本文作者劉瑞祥，[遇見數學] 感謝劉老師投稿支持！
數字 6 很有意思，有很多簡潔、優美的興致。比方很多人都知道，6 是最小的完全數，也就是說，他的全部「真約數（小於它本身的約數）」的和與積是相等的。而且它的真約數之和、之積恰等於它本身。有人說這是因為上帝在 6 天之內造出了整個世界，而也有說，正是因為 6 是完全數，所以上帝創造世界需要六天。但是６得有意思的性質遠不止這些。
比如說，對於所謂「費馬猜想（現在是費馬定理了）」來說， n=6 是第一個無需專門證明即可知 x^n+y^n=z^n 沒有正整數解的情況。這是因為只要我們證明了 n=3 沒有正整數解，那麼 n=6 沒有正整數解乃是順理成章的事情。
既然提到費馬猜想，我們不妨把眼光轉向幾何：圓內接正六邊形是最容易作的多邊形，即使只用圓規，六等分一個圓也不會增加難度。這當然是因為圓內接正六邊形的邊長等於圓半徑。而正是因為這一點，我們可以從正六邊形開始逐漸逼近圓，以此來計算圓周率。這就是劉徽《九章算術注》中的做法。而我們知道，在立體幾何裡，正六邊形還和正方體有著密切的聯繫，比如可以從正方體裡做一個正六邊形的截面。另外，最簡單的多面體——正四面體——具有 6 條稜，最普通的幾何體——長方體——具有 6 個面等等，都說明 6 這個數字的確很有意思。
相比之下，7 就麻煩多了。雖然歷史上很多人對 7 情有獨鍾，比如音階、星期乃至竹林七賢、過去七佛、七大奇蹟、北鬥七星、七巧板、哥尼斯堡七橋問題等等地方都會遇到 7，但除了後兩者都和數學關係不大。在數學上，7 可以算是最小的麻煩數。
比如，一個數除以 7，如果除不盡，那麼它循環節居然達到了「驚人」的 6 位。我現在還記得當年剛學循環小數時計算 1÷7 的恐怖經歷。這在除數小於 13 的數字裡是最長的。根據抽屜原則我們知道，如果兩個整數無法整除，那麼分母為 n 時，循環節最多為(n-1)位，數字 7 完美地詮釋了這一點。不過後來我從一本數學讀物上學了一招，可以方便地計算 1-6 除以 7 的循環節：
如圖，裡圈數字是被除數，外圈數字是按順時針排列的循環節，對照如下：
這些循環節有個共同的奇妙特性，那就是前三位和後三位加一起恰好是 999，類似的性質也可以在其他循環小數中遇到。這是初等數論中很有代表性的結論。可以說，因為我們有 7 這個最小的「麻煩數」，數論上一些不容易察覺到的性質就有了一個很好、隨手可得的例證。這大概就是 7 給我們的正面意義吧。
我們再來看看幾何：正七邊形還是第一個不能用尺規做出的正多邊形。但是很多資料語焉不詳，比如我手頭一本書說的是「單用直尺和圓規幾乎不可能做出」，難道說尺規聯合使用就能做出了？也許那本書的作者確實是這麼認為的，因為那本書上就記載著這樣一個做法——取圓內接正三角形邊長的一半為該圓內接正七邊形的邊長（見下左圖）：
不過仔細算一下，或者在數學軟體裡度量一下就知道，這僅是近似做法。上右圖是資料 1 中列舉的另一種近似做法：可以記做「下七八，上四三，九七在中間；角下五，肩上九，一一點二左右手。」
為什麼不能用尺規畫出正七邊形？原因是這其中需要用到解三次方程。而摺紙可以實現這一點，所以可以用摺紙來製作真正的正七邊形，但是也很麻煩，大家可以閱讀資料 2。不但如此，正七邊形的「麻煩」還在於它的邊長需要動用複數工具，雖然最後的結果肯定會消去虛數單位 i，但是表達式裡卻需要始終帶著這麼個東西。有興趣者可以查閱下面的資料 3。雖然我們不能用尺規做出正七邊形，但是如果已經給我們一個正七邊形，我們卻有把握用尺規作出一個與之面積相等的正方形。這是因為正七邊形可以分成十四個全等的直角三角形，從而拼成一個矩形，而做出與已知矩形面積相等的正方形，則是簡單的。
在立體幾何裡，可以證明，沒有任何幾何體恰好有七條稜。這個證明方法就留給讀者了。這是 7 這個數字「麻煩」的又一例。