最大似然法估計二項式分布參數

2021-02-25 聯川生物

前面我們學習了解了最大似然法求解正態分布參數，求解指數分布參數。今天我們再來看看最大似然法如何求解二項式分布參數。

1.二項式分布與似然值估計公式

如在人們對兩種口味飲料無偏好時，即人們喜歡香橙口味的概率p=0.5，喜歡葡萄口味的概率p=0.5，那麼7個人中4個人喜歡香橙口味的概率為0.273。計算公式如下：如7個人中有4個人喜歡香橙口味飲料，在人們對兩種口味飲料無偏好時，也就是喜歡兩種口味飲料的概率p=0.5，那麼p=0.5對應的似然值為0.273。計算公式如下：等式右邊，「|」右側的固定條件不同，也就是已知條件不同。在二項式分布公式中，固定條件為人們喜歡香橙口味的概率p=0.5,其他詢問的人數。在似然值公式中，固定的條件是7個人中4個人喜歡香橙口味。「|」左邊的變量不同，在二項式公式中，變量是詢問人數中共有幾人喜歡香橙口味；在似然值公式中，變量是人們喜歡香橙口味飲料的概率。

通過對比，能知道似然值與分布公式的重要意義：似然值公式是通過已發生的事件，推導產生該事件環境的可能性；而分布公式是已知環境，推導該環境下發生某件事的概率。

2.最大似然法求解二項式分布參數

「二項式分布的似然值：」 用似然法估計二項式分布的參數，即我們需要計算不同p值時對應的似然值。

如下方程的含義為：在隨機7個人中4個人喜歡香橙口味的固定情況下，計算p=0.5時的似然值為0.273；

在隨機7個人中4個人喜歡香橙口味的固定情況下，計算p=0.25時的似然值為0.058；在隨機7個人中4個人喜歡香橙口味的固定情況下，計算p=0.57時的似然值為0.294。

p值的取值範圍是[0,1]，將以上二項式分布中的p在[0,1]範圍內的似然值繪製成曲線，當曲線達到峰值（斜率為0）時對應的似然值最大。

「因為在似然值曲線的峰值時，該p值對應的似然值最大，故可將其轉化成數學問題，求解二項式分布的導數為0時，p的取值。」

為方便求導，將似然值求解公式兩邊同時取對數處理並簡化方程：

當p=4/7=0.57時，取得最大似然值。故得出結論，當人們喜歡香橙口味飲料的概率為0.57時，發生4個人喜歡香橙口味，3個人喜歡葡萄口味的概率最大。

任意情況下，最大似然值估計二項式分布參數

問題：已知任意n個人中，任意x人喜歡香橙口味時，探究該二項式分布中最有可能的p值。

求解方法同前，依次對函數進行對數處理、求導、求解p。最終，得出當p=x/n時，n人中x人更喜歡香橙口味的似然值最大。

為方便求導，將似然值求解公式兩邊同時取對數處理並簡化方程：↓因不論n與x的取值，當斜率=0（導數=0）時，該處對應的似然值最大。小結

通過前面幾期的深入學習，使得我們能夠更加清楚的了解最大似然值估計法的基本原理，讓最大似然法不再陌生。繼續加油~~~

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