浮點數用來存儲計算機中的小數，與現實世界中的十進位小數不同的是，浮點數通過二進位的形式來表示一個小數。在深入了解浮點數的實現之前，先來看幾個 Python 浮點數計算有意思的例子：
0.1 == 0.10000000000000000000001
True
0.1+0.1+0.1 == 0.3
False
IEEE 浮點數表示法
這些看起來違反常識的「錯誤」並非 Python 的錯，而是由浮點數的規則所決定的，即使放到其它語言中結果也是這樣的。要理解計算機中浮點數的表示規則，先來看現實世界中十進位小數是如何表示的：
1.234 = 1 + 1/10 + 2/100 + 3/1000
可以用下面的公式來表示：
$$d = \sum_{i=-n}^m10^i*d_i$$
其中 $d_i$ 是十進位中 0~9 的數字。而如果是一個二進位的小數：
1.001 = 1 + 0/2 + 0/4 + 1/8
可以用下面的公式來表示：
$$d = \sum_{i=-n}^m2^i*d_i$$
其中 $d_i$ 是二進位中的 0 或 1。Python 中的浮點數都是雙精度的，也就說採用 64 位來表示一個小數，那這 64 位分別有多少用來表示整數部分和小數部分呢？根據 IEEE 標準，考慮到符號位，雙精度表示法是這樣分配的：
$$d = s * \sum_{i=-52}^{11} 2^i*d_i$$
也就是說用1位表示符號位，11位表示整數部分，52位表示小數部分。正如十進位中我們無法精確表示某些分數(如10/3)，浮點數中通過 d1/2 + d2/4 + ... 的方式也會出現這種情況，比如上面的例子中，十進位中簡單的 0.1 就無法在二進位中精確描述，而只能通過近似表示法表示出來：
(0.1).as_integer_ratio()
(3602879701896397, 36028797018963968)
也就是說 0.1 是通過 3602879701896397/36028797018963968 來近似表示的，很明顯這樣近似的表示會導致許多差距很小的數字公用相同的近似表示數，例如：
(0.10000000000000001).as_integer_ratio()
(3602879701896397, 36028797018963968)
在 Python 中所有這些可以用相同的近似數表示的數字統一採用最短有效數字來表示：
print(0.10000000000000001)
0.1
浮點數運算
既然有些浮點數是通過近似值表示的，那麼在計算過程中就很容易出現誤差，就像最開始的第二個例子一樣：
a = .1 + .1 + .1
b = .3
print(a.as_integer_ratio())
print(b.as_integer_ratio())
print(a == b)
(1351079888211149, 4503599627370496)
(5404319552844595, 18014398509481984)
False
為了解決運算中的問題，IEEE 標準還指定了一個捨入規則(round)，即 Python 中內置的 round 方法，我們可以通過捨入的方式取得兩個數的近似值，來判斷其近似值是否相等：
round(a, 10) == round(b, 10)
True
當然這種捨入的方式並不一定是可靠的，依賴於捨入的選擇的位數，位數太大，就失去了 round 的作用，太小，就會引入別的錯誤：
print(round(a, 17) == round(b, 17))
print(round(0.1, 1) == round(0.111, 1))
False
True
Python 中使用更精確的浮點數可以通過 decimal 和 fractions 兩個模塊，從名字上也能猜到，decimal 表示完整的小數，而 fractions 通過分數的形式表示小數：
from decimal import Decimal
a = Decimal(0.1)
b = Decimal(0.1000000000000001)
c = Decimal(0.10000000000000001)
print(a)
print(b)
print(c)
a == b == c
0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625
0.10000000000000010269562977782697998918592929840087890625
0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625
False
from fractions import Fraction
f1 = Fraction(1, 10) # 0.1
print(float(f1))
f3 = Fraction(3, 10) # 0.3
print(float(f3))
print(f1 + f1 + f1 == f3)
0.1
0.3
True
總結
浮點數這些奇特的特性讓我們不得不在使用的時候格外注意，尤其是當有一定的精度要求的情況下。如果真的是對精度要求較高且需要頻繁使用浮點數，建議使用更專業的 SciPy 科學計算包。