度和×時間
同時同向而行（速度慢的在前，快的在後）：追及時間=路程速度差。
同時同地同向而行（速度慢的在後，快的在前）：路程=速度差×時間。
例 甲在乙的後面 28 千米 ，兩人同時同向而行，甲每小時行 16 千米 ，乙每小時行 9 千米，甲幾小時追上乙？
分析：甲每小時比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小時可以追近乙（ 16-9 ）千米，這是速度差。
已知甲在乙的後面 28 千米 （追擊路程）， 28 千米 裡包含著幾個（ 16-9 ）千米，也就是追擊所需要的時間。列式 2 8 ÷ （ 16-9 ） =4 （小時）
（8）流水問題：一般是研究船在「流水」中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型，它也是一種和差問題。它的特點主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。
船速：船在靜水中航行的速度。
水速：水流動的速度。
順水速度：船順流航行的速度。
逆水速度：船逆流航行的速度。
順速=船速＋水速
逆速=船速－水速
解題關鍵：因為順流速度是船速與水速的和，逆流速度是船速與水速的差，所以流水問題當作和差問題解答。解題時要以水流為線索。
解題規律：船行速度=（順水速度+ 逆流速度）÷2
流水速度=（順流速度逆流速度）÷2
路程=順流速度× 順流航行所需時間
路程=逆流速度×逆流航行所需時間
例 一隻輪船從甲地開往乙地順水而行，每小時行 28 千米 ，到乙地後，又逆水 航行，回到甲地。逆水比順水多行 2 小時，已知水速每小時 4 千米。求甲乙兩地相距多少千米？
分析：此題必須先知道順水的速度和順水所需要的時間，或者逆水速度和逆水的時間。已知順水速度和水流速度，因此不難算出逆水的速度，但順水所用的時間，逆水所用的時間不知道，只知道順水比逆水少用 2 小時，抓住這一點，就可以就能算出順水從甲地到乙地的所用的時間，這樣就能算出甲乙兩地的路程。列式為 284 × 2=20 （千米） 2 0 × 2 =40 （千米） 40 ÷（ 4 × 2 ） =5 （小時） 28 × 5=140 （千米）。
（9）還原問題：已知某未知數，經過一定的四則運算後所得的結果，求這個未知數的應用題，我們叫做還原問題。
解題關鍵：要弄清每一步變化與未知數的關係。
解題規律：從最後結果 出發，採用與原題中相反的運算（逆運算）方法，逐步推導出原數。
根據原題的運算順序列出數量關係，然後採用逆運算的方法計算推導出原數。
解答還原問題時注意觀察運算的順序。若需要先算加減法，後算乘除法時別忘記寫括號。
例 某小學三年級四個班共有學生 168 人，如果四班調 3 人到三班，三班調 6 人到二班，二班調 6 人到一班，一班調 2 人到四班，則四個班的人數相等，四個班原有學生多少人？
分析：當四個班人數相等時，應為 168 ÷ 4 ，以四班為例，它調給三班 3 人，又從一班調入 2 人，所以四班原有的人數減去 3 再加上 2 等於平均數。四班原有人數列式為 168 ÷ 4-2+3=43 （人）
一班原有人數列式為 168 ÷ 4-6+2=38 （人）；二班原有人數列式為 168 ÷ 4-6+6=42 （人）三班原有人數列式為 168 ÷ 4-3+6=45 （人）。
（10）植樹問題：這類應用題是以「植樹」為內容。凡是研究總路程、株距、段數、棵樹四種數量關係的應用題，叫做植樹問題。
解題關鍵：解答植樹問題首先要判斷地形，分清是否封閉圖形，從而確定是沿線段植樹還是沿周長植樹，然後按基本公式進行計算。
解題規律：沿線段植樹
棵樹=段數+1 棵樹=總路程÷株距+1
株距=總路程÷（棵樹-1） 總路程=株距×（棵樹-1）
沿周長植樹
棵樹=總路程÷株距
株距=總路程÷棵樹
總路程=株距×棵樹
例 沿公路一旁埋電線桿 301 根，每相鄰的兩根的間距是 50 米 。後來全部改裝，只埋了201 根。求改裝後每相鄰兩根的間距。
分析：本題是沿線段埋電線桿，要把電線桿的根數減掉一。列式為 50 ×（ 301-1 ）÷（ 201-1 ） =75 （米）
（11 ）盈虧問題：是在等分除法的基礎上發展起來的。他的特點是把一定數量的物品，平均分配給一定數量的人，在兩次分配中，一次有餘，一次不足（或兩次都有餘），或兩次都不足），已知所餘和不足的數量，求物品適量和參加分配人數的問題，叫做盈虧問題。
解題關鍵：盈虧問題的解法要點是先求兩次分配中分配者沒份所得物品數量的差，再求兩次分配中各次共分物品的差（也稱總差額），用前一個差去除後一個差，就得到分配者的數，進而再求得物品數。
解題規律：總差額÷每人差額=人數
總差額的求法可以分為以下四種情況：
第一次多餘，第二次不足，總差額=多餘+ 不足
第一次正好，第二次多餘或不足 ，總差額=多餘或不足
第一次多餘，第二次也多餘，總差額=大多餘-小多餘
第一次不足，第二次也不足， 總差額= 大不足-小不足
例 參加美術小組的同學，每個人分的相同的支數的色筆，如果小組 10 人，則多 25 支，如果小組有 12 人，色筆多餘 5 支。求每人 分得幾支？共有多少支色鉛筆？
分析：每個同學分到的色筆相等。這個活動小組有 12 人，比 10 人多 2 人，而色筆多出了（ 25-5 ） =20 支 ， 2 個人多出 20 支，一個人分得 10 支。列式為（ 25-5 ）÷（ 12-10 ） =10 （支） 10 × 12+5=125 （支）。
（12）年齡問題：將差為一定值的兩個數作為題中的一個條件，這種應用題被稱為「年齡問題」。
解題關鍵：年齡問題與和差、和倍、差倍問題類似，主要特點是隨著時間的變化，年歲不斷增長，但大小兩個不同年齡的差是不會改變的，因此，年齡問題是一種「差不變」的問題，解題時，要善於利用差不變的特點。
例 父親 48 歲，兒子 21 歲。問幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍？
分析：父子的年齡差為 48-21=27 （歲）。由於幾年前父親年齡是兒子的 4 倍，可知父子年齡的倍數差是（ 4-1 ）倍。這樣可以算出幾年前父子的年齡，從而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍。列式為： 21（ 48-21 ）÷（ 4-1 ） =12 （年）
（13）雞兔問題：已知「雞兔」的總頭數和總腿數。求「雞」和「兔」各多少只的一類應用題。通常稱為「雞兔問題」又稱雞兔同籠問題
解題關鍵：解答雞兔問題一般採用假設法，假設全是一種動物（如全是「雞」或全是「兔」，然後根據出現的腿數差，可推算出某一種的頭數。
解題規律：（總腿數－雞腿數×總頭數）÷一隻雞兔腿數的差=兔子只數
兔子只數=（總腿數-2×總頭數）÷2
如果假設全是兔子，可以有下面的式子：
雞的只數=（4×總頭數-總腿數）÷2
兔的頭數=總頭數-雞的只數
例 雞兔同籠共 50 個頭， 170 條腿。問雞兔各有多少只？
兔子只數 （ 170-2 × 50 ）÷ 2 =35 （只）
雞的只數 50-35=15 （只）
（二）分數和百分數的應用
1、分數加減法應用題：
分數加減法的應用題與整數加減法的應用題的結構、數量關係和解題方法基本相同，所不同的只是在已知數或未知數中含有分數。
2、分數乘法應用題：
是指已知一個數，求它的幾分之幾是多少的應用題。
特徵：已知單位「1」的量和分率，求與分率所對應的實際數量。
解題關鍵：準確判斷單位「1」的量。找準要求問題所對應的分率，然後根據一個數乘分數的意義正確列式。
3、分數除法應用題：
求一個數是另一個數的幾分之幾（或百分之幾）是多少。
特徵：已知一個數和另一個數，求一個數是另一個數的幾分之幾或百分之幾。「一個數」是比較量，「另一個數」是標準量。求分率或百分率，也就是求他們的倍數關係。
解題關鍵：從問題入手，搞清把誰看作標準的數也就是把誰看作了「單位一」，誰和單位一的量作比較，誰就作被除數。
甲是乙的幾分之幾（百分之幾）:甲是比較量，乙是標準量，用甲除以乙。
甲比乙多（或少）幾分之幾（百分之幾）：甲減乙比乙多（或少幾分之幾）或（百分之幾）。關係式（甲數減乙數）/乙數或（甲數減乙數）/甲數。
已知一個數的幾分之幾（或百分之幾 ) ,求這個數。
特徵：已知一個實際數量和它相對應的分率，求單位「1」的量。
解題關鍵：準確判斷單位「1」的量把單位「1」的量看成x根據分數乘法的意義列方程，或者根據分數除法的意義列算式，但必須找準和分率相對應的已知實際
數量。
4、出勤率
發芽率=發芽種子數/試驗種子數×100%
小麥的出粉率= 麵粉的重量/小麥的重量×100%
產品的合格率=合格的產品數/產品總數×100%
職工的出勤率=實際出勤人數/應出勤人數×100%
5、工程問題：
是分數應用題的特例，它與整數的工作問題有著密切的聯繫。它是探討工作總量、工作效率和工作時間三個數量之間相互關係的一種應用題。
解題關鍵：把工作總量看作單位「1」，工作效率就是工作時間的倒數，然後根據題目的具體情況，靈活運用公式。
數量關係式：
工作總量=工作效率×工作時間
工作效率=工作總量÷工作時間
工作時間=工作總量÷工作效率
工作總量÷工作效率和=合作時間
6、納稅
納稅就是把根據國家各種稅法的有關規定，按照一定的比率把集體或個人收入的一部分繳納給國家。
繳納的稅款叫應納稅款。
應納稅額與各種收入的（銷售額、營業額、應納稅所得額 ……）的比率叫做稅率。
7、利息
存入銀行的錢叫做要本金。
取款時銀行多支付的錢叫做利息。
利息與本金的比值叫做利率。
利息=本金×利率×時間
常用的數量關係式
1、每份數×份數＝總數 總數÷每份數＝份數 總數÷份數＝每份數
2、1倍數×倍數＝幾倍數 幾倍數÷1倍數＝倍數 幾倍數÷倍數＝1倍數
3、速度×時間＝路程 路程÷速度＝時間 路程÷時間＝速度
4、單價×數量＝總價 總價÷單價＝數量 總價÷數量＝單價
5、工作效率×工作時間＝工作總量 工作總量÷工作效率＝工作時間 工作總量÷工作時間＝工作效率
6、加數＋加數＝和 和－一個加數＝另一個加數
7、被減數－減數＝差 被減數－差＝減數 差＋減數＝被減數
8、因數×因數＝積 積÷一個因數＝另一個因數
9、被除數÷除數＝商 被除數÷商＝除數 商×除數＝被除數
10、總數÷總份數＝平均數
11、和差問題的公式
(和＋差)÷2＝大數 (和－差)÷2＝小數
12、和倍問題
和÷(倍數－1)＝小數 小數×倍數＝大數 (或者 和－小數＝大數)
13、差倍問題
差÷(倍數－1)＝小數 小數×倍數＝大數 (或 小數＋差＝大數)
14、相遇問題
相遇路程＝速度和×相遇時間
相遇時間＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇時間
15、濃度問題
溶質的重量＋溶劑的重量＝溶液的重量
溶質的重量÷溶液的重量×100%＝濃度
溶液的重量×濃度＝溶質的重量
溶質的重量÷濃度＝溶液的重量
16、利潤與折扣問題
利潤＝售出價－成本
利潤率＝利潤÷成本×100%＝(售出價÷成本－1)×100%
漲跌金額＝本金×漲跌百分比
利息＝本金×利率×時間
稅後利息＝本金×利率×時間×(1－20%)
第二章 度量衡
一、概述
1、事物的多少、長短、大小、輕重、快慢等，這些可以測定的客觀事物的特徵叫做量。把一個要測定的量同一個作為標準的量相比較叫做計量。用來作為計量標準的量叫做計量單位。
2、數+單位名稱=名數
只帶有一個單位名稱的叫做單名數，如：5小時， 3千克。
帶有兩個或兩個以上單位名稱的叫做復名數，如：5小時6分，3千克500克。
56平方分米=(0.56)平方米 就是單名數轉化成單名數 。
560平方分米=(5)平方米(60平方分米) 就是單名數轉化成復名數的例子。
3、高級單位與低級單位是相對的.比如,"米"相對於分米,就是高級單位,相對於千米就是低級單位.
二、長度
1、什麼是長度
長度是一維空間的度量。
2、長度常用單位
* 公裡(km) * 米(m) * 分米(dm) * 釐米(cm) * 毫米(mm) * 微米(um)
3、單位之間的換算
* 1毫米 ＝1000微米 * 1釐米 ＝10 毫米 * 1分米 ＝10 釐米 * 1米 ＝1000 毫米 * 1千米＝1000 米
三、面積
1、什麼是面積
面積，就是物體所佔平面的大小。對立體物體的表面的多少的測量一般稱表面積。
2、常用的面積單位
* 平方毫米 * 平方釐米 * 平方分米 * 平方米 * 平方千米
3、面積單位的換算
* 1平方釐米 ＝100 平方毫米 * 1平方分米=100平方釐米 * 1平方米 ＝100 平方分米 * 1公傾 ＝10000 平方米 * 1平方公裡 ＝100 公頃
四、體積和容積
1、什麼是體積、容積
① 體積，就是物體所佔空間的大小。
② 容積，箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積。
2、常用單位
① 體積單位：* 立方米 * 立方分米 * 立方釐米
② 容積單位：* 升 * 毫升
3、單位換算
① 體積單位
* 1立方米=1000立方分米 * 1立方分米=1000立方釐米
① 容積單位
* 1升=1000毫升 * 1升=1立方米 * 1毫升=1立方釐米
五、質量
1、什麼是質量質量，就是表示表示物體有多重。
2、常用單位 * 噸 t * 千克 kg * 克 g
3、常用換算 * 一噸=1000千克 * 1千克=1000克
六、時間
1、什麼是時間 是指有起點和終點的一段時間
2、常用單位 世紀、 年 、 月 、 日 、 時 、 分、 秒
3、單位換算
*1世紀=100年（公元1年—100年是第一世紀，公元1901—2000是第二十世紀）
* 平年一年365天，閏年一年366天。
*1年12個月（一、三、五、七、八、十、十二是大月，大月有31 天 ； 四、六、九、十一是小月小月，小月有30天；平年2月有28天 閏年2月有29天）
*閏年年份是4的倍數，整百年份須是400的倍數。
*1天= 24小時 1小時=60分 一分=60秒
七、貨幣
1、什麼是貨幣
貨幣是充當一切商品的等價物的特殊商品。貨幣是價值的一般代表，可以購買任何別的商品。
2、常用單位 * 元 * 角 * 分
3、單位換算* 1元=10角 * 1角=10分
常用單位換算
1、長度單位換算
1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10釐米 1米=100釐米 1釐米=10毫米
2、面積單位換算
1平方千米=100公頃 1公頃=10000平方米 1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方釐米 1平方釐米=100平方毫米
3、體(容)積單位換算
1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方釐米 1立方分米=1升
1立方釐米=1毫升 1立方米=1000升
4、重量單位換算
1噸=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤
5、人民幣單位換算
1元=10角 1角=10分 1元=100分
6、時間單位換算
1世紀=100年 1年=12月 大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月 小月(30天)的有:4\6\9\11月
平年2月28天, 閏年2月29天 平年全年365天, 閏年全年366天 1日=24小時
1時=60分 1分=60秒 1時=3600秒
第三章 代數初步知識
一、用字母表示數
1、用字母表示數的意義和作用
用字母表示數，可以把數量關係簡明的表達出來，同時也可以表示運算的結果。
用字母表示數是代數的基本特點。既簡單明了，又能表達數量關係的一般規律。
2、用字母表示常見的數量關係、運算定律和性質、幾何形體的計算公式
⑴ 常見的數量關係
① 路程用s表示，速度v用表示，時間用t表示，三者之間的關係：
s=vt v=s/t t=s/v
② 總價用a表示，單價用b表示，數量用c表示，三者之間的關係:
a=bc b=a/c c=a/b
⑵ 運算定律和性質
加法交換律：a+b=b+a
加法結合律：（a+b)+c=a+(b+c)
乘法交換律：ab=ba
乘法結合律：（ab)c=a(bc)
乘法分配律：（a+b)c=ac+bc
減法的性質：a-(b+c) =a-b-c
⑶ 用字母表示幾何形體的公式
① 長方形的長用a表示，寬用b表示，周長用c表示，面積用s表示。
c=2(a+b) s=ab
② 正方形的邊長a用表示，周長用c表示，面積用s表示。
c=4a s=a
③ 平行四邊形的底a用表示，高用h表示，面積用s表示。
s=ah
④ 三角形的底用a表示，高用h表示，面積用s表示。
s=ah/2
⑤ 梯形的上底用a表示，下底b用表示，高用h表示，中位線用m表示，面積用s表示。
s=(a+b)h/2 s=mh
⑥ 圓的半徑用r表示，直徑用d表示，周長用c表示，面積用s表示。
c=∏d=2∏r s=∏ r
⑦ 扇形的半徑用r表示，n表示圓心角的度數，面積用s表示。
s=∏ nr/360
⑧ 長方體的長用a表示，寬用b表示，高用h表示，表面積用s表示，體積用v表示。
v=sh s=2(ab+ah+bh) v=abh
⑨ 正方體的稜長用a表示，底面周長c用表示，底面積用s表示， 體積用v表示.
s=6a v=a
⑩ 圓柱的高用h表示，底面周長用c表示，底面積用s表示， 體積用v表示.
s側=ch
s表=s側+2s底 v=sh
圓錐的高用h表示，底面積用s表示， 體積用v表示.
v=sh/3
3、用字母表示數的寫法
① 數字和字母、字母和字母相乘時，乘號可以記作「.」，或者省略不寫；數與數相乘，乘號不能省略。
② 當「1」與任何字母相乘時，「1」省略不寫。
③ 數字和字母相乘時，將數字寫在字母前面。
④ 在一個問題中，同一個字母表示同一個量，不同的量用不同的字母表示。
⑤ 用含有字母的式子表示問題的答案時，除數一般寫成分母，如果式子中有加號或者減號，要先用括號把含字母的式子括起來，再在括號後面寫上單位的名稱。
4、將數值代入式子求值
① 把具體的數代入式子求值時，要注意書寫格式：先寫出字母等於幾，然後寫出原式，再把數代入式子求值。字母表示的是數，後面不寫單位名稱。
② 同一個式子，式子中所含字母取不同的數值，那麼所求出的式子的值也不相同。
二、簡易方程
1、等式：表示相等關係的式子叫等式。
2、方程：含有未知數的等式叫做方程。
判斷一個式子是不是方程應具備兩個條件：一是含有未知數；二是等式。所以，方程一定是等式，但等式不一定是方程。
方程和算術式不同。算術式是一個式子，它由運算符號和已知數組成，它表示未知數。方程是一個等式，在方程裡的未知數可以參加運算，並且只有當未知數為特定的數值時，方程才成立 。
3、方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解。
4、解方程 ：求方程的解的過程叫做解方程。
5、解方程的方法
⑴ 直接運用四則運算中各部分之間的關係去解。如x-8=12
加數+加數=和 一個加數=和－另一個加數
被減數－減數=差 減數=被減數－差 被減數=差＋減數
被乘數×乘數=積 一個因數=積÷另一個因數
被除數÷除數=商 除數=被除數÷商 被除數=除數×商
⑵ 先把含有未知數x的項看作一個數，然後再解。如3x+20=41，先把3x看作一個數，然後再解。
⑶ 按四則運算順序先計算，使方程變形，然後再解。如2.5×4-x=4.2，要先求出2.5×4的積，使方程變形為10-x=4.2，然後再解。
⑷ 利用運算定律或性質，使方程變形，然後再解。如：2.2x＋7.8x＝20，先利用運算定律或性質使方程變形為（2.2＋7.8）x＝20，然後計算括號裡面使方程變形為10x＝20，最後再解。
四、列方程解應用題
在列方程解文字題時，如果題中要求的未知數已經用字母表示，解答時就不需要寫設，否則首先應將所求的未知數設為x。
1、列方程解應用題的意義
* 用方程式去解答應用題求得應用題的未知量的方法。
2、列方程解答應用題的步驟
① 弄清題意，確定未知數並用x表示；
② 找出題中的數量之間的相等關係；
③ 列方程，解方程；
④ 檢查或驗算，寫出答案。
3、列方程解應用題的方法
① 綜合法：先把應用題中已知數（量）和所設未知數（量）列成有關的代數式，再找出它們之間的等量關係，進而列出方程。這是從部分到整體的一種思維過程，其思考方向是從已知到未知。
② 分析法：先找出等量關係，再根據具體建立等量關係的需要，把應用題中已知數（量）和所設的未知數（量）列成有關的代數式進而列出方程。這是從整體到部分的一種思維過程，其思考方向是從未知到已知。
4、列方程解應用題的範圍
小學範圍內常用方程解的應用題：
a一般應用題；
b和倍、差倍問題；
c幾何形體的周長、面積、體積計算；
d 分數、百分數應用題；
e 比和比例應用題。
五、比和比例
1、比的意義和性質
⑴ 比的意義
兩個數相除又叫做兩個數的比。
「：」是比號，讀作「比」。比號前面的數叫做比的前項，比號後面的數叫做比的後項。比的前項除以後項所得的商，叫做比值。
同除法比較，比的前項相當於被除數，後項相當於除數，比值相當於商。
比值通常用分數表示，也可以用小數表示，有時也可能是整數。
比的後項不能是零。
根據分數與除法的關係，可知比的前項相當於分子，後項相當於分母，比值相當於分數值。
⑵ 比的性質
比的前項和後項同時乘上或者除以相同的數（0除外），比值不變，這叫做比的基本性質。
⑶ 求比值和化簡比
求比值的方法：用比的前項除以後項，它的結果是一個數值可以是整數，也可以是小數或分數。
根據比的基本性質可以把比化成最簡單的整數比。它的結果必須是一個最簡比，即前、後項是互質的數。
⑷ 比例尺
圖上距離：實際距離=比例尺
要求會求比例尺；已知圖上距離和比例尺求實際距離；已知實際距離和比例尺求圖上距離。
線段比例尺：在圖上附有一條注有數目的線段，用來表示和地面上相對應的實際距離。
⑸ 按比例分配
在農業生產和日常生活中，常常需要把一個數量按照一定的比來進行分配。這種分配的方法通常叫做按比例分配。
方法：首先求出各部分佔總量的幾分之幾，然後求出總數的幾分之幾是多少。
2、比例的意義和性質
⑴ 比例的意義
表示兩個比相等的式子叫做比例。
組成比例的四個數，叫做比例的項。
兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做內項。
⑵ 比例的性質
在比例裡，兩個外項的積等於兩個兩個內向的積。這叫做比例的基本性質。
⑶ 解比例
根據比例的基本性質，如果已知比例中的任何三項，就可以求出這個數比例中的另外一個未知項。求比例中的未知項，叫做解比例。
3、正比例和反比例
⑴ 成正比例的量
兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關係叫做正比例關係。
用字母表示y/x=k(一定）
⑵ 成反比例的量
兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關係叫做反比例關係。
用字母表示x×y=k(一定)
4、比和比例應用題
⑴ 在工業生產和日常生活中，常常要把一個數量按照一定的比例來進行分配，這種分配方法通常叫「按比例分配」。
⑵ 按比例分配的有關習題，在解答時，要善於找準分配的總量和分配的比，然後把分配的比轉化成分數或份數來進行解答
⑶ 正、反比例應用題的解題策略
① 審題，找出題中相關聯的兩個量
② 分析，判斷題中相關聯的兩個量是成正比例關係還是成反比例關係。
③ 設未知數，列比例式
④ 解比例式
⑤ 檢驗，寫答語
第四章 幾何的初步知識
一、線和角
1、線
⑴ 直線
直線沒有端點；長度無限；過一點可以畫無數條，過兩點只能畫一條直線。
⑵ 射線
射線只有一個端點；長度無限。
⑶ 線段
線段有兩個端點，它是直線的一部分；長度有限；兩點的連線中，線段為最短。
⑷ 平行線
在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。
兩條平行線之間的垂線長度都相等。
⑸ 垂線
兩條直線相交成直角時，這兩條直線叫做互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線,相交的點叫做垂足。
從直線外一點到這條直線所畫的垂線的長叫做這點到直線的距離。
2、角
⑴ 從一點引出兩條射線，所組成的圖形叫做角。這個點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。
⑵ 角的分類
① 銳角：小於90°的角叫做銳角。
② 直角：等於90°的角叫做直角。
③ 鈍角：大於90°而小於180°的角叫做鈍角。
④ 平角：角的兩邊成一條直線，這時所組成的角叫做平角。平角180°。
⑤ 周角：角的一邊旋轉一周，與另一邊重合。周角是360°。
二、平面圖形
1、三角形
⑴ 特徵：由三條線段圍成的圖形；內角和是180度；三角形具有穩定性；從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高，一個三角形有三條高。
⑵ 計算公式：s=ah/2
⑶ 分類
① 按角分
A、銳角三角形 ：三個角都是銳角。
B、直角三角形 ：有一個角是直角。等腰三角形的兩個銳角各為45度，它有一條對稱軸。
C、鈍角三角形：有一個角是鈍角。
② 按邊分
A、不等邊三角形：三條邊長度不相等。
B、等腰三角形：有兩條邊長度相等；兩個底角相等；有一條對稱軸。
C、等邊三角形：三條邊長度都相等；三個內角都是60度；有三條對稱軸。
2、四邊形
⑴ 特徵：
① 四邊形是由四條線段圍成的圖形。
② 任意四邊形的內角和是360度。
③ 只有一組對邊平行的四邊形叫梯形。
④ 兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形，它容易變形。長方形、正方形是特殊的平行四邊形；正方形是特殊的長方形。
⑵分類
① 長方形
A、特徵：對邊相等，4個角都是直角的四邊形。有兩條對稱軸。
B、計算公式：c=2(a+b) s=ab
② 正方形
A、特徵：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形。有4條對稱軸。
B、計算公式：c=4a s=a
③ 平行四邊形
A、特徵：兩組對邊分別平行的四邊形；相對的邊平行且相等；對角相等；相鄰的兩個角的度數之和為180度；平行四邊形容易變形。
B、計算公式：s=ah
④ 梯形
A、特徵：只有一組對邊平行的四邊形；中位線等於上下底和的一半；等腰梯形有一條對稱軸。
B、計算公式：s=(a+b)h/2=mh
3、圓
⑴ 圓的認識
圓是平面上的一種曲線圖形。
圓中心的一點叫做圓心。一般用字母o表示。
半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段叫做半徑。一般用r表示。
在同一個圓裡，有無數條半徑，每條半徑的長度都相等。
通過圓心並且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用d表示。
同一個圓裡有無數條直徑，所有的直徑都相等。同圓或等圓的直徑都相等
同一個圓裡，直徑等於兩個半徑的長度，即d=2r。
圓的大小由半徑決定。 圓有無數條對稱軸。
圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。
⑵ 圓的畫法
把圓規的兩腳分開，定好兩腳間的距離（即半徑）；
把有針尖的一隻腳固定在一點（即圓心）上；
把裝有鉛筆尖的一隻腳旋轉一周，就畫出一個圓。
⑶ 圓的周長
圍成圓的曲線的長叫做圓的周長。
把圓的周長和直徑的比值叫做圓周率。用字母∏表示。
⑷ 圓的面積：圓所佔平面的大小叫做圓的面積。
⑸ 計算公式：d=2r r=d/2 c=∏d c=2∏r s=∏r
4、扇形
⑴ 扇形的認識
一條弧和經過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。（半圓與直徑的組合也是扇形）。顯然， 它是由圓周的一部分與它所對應的圓心角圍成。
圓上AB兩點之間的部分叫做弧，讀作「弧AB」。
頂點在圓心的角叫做圓心角。
在同一個圓中，扇形的大小與這個扇形的圓心角的大小有關。
扇形有一條對稱軸，是軸對稱圖形。
⑵ 計算公式：s=n∏r/360
5、環形
⑴特徵：由兩個半徑不相等的同心圓相減而成，有無數條對稱軸。
⑵ 計算公式：s=∏(R-r）
6、軸對稱圖形
⑴ 特徵
① 如果一個圖形沿著一條直線對摺，兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形。摺痕所在的這條直線叫做對稱軸。
② 線段、角、等腰三角形、長方形、正方形等都是軸對稱圖形，他們的對稱軸條數不等：
正方形有4條對稱軸， 長方形有2條對稱軸。
等腰三角形有2條對稱軸，等邊三角形有3條對稱軸。
等腰梯形有一條對稱軸，圓有無數條對稱軸。
菱形有4條對稱軸，扇形有一條對稱軸。
三、立體圖形
（一）長方體
1、特徵
六個面都是長方形（有時有兩個相對的面是正方形）。
相對的面面積相等，12條稜相對的4條稜長度相等。
有8個頂點。
相交於一個頂點的三條稜的長度分別叫做長、寬、高。
兩個面相交的邊叫做稜。
三條稜相交的點叫做頂點。
把長方體放在桌面上，最多只能看到三個面。
長方體或者正方體6個面的總面積，叫做它的表面積。
2、計算公式：s=2(ab+ah+bh) V=sh V=abh
（二）正方體
1、特徵
六個面都是正方形
六個面的面積相等
12條稜，稜長都相等
有8個頂點
正方體可以看作特殊的長方體
2、計算公式：S表=6a v=a
（三）圓柱
1、圓柱的認識
圓柱的上下兩個面叫做底面。
圓柱有一個曲面叫做側面。
圓柱兩個底面之間的距離叫做高 。
進一法：實際中，使用的材料都要比計算的結果多一些，因此，要保留數的時候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位進1。這種取近似值的方法叫做進一法。
2、計算公式：s側=ch s表=s側+s底×2 v=sh/3
（四）圓錐
1、圓錐的認識
圓錐的底面是個圓，圓錐的側面是個曲面。
從圓錐的頂點到底面圓心的距離是圓錐的高。
測量圓錐的高：先把圓錐的底面放平，用一塊平板水平地放在圓錐的頂點上面，豎直地量出平板和底面之間的距離。
把圓錐的側面展開得到一個扇形。
2、計算公式：v= sh/3
（五）球
1、認識
球的表面是一個曲面，這個曲面叫做球面。
球和圓類似，也有一個球心，用O表示。
從球心到球面上任意一點的線段叫做球的半徑，用r表示，每條半徑都相等。
通過球心並且兩端都在球面上的線段，叫做球的直徑，用d表示,每條直徑都相等,直徑的長度等於半徑的2倍，即d=2r。
2、計算公式：d=2r
四、周長和面積
1、平面圖形一周的長度叫做周長。
2、平面圖形或物體表面的大小叫做面積。
3、常見圖形的周長和面積計算公式
小學數學圖形計算公式
1、正方形 （C：周長 S：面積 a：邊長）
周長＝邊長×4 C=4a
面積=邊長×邊長 S=a×a
2、正方體 （V:體積 a:稜長 ）
表面積=稜長×稜長×6 S表=a×a×6
體積=稜長×稜長×稜長 V=a×a×a
3、長方形（ C：周長 S：面積 a：邊長）
周長=(長+寬)×2 C=2(a+b)
面積=長×寬 S=ab
4、長方體 （V:體積 s:面積 a:長 b: 寬 h:高）
(1)表面積(長×寬+長×高+寬×高)×2 S=2(ab+ah+bh)
(2)體積=長×寬×高 V=abh
5、三角形 （s：面積 a：底 h：高）
面積=底×高÷2 s=ah÷2
三角形高=面積 ×2÷底 三角形底=面積 ×2÷高
6、平行四邊形 （s：面積 a：底 h：高）
面積=底×高 s=ah
7、梯形 （s：面積 a：上底 b：下底 h：高）
面積=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2
8、圓形 （S：面積 C：周長 л d=直徑 r=半徑）
(1)周長=直徑×л=2×л×半徑 C=лd=2лr
(2)面積=半徑×半徑×л
9、圓柱體 （v:體積 h:高 s：底面積 r:底面半徑 c:底面周長）
(1)側面積=底面周長×高=ch(2лr或лd)
(2)表面積=側面積+底面積×2
(3)體積=底面積×高
（4）體積＝側面積÷2×半徑
10、圓錐體 （v:體積 h:高 s：底面積 r:底面半徑）
體積=底面積×高÷3
第五章 簡單的統計
一、統計表
（一）意義
* 把統計數據填寫在一定格式的表格內，用來反映情況、說明問題，這樣的表格就叫做統計表。
（二）組成部分
* 一般分為表格外和表格內兩部分。表格外部分包括標的名稱，單位說明和制表日期；表格內部包括表頭、橫標目、縱標目和數據四個方面。
（三）種類
* 單式統計表：只含有一個項目的統計表。
* 複式統計表：含有兩個或兩個以上統計項目的統計表。
* 百分數統計表：不僅表明各統計項目的具體數量，而且表明比較量相當於標準量的百分比的統計表。
（四）製作步驟
1、搜集數據
2、整理數據：
要根據制表的目的和統計的內容，對數據進行分類。
3、設計草表：
要根據統計的目的和內容設計分欄格內容、分欄格畫法，規定橫欄、豎欄各需幾格，每格長度。
4、正式制表：
把核對過的數據填入表中，並根據制表要求，用簡單、明確的語言寫上統計表的名稱和制表日期。
二、統計圖
（一）意義
* 用點線面積等來表示相關的量之間的數量關係的圖形叫做統計圖。
（二）分類
1、條形統計圖
用一個單位長度表示一定的數量，根據數量的多少畫成長短不同的直條，然後把這些直線按照一定的順序排列起來。
優點：很容易看出各種數量的多少。
注意：畫條形統計圖時，直條的寬窄必須相同。
取一個單位長度表示數量的多少要根據具體情況而確定；
複式條形統計圖中表示不同項目的直條，要用不同的線條或顏色區別開，並在製圖日期下面註明圖例。
製作條形統計圖的一般步驟:
（1）根據圖紙的大小，畫出兩條互相垂直的射線。
（2）在水平射線上，適當分配條形的位置，確定直線的寬度和間隔。
（3）在與水平射線垂直的深線上根據數據大小的具體情況，確定單位長度表示多少。
（4）按照數據的大小畫出長短不同的直條，並註明數量。
2、折線統計圖
用一個單位長度表示一定的數量，根據數量的多少描出各點，然後把各點用線段順次連接起來。
優點：不但可以表示數量的多少，而且能夠清楚地表示出數量增減變化的情況。
注意：折線統計圖的橫軸表示不同的年份、月份等時間時，不同時間之間的距離要根據年份或月份的間隔來確定。
製作折線統計圖的一般步驟:
（1）根據圖紙的大小，畫出兩條互相垂直的射線。
（2）在水平射線上，適當分配折線的位置，確定直線的寬度和間隔。
（3）在與水平射線垂直的深線上根據數據大小的具體情況，確定單位長度表示多少。
（4）按照數據的大小描出各點，再用線段順次連接起來，並註明數量。
3、扇形統計圖
用整個圓的面積表示總數，用扇形面積表示各部分所佔總數的百分數。
優點：很清楚地表示出各部分同總數之間的關係。
制扇形統計圖的一般步驟：
（1）先算出各部分數量佔總量的百分之幾。
（2）再算出表示各部分數量的扇形的圓心角度數。
（3）取適當的半徑畫一個圓，並按照上面算出的圓心角的度數，在圓裡畫出各個扇形。
（4）在每個扇形中標明所表示的各部分數量名稱和所佔的百分數，並用不同顏色或條紋把各個扇形區別開。