作者：張宇寧博士
前 言
五四青年節，被短視頻《後浪》刷屏了。我一個中年大叔看得滿臉羨慕，如片中所言，科學技術、文化藝術、國家城市，都是給年輕一代最好的禮物。
趁著這顆被激動起來的心，將最近心中在想又一直以沒時間為藉口其實就是懶不想寫的幾個事情寫成筆記。借著《後浪》之餘溫，懷緬 「前浪」的偉大。
就寫兩個題目：分別是號稱最美數學公式的歐拉恆等式，和號稱最美物理公式的麥克斯韋方程。選擇它們的原因有二：一是它們確實充滿美感，似乎觸及了上帝的心思。二是我是最近才搞明白這些事情，寫個筆記記錄下來。
其實還有第三個題目：龔升先生說「三維空間的斯託克斯公式，是微積分中最深刻的定理，是微積分這門課程的頂峰和終點，也是近代數學的入口處」。這段話我還沒想明白，哪天萬一想明白了，再寫下來。
五一假期後開工第一天，從歐拉公式開始！考慮到公式的輸入實在是麻煩，所有涉及公式我們就手寫。
從微積分到歐拉恆等式
歐拉恆等式就長這個樣子。很簡單的一個式子，聯繫了1，0，虛數單位i，和兩個超越數e和π。沒有多餘的東西。
歐拉恆等式從哪來的呢？它從歐拉公式來。歐拉公式又從哪來的呢？它從連續函數的泰勒展開來。泰勒展開又從哪來的呢？它從函數的微分來。下面我們就按著這個順序，復盤一下歐拉恆等式的誕生。
微積分的出現
為了研究「變化」的關係，人們逐漸發現了研究無窮小量的方法。直到牛頓和萊布尼茲兩位大神各自獨立地提出一整套方法論，微積分就算是誕生了。
微分的定義由極限給出：
人們驚呼牛頓牛逼！然後趁熱打鐵，算出了一堆函數的微分。我們需要知道的只有這些：
泰勒展開
泰勒展開要幹什麼事情？
人們發現，有些函數很好處理，比如冪函數和多項式函數。有些函數不好處理，比如三角函數，指數函數，對數函數等等。那麼，能不能把任何一個函數都用多項式函數來表達呢？
大家本能地覺得，這不可能吧！這時候泰勒同學站出來說，可以！加一個限制條件：只要這個函數是連續可微的。（這也很好理解，如果一個函數是突變的，甚至是分段的，那無論如何不能被簡單函數「擬合」）。
我這裡用一個小人賽跑的比喻來描述它。這個比喻不是我想到的，是B站中的「媽咪說」提到的（歡迎大家去看）。這個比喻是如此的生動、形象，接近本質，以至於我聽到一次就忘不掉了。
說有兩個小人跑步。A小人可以隨意跑，B小人的目標就是跟著A跑，跑出一條一毛一樣的軌跡。請問B該怎麼做？
首先，B要和A站在同樣的起點，對吧？然後B還要知道A的初始速度，這樣就可以跟著A跑一小段。如果B還知道A的加速度，就可以跟跑更長的一段…如果小人B在出發的一刻知道小人A的加速度的加速度的加速度……就可以跟著A跑越來越長的一段距離。
我們把這個情景表達成對話的形式。
小人A：「我跑了啊，你跟我！「
小人B：「我先和你站在一條線上」
小人B：「哎呀！你的速度這麼快！那我也這麼快！」
小人B：「臥槽！你還想加速？那我也加速！」
小人B：「尼瑪！你居然想先加速再減速然後回頭跑…你太奸詐了！！」
如此下去，在槍響的一瞬間，小人B知道小人A的心思越多，小人B能跟上小人A的距離就越長。
泰勒同學的方法就是這麼回事——只要我能知道一個函數在一個點的足夠多次的導數，我就能更加真實地逼近它。
當然這個描述不是十分的嚴格。在f(x)的一個鄰域內，餘項是收斂的。出了這個鄰域，餘項是發散的。這個不在我們討論的範圍內，而且這並不影響我們這樣去理解它。
人們驚呼泰勒同學牛逼！然後又一次趁熱打鐵，算出了一堆函數的泰勒展開。我們用到的只有這些：
歐拉公式
然後就是歐拉大神出場了。歐拉看著這些函數的展開式，受到了強烈的暗示（請注意這個「強烈的暗示「，我們在下期的麥克斯韋方程中也會用到）：指數函數和正弦函數、餘弦函數之間一定有某種關係！
當然這是我們對大神的揣測。也許在歐拉看來，這一步是「顯然「，」易知「，「送分題」。
歐拉將虛數單位i引進來，關係立刻出現：
是為歐拉公式。
當x = π時，立得歐拉恆等式：
「奇蹟「就這麼誕生了。
後 記
與其說我們是在懷念「前浪「的偉大，不如說是在讚嘆「古人」的智慧。這裡面最年輕的歐拉，比乾隆還要大四歲。
有人會問，這玩意有什麼用呢？對絕大部分的人來說，這基本沒什麼用。但是有個例外，如果你家有初中的孩子，問你三角函數的公式時，你可以「賣弄」一下。
問：三角函數的倍角公式怎麼推導？
方法一：初等數學——造圖形，找線段，做相等。比較繁瑣難記，網上可找。
方法二：由歐拉公式一步立得，一分鐘都不要：
你寫一個α，一個β，sin (α+β)也立刻出來了。