1、上確界是一個集合的最小上界。若數集E為實數集R的子集有上界，則顯然它有無窮多個上界，而其中最小的一個上界稱為上確界。
設E為實數的有界集合. 若
(1) 每一個 x ∈E 滿足不等式 x ≤M;（是上界）
(2) 對於任何的 ε> 0, 存在有x''∈E, 使 x'' > M -ε。（小一點就不再是上界）
則數 M = sup E 稱為集合E的上確界。
若集合E上方無界，則通認為 sup E = +∞
上界和上確界的區別：上界和上確界都不一定存在，如果都存在，上界不一定唯一，但上確界一定唯一。
2、下確界指的是一個集合的最大下界。若數集E為實數集R的子集有下界，則顯然它有無窮多個下界，而其中最大的一個下界稱為下確界。
(1) 每一個 x ∈E 滿足不等式 x≥m;（是下界）
(2) 對於任何的 ε> 0, 存在有x'∈E, 使 x' < m+ε。（大一點就不再是下界）
則數 m = inf E 稱為集合E下確界.
若集合E下方無界則通常說 inf E = -∞
下界和下確界的區別：下界和下確界都不一定存在，如果都存在，下界不一定唯一，但下確界一定唯一。
例子1：inf{1,2,3,4}=1；sup{1,2,3,4}=4。註：如果一個集合有最小（大）元素，則下（上）確界等於這個最小（大）元素，且這個下（上）確界屬於這個集合。
例子2：inf{x∈R，0<x<1}=0; sup{x∈R，0<x<1}=1。註：inf或sup可能不在集合中。
由上下確界引出一個十分重要的定理：確界原理，這是實數連續性的一種表現形式。
確界定理：非空有上界的集合必有上確界，非空有下界的集合必有下確界。