為什麼所有的世界地圖都是「錯」的？

2020-08-10 中科院地質地球所

如何在一個平面上準確地展示地球上的所有國家

是大航海時代以來製圖學家們一直想要解決的問題

我們可以使用這樣一個比喻

如何將一個橘子的皮鋪展到一張紙上

同時使得橘子皮每個部分都不發生變形

同樣地

我們把地球看做一個橘子

如果我們想要在一個平面內展示世界地圖

就得把地球儀表面拉扯平整

這樣做無疑會使得各個國家面積發生變形

要想得到長度、角度、面積不變形的地圖

基本是不可能實現的

這一點在很早之前

數學王子高斯（Carl Friedrich Gauss）就證明過了

怎樣解決這個問題？

一千五百多年前

前輩們就嘗試使用各種方式

將地球轉換成為平面

比利時地理學家

基哈德斯·墨卡託（Gerhardus Mercator）

提出一種設想

假設地球被圍在一個中空圓柱裡

其基準緯線（赤道）與圓柱相切接觸

再假想地球中心有一盞燈

把球面上的圖形投影到圓柱體上

最後把圓柱體展開

這就是一幅選定基準緯線的

「墨卡託投影（Mercator）」繪製出的地圖

墨卡託投影按等角條件將經緯網投影到圓柱面上

將圓柱面展為平面後得到平面經緯線網

投影后經線是一組豎直的等距離平行直線

緯線是垂直於經線的一組平行直線

墨卡託投影上的任一點的任何方向的

長度比均相等，即沒有角度變形

這也就意味著使用這種地圖進行導航時

能為地圖上的兩個點之間提供準確的角度

等角航線被表示成直線的特性

使得它被廣泛應用於

編制航海圖和航空圖

這也是谷歌地圖使用這種投影方式的原因

在使用城市導航時

墨卡託投影能保證轉彎的角度不發生變形

墨卡託投影地圖首先保證各個國家的形狀不變

但是面積上的變形十分顯著

並且隨著離標準緯線距離的增大而增加

假如我們在地球儀上均勻地分布相同面積的圓形

在墨卡託投影地圖上

這些圓形的面積就會發生變化

圓形的形狀沒有發生變化

但越接近兩極

面積越大

一個例子可以反映這種現象

在實際中

格陵蘭島的面積比非洲的面積小很多

左：真實情況 右：墨卡託投影

但在墨卡託投影地圖上

格陵蘭島的面積和非洲幾乎差不多大小

如果我們想獲得面積表示準確的地圖

可以使用等面積地圖——

高爾·彼得斯（Gall- Peters）投影世界地圖

高爾-彼得斯投影世界地圖是一種等面積的地圖投影

它假設圓柱投影面與地球相割於南北緯30°（或50°）

按球面透視法以等距離條件將經緯線網投影到圓柱面上

再沿一母線展成平面

這種投影地圖中各大陸比例基本正確，面積不發生變化

但是扭曲了形狀

在水平面上，兩極扭曲

在垂直面上，赤道附近產生了扭曲

比如非洲的面積是正確的

但變得特別狹長

我們可以再來對比一下格陵蘭島和非洲

左：高爾-彼得斯投影 右：墨卡託投影

面積對比看起來正常多了

但是形狀實在太「詭異」

我們依舊使用等面積圓形進行演示

可以看到高爾-彼得斯投影世界地圖中的圓形

面積沒有發生變化

但形狀幾乎都被拉扯成了橢圓形

在兩極被橫向拉扯

在赤道被縱向拉扯

隨著製圖技術的發展

1998年美國國家地理學會

使用了溫克爾投影（Winkel Tripel）

因為這種投影方式能在尺寸（面積）和形狀之間

達到最好的平衡性

墨卡託投影和高爾-彼得斯投影

只是圓柱投影中的一種

投影方式按照軸類型可以大致分為正軸、橫軸和斜軸

按照投影平面可以大致分為圓錐、圓柱和方位

因此至少可以分為九種不同類型的投影方式

墨卡託投影和高爾-彼得斯投影就屬於正軸圓柱投影

一些常見的圓錐投影有

等角正割圓錐投影、等距正割圓錐投影

和等積正割圓錐投影

一些常見的方位投影有

等積斜切方位投影和等角正切方位投影

除此之外

還有一些特殊的投影方式

如古德投影（Goodes Homolosine）

能保持大陸或者大洋的完整分割

古德投影（大陸完整）

古德投影（大洋完整）

彭納投影（Bonne）

也叫心形投影

是一種等面積偽圓錐投影

柏格斯星狀投影（Berghaus Star）

也叫星狀投影

是美國地理學家協會（AAG）的Logo

立方體投影（Cube）

富勒投影（Fuller）

多圓錐投影（Polyconic）

值得一提的是

聯合國的標誌使用的是

以北極為中心的等距方位投影

（Azimuthal Equidistant）

為了滿足導航、定位和航天等需求

製圖師們和數學家們製作出數量龐大的地圖庫

所有地圖的目的都是為了更加逼近真實情況

儘量將平面圖做得看上去「像」一個地球儀

但事實卻是

沒有一個地圖是真正正確的投影

因此當我們使用平面地圖時

我們得首先知道這種地圖的特點

和我們的需求是什麼

PS：目前有一個網站可用於比較真實國家面積，在使用地圖時請一定要分辨我國國界是否準確，尤其是我國臺灣、南海、阿克賽欽和藏南地區，每一點都不能少！

美編：高欣欣

校對：覃華清

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    不過一位名叫墨卡託的地圖學家卻建立了墨卡託投影理論繪製了世界上第一個球形地圖墨卡託投影地圖，這種地圖一直沿用至今，然而事實上它卻是一張錯得非常離譜的地圖。看到現在的墨卡託投影地圖，您可能會認為北美和俄羅斯都比非洲大。但實際上，非洲比北美大三倍，而且比俄羅斯大更多，俄羅斯，加拿大和格陵蘭並沒有地圖中那麼大。
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