如果地球突然停止繞太陽運行，我知道它最終會被太陽的引力拉入並擊中它。地球撞到太陽需要多長時間？ 我想它開始會先慢慢走，然後再加快速度。
地球撞擊太陽大約需要兩個月（是的，你是對的，一開始它只會慢慢的移動，並在繼續下降的過程中加速）。
我是怎麼得到這個數據的？這裡有三個方法可以得到答案：第一種是精確的計算它（它很長，很無聊而且涉及到微積分學），另一個是涉及到物理軌道的整潔技巧（會在下面進一步解釋）。第三種是做所謂的「封底」或「數量級」估計，你可以使用直覺對這個問題做一些簡化，這樣你就可以在不使用任何亂七八糟的數學知識的情況下大致猜出答案。
信封背面的估計值一直被物理學家和天文學家使用，在這種情況下（像許多其他情況一樣），信封背面的估計值做得非常好！因此，我認為有必要詳細討論一下。
最簡單的估算方法就是列出所有可能影響問題答案的因素。就像我舉的一個愚蠢的例子，大多數人很容易想到一些不會影響答案的事：六個月前新澤西州的中獎彩票號碼，地球開始下降，瑞士的天氣會是怎樣的，等等！但是有幾件事可以說是能影響到答案的，其中包括地球和太陽的某些屬性，以及拉動地球的引力。所以我們要為這些事理一個單子。（如果你自己想嘗試一下，在進一步閱讀之前，請列出一些清單。）
這裡有兩件很明顯的事需要列出清單：
太陽的質量（我們可以叫做M）；如果太陽假設變得更大，它在地球上的引力會更強而地球則需要短時間內下降。已知太陽的質量約為1.99 x 10^33克。
地球與太陽之間的距離（我們稱之為R）；假設這個距離增加了，那麼地球在撞擊太陽之前會有更遠的距離，因此它需要更長的時間才能落下。已知地球與太陽之間的距離約為1.50 x 10^13釐米。
第三件事情影響了問題的答案，儘管如果你沒有物理背景，這件事也不會那麼明顯：
牛頓引力常數（我們稱之為G）；這是宇宙的物理性質，它決定了重力與其他力相比的強度。實驗上知道它的值為6.67 x 10-8（以「每平方釐米的平方釐米/克的立方」相當有趣的單位）。 可以肯定地說，在任何涉及重力的物理問題中，G都會在某個地方彈出，因此我們將其包含在此處。
除了上述三個數量（M，R和G）之外，您還能想到其他可能影響問題答案的方法嗎？我不能！在文章的底部，我會提到其他幾種可能性而且會解釋它們為什麼不重要，但是就現在而言，足以說明我們僅使用這些可能性就可以大致估算出地球撞擊太陽所需的時間 三個數字。
封套後面的計算最吸引人的地方在於，一旦你確定了重要的量，你就差不多完成了對這個問題的思考！因為我們知道我們的最終答案必須具有時間單位（例如，秒，分鐘，月等），我們真正需要做的是找到一種方法，將m（有質量單位）、r（有距離單位）和g（有「距離立方/時間平方/質量」單位）進行數學組合，從而給出時間單位，因為我們正在尋找的最後一個公式必須把這三個量以這樣的方式結合起來，得到一個有時間單位的答案。
如果你願意的話，你可以嘗試的使用這三個數量，試著找到給出時間單位的公式。這可能有助於記住我們在上文中提出的物理直覺，我們認為增加G或M（即增加重力）會縮短地球掉落的時間，而增加R會延長時間。 為了使它起作用，必須在最終方程的分母中出現G和M（提升到某種力量），而在分子中出現R（提升到某種力量）。
如果您使用這三個量，最終您會發現滿足以上約束的唯一公式是：
時間=（R3 / GM）1/2。
（在這裡，上標「1/2」表示括號中的項的平方根被取下）這是我們將用於信封估計的後面的公式。這一定是正確的公式嗎？不，不完全是。可能有一個數字（如2、3或7）在前面乘以這個公式，如果不進行完整的計算，我們就無法確定這個數字是什麼。然而，在這類簡單的問題中，前面的數字不太可能很大；天文學家喜歡說，上面的方程對一個「數量級」來說是有效的，它也許不能給我們一個準確的答案，但它會給我們一個足夠接近的估計值。
如果我們把m，r和g的值加到這個公式中，我們得到的答案是500萬秒，大約是58天。這和真正的答案有多接近？好吧，如果你仔細研究了所有複雜的積分，精確求解地球落在太陽上每個時間點的位置，你得到的公式是：
Time = 1.1 ( R3 / GM)1/2.
所以這兩個公式是一樣的，準確率約為10%，這是非常好的！真正的答案是大約65天，但是信封背面的答案非常好，可以說「大約兩個月」，就像我在這篇文章的開頭所說的那樣。
注意事項：一些讀者可能會對上述討論和信封背面的方法有異議。以下是可能提出的一些問題：
信封背面的方法總是有效的嗎？不，在比這個複雜得多的問題中，可能有不止一種方法可以把所有變量組合起來，得到正確的答案單位。它之所以在這裡起作用，是因為問題非常簡單（只有三個變量：m、r和g），以至於在最終的公式中沒有其他可能的變量排列方式。如果您具有一定的物理背景，還有其他方法可以在更廣泛的情況下進行封套計算。例如，在這裡討論的問題中，你可以利用地球到太陽旅行的兩個不同點的能量守恆來得到正確公式的估計值。試試看你得到了什麼！回答：如果選擇起始位置和「中間點」作為兩個位置，那麼能量守恆減少到方程gm/r=v2/2，其中v是地球在中間點的速度。當然，我們知道地球的速度會隨著它的下降而增加，所以很難精確地計算出它在任何一個給定的點上是什麼，但是如果你把v估計為「r除以時間」，那麼你會得到一個最終的公式：
時間= 0.7（R3 / GM）1/2，
其數量級與上述公式相同。 在這種情況下使用它會給您一個不太準確的答案（稍微超過1個月而不是2個月），但是對於一個數量級的估計仍然是有價值的-計算絕對足以告訴您地球贏得了 不要在短短幾個小時內就掉入陽光，也不會等待數百年！
有關計算此問題答案的其他方法的信息（包括帶積分的完整方法以及涉及軌道物理學的整潔方法），請參閱此問題的PhysLink答案。 （涉及軌道物理學的方法是一種不錯的捷徑，它在這裡適用，但不適用於其他問題，其方式與量級估計的方法相同。基本上，如果您將地球掉入太陽的角度視為非常大的一半 軸長等於地球與太陽的距離的橢圓形細長軌道，那麼您可以使用克卜勒定律證明時間必須等於0.55 / 2年，大約65天。）
我們為什麼不必擔心M，R和G之外的其他數量？ 您可能會認為，其他一些事情，例如地球的質量，地球的大小和太陽的大小，可能會影響上述問題的答案。 但是，如果我們查看這些數字，可以發現這三個數量相對可以忽略不計。 地球的質量約為5.97 x 10^27克，比上面引用的太陽少幾十萬倍！ 因此，在這個問題上，它的引力與太陽的引力相比肯定可以忽略不計（而且，如果您對物理學有一點了解，那麼在太陽引力的影響下，地球落到太陽的速度將不會受到影響 在地球質量上，由於相同的原因，在沒有空氣阻力的情況下，羽毛和錘子將以相同的速度下降）。
同樣，地球的半徑約為6.37 x 108釐米，太陽的半徑約為6.96 x 1010釐米。它們分別比上述地-日距離小約24000倍和215倍！所以，舉個例子，雖然你認為地球墜落到太陽表面所需的時間比假設所有太陽的質量都位於太陽中心所需的時間要短，這在技術上是正確的（這是我們在上面計算的）。事實證明，這種差別是微不足道的。「額外距離」不僅只有總距離的1/215，而且地球在下降時加速這一事實進一步加劇了這種情況。當地球到達太陽表面時，它的運動速度非常快，因此，與下降所需的總時間（如我們在上面看到的，大約幾個月）相比，下降到太陽中心所需的「額外時間」非常短（大約幾分鐘）。
參考資料
1.Wikipedia百科全書
2.天文學名詞
3.Kelly
如有相關內容侵權，請於三十日以內聯繫作者刪除
轉載還請取得授權，並注意保持完整性和註明出處