一個簡單的等式看懂黑洞奇點的奇異程度

2020-11-30 騰訊網

黑洞與廣義相對論有著天生的親緣關係，當德國物理學家史瓦西1915年得到引力場方程的第一個精確解時，人們就發現在這個被稱為史瓦西解的數學模型中，包含著兩個非常明顯的奇異性，一個是史瓦西半徑面上的奇異性——後來被稱為史瓦西視界，另一個則是黑洞中心點的奇異性——黑洞奇點。

在前幾篇科普文章中，我們已經對史瓦西視界上的奇異性有了很多的了解。今天聊到黑洞奇點的奇異性，為方便表述，下面的全部討論都將建立在靜態球對稱的史瓦西黑洞上。

黑洞奇點(0體積，也不是白的）

黑洞奇點的體積是0，僅僅憑藉這一點就可看出，指揮著宇宙大尺度範圍內天體運行及時空變化的廣義相對論，也是可以生成如量子場論中的點粒子一樣的模型的。這意味著，黑洞奇點是廣義相對論與描述微觀世界的量子力學很好的一個結合點。

但是，我們在這篇文章中需要明確指出的則恰恰相反，黑洞奇點不但在廣義相對論的數學形式上具有奇異性或失效性，它在量子力學的基本原理上也屬於一種奇異性的特例。

為更直接地理解黑洞奇點的數學形式，我們先來介紹時空的四維表述。

時空的四維形式

在愛因斯坦的廣義相對論中，時間、空間是被統一為四維連續體的。就是說，時間這個維度，被確定性的「距離化」而加入到三維空間中。

彎曲的四維時空模擬（二維畫面模擬圖）

我們知道，在真空中光速總是恆定不變的（2.998×10∧8m/s），這是時空的對速度的基本限定，因此時間要想「距離化」就必須對其乘以光速，即c×t（c為光速，t為時間）。

接下來我們要做的是定義出四維時空的「距離」（這在廣義相對論中被假定為一個不因參考系變換而發生變化的量），s∧2=c∧2t∧2－x∧2－y∧2－z∧2（x、y、z為三維空間坐標，s為四維時空中兩點的距離）。當以微分的形式表述出來時，時空弧元（四維時空中無限接近的兩點間的距離）ds∧2=c∧2dt∧2－dx∧2－dy∧2－dz∧2（d為微分符號，例如dt表示時間t的無窮小增量，dt∧2表示這個無窮小增量的平方，而不是時間平方的無窮小增量）。

對於上述微分式，很容易看出右邊各項的係數全部為1，它們代表著歐式四維時空的平直度規（度規是時空弧元表達式中右邊四個項的係數，它們為1時，代表時空的平直性，不為1時，代表時間或空間的彎曲程度），還可以看出這個四維時空弧元的表述是與三維歐式空間中距離的表述式相類似的，唯一的差別只是後面三項的負號。

黑洞奇點的數學奇異性

史瓦西在對靜態球對稱黑洞進行引力場方程求解時，為方便，引入了球坐標（r,θ，φ），得到的時空弧元為

球坐標示意圖

靜態球對稱引力場的史瓦西解

上式中的ds為四維時空的弧元，rg為史瓦西半徑，也就是視界到黑洞中心奇點（球坐標原點）的距離。

當我們在黑洞的視界內部，選取一條徑向路線，使得dθ，dφ全部為0，右邊第二項則會變為0，這時會發現時空度規僅僅剩下兩項（原來的第一項和第三項），第一項c∧2dt∧2的係數為時間度規，第二項dr∧2的係數為空間徑向度規，參見下面兩圖。

時間度規

空間徑向度規

首先我們會發現，時間度規與空間徑向度規互為倒數且正負號會顛倒，這可以認為是黑洞視界內部時間與空間的相互「轉化」。

在黑洞的中心奇點處r=0，我們看到空間徑向坐標dr∧2的係數即空間徑向度規為0，這代表著空間在奇點上處於無限壓縮的狀態，也就是所有進入黑洞奇點的物質其體積都會變為0；而時間坐標c∧2dt∧2的係數即時間度規變為負無窮大，這意味著時間在黑洞奇點處失去了應有的物理意義。

總體來說，黑洞奇點處的時空將會發生無限大的彎曲，其體積為0，質量密度自然也會無限大。這讓我們在廣義相對論的數學形式上非常清晰地看到了黑洞奇點的奇異性或非真實性。

不確定性原理的失效

黑洞奇點的奇異性還遠遠不止上面所討論的這些。因為黑洞奇點的體積為0，但確確實實地具備著一定的質量，考慮量子力學中尤其在場論中粒子被視為0體積質點的觀點，我們容易想到黑洞奇點在原則上應該服從量子力學規律對於點粒子的約束。

量子力學最重要的基本原理之一是海森堡的不確定性原理——粒子的位置與動量不可能同時具有準確的數值，其不確定度的乘積不會小於約化普朗克常數的一半。

不確定性關係式

當我們仍然選取以黑洞中心奇點為原點的球坐標時，會立即發現更讓人不安的事情。由於黑洞奇點上總是蘊含著能量（質量），任何到達黑洞奇點處的物質總是由基本粒子組成的，而這些粒子只要能量不會憑空消失（實際上能量確實是不可能消失的），最終在奇點上粒子哪怕不斷經歷著無限大曲率的時空彎曲，其能量仍應以粒子的形式存在。

當我們選取奇點上任意一個粒子A，可以確定的是A的位置在黑洞的球坐標上是完全確定的，這就意味著粒子A的位置不確定度△x是0。那麼粒子A的動量呢？

在黑洞的球坐標繫上，A一直處於坐標原點處，即使它的質量再大，其動量都是0，也就是說其動量的不確定度△p為0。

這時候我們發現，對於奇點上的粒子A來說，其位置不確定度△x與動量不確定度△p的乘積△x△p嚴格為0，是完完全全小於約化普朗克常數的一半的。而這種完全確定的粒子狀態在量子力學中是不可想像的。

終於，我們看到了黑洞奇點也將不確定性原理打破了。

黑洞奇點上奇異性的本質原因

看到這裡，我們禁不住要問，黑洞奇點真的存在嗎？為什麼它會由廣義相對論派生出來，又使廣義相對論所依賴的時空背景失效？為什麼它連量子力學中的不確定性原理也打破了？

無窮大示意圖

這一切的原因，我們可以歸結為「無窮」的出現！

正是因為無窮小體積的出現、無窮大的時空曲率的出現，使得廣義相對論的數學形式在黑洞奇點上失效了，並進一步使得粒子被嚴格局限在黑洞奇點上以至於打破了量子力學中的不確定性關係。

至於黑洞奇點到底是否只是一個數學形式上的演繹，目前不得而知，這一切的謎底唯有我們徹底將量子力學與廣義相對論融合在一個完整自洽的理論體系中以後才能解開！就讓我們拭目以待吧！

相關焦點

  • 黑洞是什麼？黑洞還有很多種？奇點也不止一個？
    不過事實上雖然它確實有點可怕，但其實它特簡單，曾經有人說過黑洞是宇宙中最簡單的天體，因為它只有三個物理量，也就是它只需要用三個物理量就可以被準確描述，這三個物理量分別是：質量、電荷和角動量。這三個物理量就是目前已知的黑洞的全部了。
  • 宇宙大爆炸中的奇點和黑洞中的奇點是一樣的嗎?
    最根本的區別就是黑洞中心奇點是處在黑洞裡的奇異時空裡，本質上它還是處在時空當中，雖然它把周圍時空彎曲得很嚴重，但並沒有把周圍整個時空卷進奇點裡。而宇宙大爆炸奇點則不同，它並非處在時空裡面，而是它本身包含了一切，除它以外，宇宙一無所有。
  • 黑洞奇點和大爆炸奇點有什麼區別?
    黑洞奇點是在一顆質量非常大的恆星的核心坍塌出一個事件視界後形成的。由於這些奇點是極小的，他們擁有無限的密度。黑洞（bing）它們兩者的差別是，黑洞奇點顯然不可能包含宇宙中全部的物質和能源，因為它們太多了。然而大爆炸只有一個奇點，而且它包含了整個宇宙。另一個差別是空間和時間是由宇宙爆炸的奇異性產生的，而黑洞實際上將空間擴展到了可能撕裂時空結構並完全結束時間的地步。
  • 黑洞奇點和大爆炸奇點有什麼區別？
    黑洞奇點是在一顆質量非常大的恆星的核心坍塌出一個事件視界後形成的。由於這些奇點是極小的，他們擁有無限的密度。然而大爆炸只有一個奇點，而且它包含了整個宇宙。另一個差別是空間和時間是由宇宙爆炸的奇異性產生的，而黑洞實際上將空間擴展到了可能撕裂時空結構並完全結束時間的地步。根據史蒂芬·w·霍金，奇點要麼完全發生在未來，要麼完全發生在過去。
  • 黑洞中的奇點是什麼?
    「奇點」是宇宙在大爆炸前的一種存在形式。宇宙就是從「奇點」開始膨脹的。奇點――奇異性質的點。有多奇異？它的密度無限大、體積無限小（即時空曲率無限大）、熵值無限趨近於0，有時還加上質量無限大、溫度無限高的描述，這樣不可思議「無理」的點的確會讓所有物理定律失效。
  • 黑洞中的奇點是物質嗎？
    黑洞是一個極端天體，但極端天體也是物質，黑洞只要有奇點，這個奇點當然也是物質了。所謂的奇點就是具有奇異性質的點，它體積無限小（時空曲率無限大）、密度無限大，連物理定律都在此點失效。時空曲率無限大的意思就是時空無限蜷縮直至沒有，換句話說就是沒有時間和空間了。按辯證唯物主義說法，時間和空間是物質的存在方式，沒有時間和空間，物質也無法存在。從這個意義上說，奇點已經不能算物質了。這種情況只有兩種結果或解決辦法。
  • 弦理論能解釋黑洞奇點處的物理現象嗎?
    閱讀百科上的模糊球概念，或者這篇關於模糊球「解決」信息悖論和其他臭名昭著的黑洞問題的簡單文章。模糊球有多密？它的中心可能接近「普朗克密度」（基本上是QM中的「最大」密度），但它的密度仍然比奇點小得多。迄今為止，還沒有可能將量子和引力效應結合到一個單一的理論中，儘管存在試圖制定這樣一個量子引力理論的嘗試。一般認為這樣的理論不會出現任何奇異點。從墮落的物質-百科：……沒有量子力學的廣義相對論模型，所有的物質都在事件視界的中心以無限密集的奇點結尾。
  • 奇異的時空,崩壞的物理學定律,這就是神奇的黑洞
    黑洞照片所以這就是為什麼說黑洞它是一個奇點，因為黑洞是一個物理學崩潰的奇點。在黑洞裡面，外面的物體學失效了。這個物理學指的是正常時空範圍內，在正常通過實驗以及對實驗的分析推理創造出各種理論，這一套理論在黑洞裡面不適用，所以它壞掉了，這個就是奇點的概念。但是黑洞的積點，不應該被單純地理解為是一個幾何點，應該被理解為是一塊區域，這塊區域它的性質都是奇異的。那黑洞的範圍應該怎麼定義？
  • 黑洞已經讓光都無法逃離了，為何宇宙「奇點」可以發生大爆炸？
    黑洞中的「奇點」與宇宙起源的那個「奇點」有相似之處，也有不同之處。黑洞吞噬周圍的物質，將物質全部壓縮在奇點上，造成了那個點體積很小，密度很大，但並非是「無限」，應是有限，宇宙起源的那個奇點，並非是一個點，它是一個既存在但又無法用物理定律描述的一個時空曲率無限大的「點」，這個點包含著純能量，擾動打破了平衡，於是引發了大爆炸。
  • 廣義相對論與量子力學的終極矛盾——黑洞奇點
    史瓦西半徑是根據廣義相對論的史瓦西解得到的一個半徑公式，用於計算光速不能逃逸的臨界半徑，科學家稱這個臨界半徑包裹的球形區域為黑洞。黑洞根據廣義相對論，當大重量恆星結束核聚變，中心會坍縮到史瓦西半徑以內而形成黑洞，根據英國物理學家彭羅斯和霍金證明的奇性定理，黑洞中心會產生一個體積無限小，密度無限大的奇點，在奇點處時空終結，物理規律失效，這是一個預言中的奇異點，實際存不存在無從驗證，因為它永遠被黑洞視界包裹著，黑洞視界阻止了外界獲取內部的任何信息
  • 黑洞的奇點在達到一定程度後,會不會爆炸形成新的宇宙?
    這個問題應該很多朋友都考慮過的吧，黑洞的奇點與誕生宇宙的大爆炸源頭的起奇點，兩者的名字都是一致的，哪天黑洞吸收夠了物質就爆炸了，然後又炸出一個宇宙來？重新開始一段無比神奇的宇宙生命之旅？有這個可能嗎？我們下面來簡單討論下！
  • 黑洞的體積並非黑洞的實體,黑洞的實體是奇點,奇點有多小?
    每一個星系的中心都存在著一個星系級的黑洞，它依靠自身強大的引力來使周圍的物質高速運轉，而這些物質又帶動外圍的天體運行起來，以此類推，一個星系便開始了有序的運行。宇宙中黑洞的體積有大有小，但是這裡所說的體積實際上並不是黑洞的實體，而指的是黑洞視界的體積。
  • 7個宇宙知識讓你看懂星際穿越:黑洞蟲洞和平行宇宙
    那麼，要看懂這部豆瓣評分9.3分的神作，一本幫助你迅速理解這些專業理論知識的裝逼指南就變得非常急需啦。前方高能預警！！！接下來的敘述很可能造成「字都認識卻看不懂」的現象，小夥伴們要做好心理準備哦！！要看懂這部電影，以下幾個名詞必須要搞懂：一、黑洞。二、蟲洞。三、奇點。四、五維空間。五、彈弓效應。六、時間膨脹。七、平行宇宙。
  • 黑洞奇點和宇宙大爆炸奇點有什麼不同?宇宙奇點的來源或也是黑洞
    根據宇宙大爆炸學說，我們的宇宙最初就誕生於一個奇點；而根據現在的黑洞理論學說，也認為在黑洞的中心有一個奇點，那麼誕生宇宙的奇點和黑洞中的奇點，又有什麼相同和不同之處呢？黑洞的奇點是黑洞中的物質匯聚點，它被認為是體積無限小而密度無限大，它的產生是由於黑洞的產生才形成的；而宇宙大爆炸的奇點也被認為是宇宙中物質能量最初的匯集之處，也可以認為它是體積無限小和密度無限大，所以黑洞的奇點和宇宙誕生的奇點說起來也是很相似的。
  • 黑洞中存在奇點的嗎?為什麼?
    在真實的宇宙中，黑洞不會存在奇點。通常，奇點是有缺陷的物理理論的非物理數學結果。當科學家們談論黑洞奇點時，他們是在談論我們當前理論中出現的錯誤，而不是實際上存在的物體。奇點是空間中存在無限密度的質量的點，這將導致具有無限曲率的時空。
  • 宇宙既然來源於奇點的一次大爆炸,那奇點到底是個什麼東西呢
    今天講什麼是奇點，大家記住奇點的「奇」讀作qi二聲，不是ji一聲。之前講黑洞的時候，我們說黑洞是一個引力大到連光都沒辦法跑出來的」星球「，這只是權宜之計，並不是說黑洞是星球，因為黑洞在變成黑洞之前，一般都是質量超級大的星球，所賜前面我們才說黑洞是「星球」。
  • 進入黑洞之後會發生什麼?黑洞的奇點到底長什麼樣?
    為了我們的冒險目的，我們這個特別的故事將會假設一個最簡單的黑洞：一個沒有電荷，沒有旋轉的巨大黑洞。雖然這並不現實的，但它仍然是一個包含許多炫酷物理原理的有趣故事。 從遠處看，這個黑洞出奇地溫和，畢竟像其他任何巨大天體一樣，黑洞也只是一個巨大的天體，質量還是質量，重力還是重力。
  • 概率論的誤區,五可能是一個奇點
    在現實的世界做一個理想狀態的設定，就好像一個賭徒對另一個賭徒說，我們來賭一把，輸贏非常公平的。首先，對一個具體的硬幣而言，字和人頭兩面的重量是不均勻的，根據重力的作用，重的一面會偏向於向下，對一個硬幣而言，人頭的一面往往比較重。
  • 黑洞中的奇點,用相對論和量子力學都無法解釋,它真的存在嗎?
    今天我們來聊一下黑洞內部最奇怪的地方—奇點。先說一下這個詞的讀音，很多人搞不清楚，究竟應該讀「奇怪」的「qi」，還是讀「奇偶」的「ji」，個人認為應該讀讀「奇怪」的「qi」。因為「奇怪」這個詞是翻譯過來的，它的英文是「singularity」，有奇怪、奇特、奇異、異常的意思。
  • 黑洞只是一個天體!為什麼可以穿越到未來,來到另一個世界?
    黑體不是簡單的球體，而是質量很大的天體，太陽要形成黑洞，質量起碼是現在的三倍。黑洞穿越只是理論上的推導。黑洞的中心處就是奇點，奇點不斷吞噬物質，這些物質在理論上會被釋放到白洞。白洞與黑洞是兩個性質完全相反的天體。