詳解伯努利方程的前世今生

伯努利方程是流體力學最著名的方程之一。這個方程將流場中的壓強變化與速度變化聯繫在一起，因此在流場分析中成為不可或缺的分析工具。丹尼爾·伯努利在1738年發表的Hydrodynamica一書中最早關注到速度與壓強之間的相關關係。

在圖1所示的管道實驗中，丹尼爾發現流速高的地方液柱下降，流速低的地方液柱上升。丹尼爾的父親約翰·伯努利在1743年發表的Hydraulica一書中對壓強概念做了更深入的闡釋。丹尼爾認為壓強僅是與液柱高度有關的一個量，約翰則認為壓強是作用在流體上的力，並且是一個與流場中的點相關的變量。

圖1 丹尼爾·伯努利所做的管道實驗

這裡有一個有趣的插曲，父親約翰·伯努利是個性格古怪、同時對名譽看得很重的人，為了抵消兒子丹尼爾的影響力，他把自己書的出版日期從1743年改為1728年，以顯示這個壓強-速度關係是他先提出的。

圖2 丹尼爾·伯努利、達朗貝爾和歐拉

丹尼爾·伯努利發現壓強與速度之間的關係後，並沒有將這個關係表述為我們熟悉的伯努利方程，因為在他發現這個關係的時候，偏微分方程還沒有作為數學工具引入流體力學的研究。將偏微分方程引入物理學研究的是達朗貝爾，達朗貝爾在1747年將偏微分方程引入物理學並建立了數學物理，並且在1749年寫出微分形式的流體力學連續方程。連續方程是質量守恆定律在流體運動中的數學表達。

作為達朗貝爾的有力競爭者，歐拉在1757年利用偏微分方程描述理想流體流動，並寫出理想流體的動量方程。由此，丹尼爾·伯努利、達朗貝爾和歐拉成為理論流體力學的奠基人。歐拉將理想流體的動量方程積分後得到我們熟知的伯努利方程，因此，嚴格地說，伯努利方程也可以用歐拉的名字命名。

伯努利方程有三種形式，一種是由歐拉沿流線積分得到的伯努利方程，還有一種是引入無旋條件後，在整個無旋場內成立的伯努利方程，最後一種是用理想、絕熱流體的能量方程積分後得到的可壓縮流的伯努利方程。

2.1 理想流體動量方程沿流線積分

在直角坐標系中，理想流體沿x軸方向的動量方程為：

（1）

伯努利當年考慮的是管道中定常水流的壓力和速度的關係，因此（1）式中的非定常項和重力項可以暫時忽略，進而簡化為：

（2）

將上式乘以dx可得：

（3）

流線方程為：

（4）

將流線方程引入（3）式可得：

（5）

注意到：

（6）

（5）式既變為：

（7）

即：

（8）

同理可在y軸和z軸方向得到類似的關係：

（9）

將x、y、z三個方向的方程相加可得：

（10）

注意到：

（11）

所以（10）式變為：

（12）

即：

（13）

此式就是歐拉最早得到的沿流線的動量方程，將此式積分後可得：

（14）

將右端的常數const.寫為壓強形式，既有：

（15）

這就是我們熟悉的不可壓流的伯努利方程，其左端兩項分別為流體的靜壓和動壓，右端項為總壓。這個方程表徵的是流體中機械能的守恆關係。在等熵流動中，總壓是個常數，因此速度（動壓）和壓強（靜壓）之間就存在如丹尼爾·伯努利所說的那種「此起彼伏，此消彼長」的蹺蹺板關係。

（15）式中的伯努利方程是從理想動量方程沿流線積分得到，因此我們說它沿流線成立。在非均勻流場中，總壓分布不均勻，因此不同流線對應的總壓不相等，伯努利方程就不能在全流場成立。在均勻流場中，總壓分布均勻，各條流線的總壓相同，此時伯努利方程就可以在全流場成立，因而就可以在不同流線之間使用。

判斷流場是否均勻的一個竅門是看流場入口附近流場是否為均勻場，比如一個不可壓流場的入口靜壓、速度都是均勻分布的，則由於流場內部是無粘的，整個流場必然是均勻的，此時就可以在全流場使用伯努利方程，比如遠前方直勻流繞過翼型的流動就可以看作全場均勻流，因而可以在全流場使用同一個伯努利方程進行計算（圖3）。

圖3 直勻流繞翼型流動

2.2 無旋流場的伯努利方程

除了均勻流可以在全場使用同一個伯努利方程外，無旋流也可以在全場使用同一個伯努利方程。流場無旋的意思是速度場的旋度為零，即：

（16）

打開上式有：

（17）

由此式可得：

（18）

將（18）式代入x軸方向定常理想流體動量方程（2）可得：

（19）

即：

（20）

同理可得y、z兩個方向的兩個類似的方程：

（21）

將x、y、z三個方向的方程分別乘以dx、dy、dz，然後相加既有：

（22）

此式與（12）式完全相同，積分後可以得到形式相同的伯努利方程（15），但這個伯努利方程是在引入無旋條件後獲得的，因此在無旋流場中處處成立。

2.3 計入徹體力的伯努利方程

在上面的推導中沒有考慮徹體力的影響。徹體力主要包括重力和電磁力兩種，在水利工程、大氣動力學和洋流分析等大尺度問題中，重力不可忽略，對於等離子體流場而言，電磁力不可忽略。在（2）式中將重力項添加進去可得：

（23）

在引入流線方程（4）或無旋關係（16）後，形式相同的（12）式和（22）均變為：

（24）

因為重力為有勢力，假設重力位勢函數為，則有：

（25）

則（24）式變為：

（26）

積分後可得：

（27）

這個公式適用於徹體力為有勢力的問題，最常見的就是重力問題。

如果計算中採用的坐標系z軸與重力方向重合，則（27）式還可以寫成：

（28）

2.4 無旋流場中的非定常伯努利方程

在無旋流場中，由於速度場是無旋的，所以必定存在一個速度勢函數，使得：

（29）

寫成分量形式，即：

則方程（1）中的非定常項可寫為：

同理y、z兩個方向動量方程中的非定常項可以寫為：

與前面的處理過程一樣，將x方向的非定常項乘以dx，y、z方向的非定常項分別乘以dy、dz，然後將三者相加，可得：

將該項加入無旋流的伯努利方程（26）式左側，再做積分後就可以得到非定常形式的伯努利方程：

(30)

注意這裡將（27）式右端的常數項改寫為函數形式，但這個函數與空間座標無關，而僅與時間有關。

2.5 可壓縮流中的伯努利方程

前邊講述的伯努利方程都是在不可壓流場中成立的，在可壓縮流場中也有伯努利方程，不過其來源是直接從能量方程得到的，而不是從動量方程積分得到。

能量這個概念最早來源於亞里斯多德提出的「活力」的概念，在17世紀後期萊布尼茨發現重力勢能與動能之和存在守恆關係，18世紀丹尼爾·伯努利和歐拉發現流體中的壓力位能與動能之間存在守恆關係，19世紀中期邁爾發現能量守恆關係，熱力學第一定律才宣告問世。但是比較可惜的是流體力學中的能量方程究竟是誰最早提出的已經不可考，所以這裡我們只能直接使用這個方程，而無法詳述其歷史。絕熱、理想流體的能量方程為：

（31）

其右端項可分解為：

（32）

另有：

（33）

同時連續方程為：

（34）

將（32）式代入（31），（34）式代入（33）式，再將（31）式與（33）式相加整理可得：

（35）

在流動為定常流時，（35）式右端為零，可得：

（36）

注意到：

（37）

則有：

（38）

則（36）式可以寫為：

（39）

或：

（40）

（40）式與歐拉給出的伯努利方程非常相似，因此比較容易記憶。上式在推導過程中引用了理想氣體狀態方程、比熱比定義式和定壓比熱與定容比熱關係式：

除此以外，我們引入焓的定義：

（41）

則從（36）可知：

（42）

即：

（43）

這個方程在形式上與不可壓流伯努利方程形式上相同，僅僅是用焓代替了壓強，在可壓縮流理論中是很常見的一個方程，其中的h為靜焓，為總焓。

上面的推導是按由簡入難的方式得到的，這也是符合歷史上的發現順序的一種方式。另一種推導方式是先給出可壓流的伯努利方程（36）式，然後引入熱力學關係式：

  

由此關係式可知：在理想不可壓流中，熵和密度均為常數，因而內能也是常數，故可將（36）式中的常數e移到等號右端，再通乘以密度，則（36）式將蛻化為（14）式，由此既可得到不可壓流的伯努利方程。

伯努利方程在流體力學中有廣泛的應用，比如用於測量流場內某個點上流速的皮托管，用於測量管道流速的文丘裡管等等。

圖4 皮托管測速原理

皮托管用於測量流場內的流速，其理論依據就是（15）式所示的伯努利方程。由（15）式可知，只要知道了流場一點處的總壓和靜壓，就可以算出該點的流速。

皮托管就是利用這個原理進行流場的流速測量。圖4是皮托管的原理圖：將兩個直徑不同的同心圓管套裝在一起，中心的細圓管在頂端開口，外面的粗圓管在圓管側面開口。

將這個套管放置在流場中，讓頂端的開口迎風放置，儘量使管道軸線與來流流線平行，則此時側面開口應與來流流線平行。由於來流速度在頂端的開口處滯止為零，而在側面開口處與當地流場靜壓相同，因此可以用這種辦法同時獲得總壓和靜壓。在測出這兩個壓強的值後，再利用（15）式就可以得到當地的流速。

皮托管是在1732年由法國工程師皮託設計出來的，這個時間比丹尼爾·伯努利提出伯努利原理早了6年，比歐拉寫出伯努利方程早了25年。當時的水力學專家們對河水流速的看法是「水深流急」，即水的深度越深，水的流速就越快。

皮託則靈光一閃，想出用兩根玻璃管測量流速的方法。皮託的兩根玻璃管，一隻垂直於水流，另一隻則帶一個90度的彎角。我們現在知道這兩根玻璃管實際上就是靜壓管和總壓管，二者之間的液位存在一個高度差。當時雖然還沒有提出伯努利原理，但皮託假定流速等於在這個高度差上的自由落體速度，竟然得到了與伯努利方程相同的結果。

後來到了1858年，另一位法國工程師達西將伯努利方程引入皮托管設計，才給予皮托管一個正確的理論解釋，同時對皮托管進行改進，使其成為被廣泛使用的流速測量工具。再後來到了20世紀初，經過普朗特等人的細緻研究，我們現在常見的這種由同軸圓柱構成的皮托管設計才逐漸固定下來，因此皮托管裡的靜壓管又經常稱作普朗特管。

圖5 文丘裡管測流量

文丘裡管通常用來測量管道流量速率（Flow Rate），這種測量裝置是在1797年由義大利物理學家、學者文丘裡設計製作的。如圖5所示，將（15）式分別在1、2兩點寫出，再做適當變換既有：

（44）

同時1、2兩點處流量相等：

（45）

這裡A代表管道的橫截面積。假設1、2兩點的橫截面積和流體密度是已知的，因此將（44）、（45）兩式聯立，在測出1、2兩點的壓強差之後，就可以解出1、2點的速度，進而求出管道的流量。

圖6 低速翼型產生升力的機理

伯努利方程還經常用來解釋「飛機為什麼會飛」這樣的問題。如圖6所示，流經翼型上下的兩股氣流，上面的氣流流管變窄，局部速度提高，壓強下降；下面的氣流流管變寬，局部速度降低，壓強上升，因而在上下翼面產生壓強差，最終形成的合力有向上的分力，這個向上的分力就是升力。當升力大於重力時，飛機就飛起來了。

以上詳細介紹了伯努利方程的來龍去脈和幾個變種，希望對大家有幫助！

參考文獻：

[1] John D. Anderson, Jr., Fundamentals of Aerodynamics[M], McGraw Hill,  2001.

[2] L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Fluid Mechanics[M], Course of Theoritical Physics Vol.6, 世界圖書出版社，1999.

[3] Brown, G. O.  Henry Darcy and the Pitot tube, in International Engineering History  and  Heritage,  J.  R.  Rogers  and  A.  J.  Fredrich  eds,  ASCE,  Reston,  VA,pg.360-366.

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