某科學の電磁理論教你玩「硬幣」

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作者：Juan Maldacena

翻譯：曹昕宇

審校：Dannis

目前用來描述基本作用力與基本粒子的理論依賴於優美的對稱性，也就是規範對稱性(gauge symmetry)。這些理論難以描述。普林斯頓高等研究院的著名物理學家胡安·馬爾達西那( Juan Maldacena )提出了一個很好的類比：他認為空間就像是國家組成的網格，粒子就像利用不同貨幣之間的匯率來投機賺錢的旅行者。

電磁學簡介

我們首先從電磁力開始討論。電磁力由電場和磁場描述。電場和磁場由帶電物體產生，我們可以把它們視為在空間(準確講是時空)中各點都存在的小箭頭。

上圖展示了條形磁鐵的磁力線。這是由磁鐵內部電子產生的。在數學上，磁場用各個點都有的小箭頭來表示其大小和方向。

上圖展示了在一對正負電荷周圍的電場。在數學上，電場用各個點都有的小箭頭來表示其大小和方向。

電磁場對進入其中的帶電物體會產生作用，我們藉此來感受到這些場的存在。電場沿箭頭方向推動帶電物體，而磁場只對運動電荷有作用。移動的電荷在磁場中會受到垂直於其速度方向的力。如果你是一個電荷，當你走進一個垂直的磁場時，你將會感受到一股側方向推動你的力，如果只有磁場的力存在，你將會做圓周運動(如下圖所示)。

(a)電場沿電場方向施加給電荷一份力。(b)磁場會施加給運動電荷一份力，力的方向既垂直於磁場又垂直於電荷速度方向。(c)在磁場中運動的電荷最終會做圓周運動。

電場和磁場都有相應的動力學描述。它們之間連鎖式的振蕩就產生了電磁波。電磁波能在真空中傳播，包括我們常說的無線電波、可見光、X光、伽馬射線等。

你或許很熟悉上述這些。即使不熟悉，也不必驚慌。接下來要講的內容並不需要你熟悉電磁學方程。你所需了解只是電場和磁場，它們可以存在於真空中。這些場作用於帶電粒子上並影響它們的運動。電場沿電場方向推動帶電粒子，帶電粒子繞磁場作圓周運動。

電磁學可以看作是一種基於規範對稱性的規範理論。電磁學的規範理論觀點有助於將它泛化到其它力上，也有助於描述電磁的量子力學版本。為了解釋什麼是規範對稱，我們可以引入一個經濟學的類比。在這個經濟學類比中，我們將做一些簡化和理想化。注意，我們的目標不是解釋經濟學，而是解釋真實的物理世界。好消息是，這個模型比真實的經濟學簡單得多。這就是為什麼物理學比經濟學簡單。

經濟學類比

下面來看這個經濟學模型。我們想像：有許多國家，每個國家都有對應的貨幣。國家分布在一個整齊的網格上(如下圖)。每個國家與鄰國有一座橋相連。每座橋上有銀行。你必須在銀行把攜帶的貨幣兌換成橋對面國家的貨幣。

每個圓代表一個國家，每個國家都有自己的貨幣。藍色的線代表橋，將國家連接起來。橋上有銀行，當你過橋時，需要將手中的全部貨幣進行兌換。每座橋上的銀行都獨立的設置匯率。

每座橋上的銀行都是獨立的，沒有一個權威組織來協調不同貨幣的匯率。每個銀行獨立的以任意方式設置匯率，並且不收手續費。

例如，你所在的國家使用美元，橋對面國家使用歐元，橋上銀行掛牌匯率是1.5美元=1歐元。如果你有15美元，走到鄰國將會被換成10歐元。如果你再走回來，10歐元又會被換回15美元。就是說，如果你去了一趟鄰國之後立刻回來，你手裡的錢數不會變。

還有另一個規則：你可以不停的沿橋走向相鄰的國家並不停的兌換貨幣，但是你不能從一個國家直接飛到另一不相鄰的國家。並且，除了貨幣之外，你不能攜帶金銀或者任何其它商品，之後我們會放寬這個限制，但是現在我們先考慮這種最簡單的情況。

去掉貨幣中的0

那規範對稱性在哪呢？想像有一個國家，它的貨幣尾數有太多的0了，它想去掉這些0。這種情況經常在高通脹時發生。於是政府宣布1000比索現在值1奧斯特拉爾，相應的商品價格與匯率也發生改變。以前買一根香蕉用5000比索，現在用5奧斯特拉爾。以前你的薪水是一百萬比索，現在就是一千奧斯特拉爾。

假設鄰國是美國，匯率是3000比索=1美元，現在就成了3奧斯特拉爾=1美元。這種現象我們就稱為規範對稱性。因為更換貨幣單位以後，事實任何其它事物都沒變(沒有人變得更富裕或者變得更窮，你的薪水能買的香蕉數也沒有變)，只是貨幣計量起來更方便了。gauge這個單詞原意是測量設備，在此強調只是用於測量的單位改變了，而測量本身並沒有改變。

每個國家都可以改變其貨幣單位。在這裡，本來用比索做貨幣的國家將單位換成了奧斯特拉爾，1000比索=1奧斯特拉爾。商品價格、匯率也會相應地改變。圖中寫明了香蕉價格會如何變化，也列舉了與周圍某個鄰國匯率的變化。當然周圍所有鄰國的匯率都會跟著變化。

如下圖，我們可以從阿根廷紙幣上看到這種規範對稱性。

現實中的規範對稱性。阿根廷的貨幣由比索換成了奧斯特拉爾。

規範對稱性是局部的，因為每個國家都可以在單獨決定執行這種變化，而不依賴於鄰國的決定。一些國家可能比其它國家更頻繁地這樣做。在現實世界中，阿根廷自20世紀60年代以來，通過這種「規範對稱」等一系列操作，已經消除了13個0，因此，今天的1比索= 20世紀60年代的10萬億比索。

如何在這個世界套利

現在我們來關注投機者。投機者是指那些沿著不同的路線過橋並兌換貨幣的人，目標是賺錢。投機者想沿著能獲得最高貨幣收益的道路前進。記住，根據我們的規定，他必須沿著不同的橋不停地去其它國家旅行。而不能只是坐在桌前在電腦上交易。

想一想：他能賺到錢嗎？他應該怎麼做？

乍一看似乎賺不到錢。如果你從一個國家走到它的鄰國再走回來，你的錢一分都沒變。然而，如果你走另一條路回來，是有可能賺到錢的！

這裡畫出了三個國家，分別使用不同的貨幣。藍色的橋上寫明了匯率。如果你沿著綠色箭頭走一圈，你手中的錢會變為原來的1.5倍，也就是增加了50%。

舉個例子，現在有三個區域，分別是美國、歐洲和阿根廷，它們分別使用美元、歐元和比索。現在我們想像，這三個國家之間有橋梁連接，如上圖。它們之間的匯率是：

1.5 美元= 1 歐元

1美元= 10比索

1歐元= 10 比索

我們從阿根廷開始，身上帶著10比索。走到歐洲去，這時我們身上有1歐元。再走到美國，身上會有1.5美元。最後回到阿根廷，身上會有15比索。出發時有10比索而最後變成了15比索。也就是說，開始時你身上的總貨幣數x會在循環一次之後變成1.5x，這與阿根廷的貨幣單位無關。即使阿根廷將貨幣單位換成奧斯特拉爾也是如此，最終都會是乘了1.5的係數。

你或許認為，這是因為銀行太蠢，設置了「錯誤」匯率，才讓投機者有機可乘。這是因為我們開始就把這個世界設定成這樣，銀行可以任意設置它們的匯率。有時這會導致有套利的可能，有時沒有。投機者只遵循最簡單的想法：他們只想著如何套利，走哪條道路能套利最多。在剛才的例子裡，投機者會在阿根廷歐洲美國阿根廷之間循環的走，正如上圖中綠色的線所指示。

電磁經濟學

我們經濟模型中的國家類似於物理學裡面空間中的點或者小區域。磁場所具有的磁勢類似於經濟模型中貨幣之間的匯率。投機者對應著電子或者帶電微粒。磁場的存在對應著可以套利的某種匯率配置。當存在磁場時，電子會做圓周運動從而變得更「富有」。套利的數量取決於磁場。事實上，沿環形運動「套利」的數量就是穿過了這個環的磁場的流(簡單來講，「流」也就是穿過這個環的磁場線的數量)。

如果你熟悉電磁學，這些聽起來都很意義的。如果不熟悉，牢記這個類比就行：磁場的存在對應著一種勢的配置(匯率)，從而使電子變得更富有(「收益」取決於這片區域的磁場)。而這種勢會推動電子運動。

現在，我們假設你是個擁有負債的投機者。在這種情況下，你會選擇沿之前所說的相反的方向在國家間行走，從而（以同樣的比例）使負債越來越少。在物理學中，你就對應著正電子。正電子與電子類似，只不過帶有相反的電荷。在磁場中，正電子會沿著與電子相反的方向做圓周運動。

在真實的物理中，我們可以想像剛才套利的事情發生在非常小的距離，比如今我們能夠測量的最小距離還小得多。當我們觀察任何物理系統甚至真空的時候，就像是在非常遠的距離上觀察這些國家，以至於它們看起來像連續的一樣。正如下圖中所示。電子在真空中的運動就像是在時空中從一個點移動到另一個點。從微觀的觀點描述，電子不停的在國家之間移動，不停地更換貨幣，並且在這個過程中不斷地變富有。(在物理中我們尚不確定是否有像我們所描述的國家這樣的離散的結構。然而，當我們進行規範理論計算的時候，我們通常假設有一個類似的離散結構，然後在所有國家彼此靠得很近的時候取連續極限。)

這裡我們展示了不同尺度的」國家網格」。從左到右國家不斷縮小。如果它縮的足夠小，我們可以將其視為連續的。

電磁學中的規範對稱性與經濟學模型中的略有不同，後者指的是除以或乘以給定的因子。電磁學的「貨幣」不是用數軸上的數字來描述的，而是用一個圓上的點來描述的。每個「國家」(即時空中的點)都會在它的對應的圓裡面選擇一個起點——我們稱之為是它的基點（Base point）。圓上任何一個點P的值由P點，圓心，基點三者連線構成的角度大小給定。任何國家在任何時候都可以選擇將它的圓旋轉，從而改變基點的位置。所有的帶電物體都坐落在圓上某個位置，如果基點改變了，它們名義上的位置也改變了。兩個國家的圓的基點通過旋轉一定的角度可以重合，國家間的匯率就對應著這個角度。

時空中的每個點都在圓上選了一個基點來度量角度。這個圓的旋轉就是規範對稱性。

我們可以把這些想像成一幅圖：時空中每個點都有個小圓圈，對應著不同的國家。

電磁相互作用的對稱性正如「空間中每個點都有一個圓」這種構型所具有的對稱性。圖中黑線的交點代表空間中的點。我們可以把圓看成是一個額外的維度。

如果這個小圓真存在，那就意味著需要一個額外的維度。上面的示意圖是二維的簡化模式，但是我們感知的真實空間是三維的。如果每個點的小圓圈不屬於三維中的任何一維，那它就需要存在於第四維空間中。然而，我們不知道這個圓是不是真實的。我們不知道是否真的有一個額外的維度。我們所知道的是，該理論所具有的對稱性和多了第四個維度後所具有的對稱性是相類似的。物理學中我們總是傾向於做儘可能少的假設。「額外一個維度」不是必要的，只有對稱性是必要的。而這裡面唯一相關的物理量是磁勢，它決定電荷在時空中從一點運動到臨近的另一點時，電荷在那個小圓圈中位置的變化。

在電磁學中，電場和磁場遵循麥克斯韋方程組。在我們的經濟學模型中，這對應對匯率的要求。

麥克斯韋方程組

我們可以這樣直觀的了解這種要求：假設具有一個通用的匯率配置，投機者攜帶資金四處尋找機會，在某座橋上有個銀行，會有投機者從兩個方向穿過橋。如果從一側通過的投機者更多，銀行會用完其中某種貨幣。例如某個銀行連接了美元和比索，而買入美元的人比買入比索的人更多，銀行的美元會被用盡。

這要是發生在現實世界，銀行只需調整匯率使人們減少購買美元即可。如果我們假設沿著某個環形運動的投機者正比於沿這個環形能獲得的收益，那我們會發現，銀行裡兩種貨幣都不會被用盡的條件，正等價於麥克斯韋方程組。（推導在這）

總結一下：電子和正電子這樣的帶電粒子可被視為在國家網格中移動的投機者，電磁場決定了貨幣之間的匯率。磁場的作用類似於推動電子獲得收益或者促使正電子減少負債，也就是推動帶電粒子環形運動。它們的總收益與磁場相關。整個事件由規範對稱性描述：時空中每個點定義了貨幣單位，改變貨幣單位並沒有任何實際意義。

原文連結：

https://plus.maths.org/content/intro-em

https://plus.maths.org/content/its-economy-stupid

https://plus.maths.org/content/economic-em

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編輯：aki

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