機器學習:基於sklearn的AUC的計算原理

AUC原理

一、AUC起源

AUC是一種用來度量分類模型好壞的一個標準。這樣的標準其實有很多，例如：大約10年前在 machine learning文獻中一統天下的標準：分類精度；在信息檢索(IR)領域中常用的recall和precision，等等。其實，度量反應了人們對」 好」的分類結果的追求，同一時期的不同的度量反映了人們對什麼是」好」這個最根本問題的不同認識，而不同時期流行的度量則反映了人們認識事物的深度的變 化。近年來，隨著machine learning的相關技術從實驗室走向實際應用，一些實際的問題對度量標準提出了新的需求。特別的，現實中樣本在不同類別上的不均衡分布(class distribution imbalance problem)。使得accuracy這樣的傳統的度量標準不能恰當的反應分類器的performance。

舉個例子：測試樣本中有A類樣本90個，B 類樣本10個。分類器C1把所有的測試樣本都分成了A類，分類器C2把A類的90個樣本分對了70個，B類的10個樣本分對了5個。則C1的分類精度為 90%，C2的分類精度為75%。但是，顯然C2更有用些。

另外，在一些分類問題中犯不同的錯誤代價是不同的(cost sensitive learning)。這樣，默認0.5為分類閾值的傳統做法也顯得不恰當了。 

為了解決上述問題，人們從醫療分析領域引入了一種新的分類模型performance評判方法——ROC分析。

ROC分析本身就是一個很豐富的內容，有興趣的讀者可以自行Google。

二、ROC曲線

roc曲線：接收者操作特徵(receiveroperating characteristic),roc曲線上每個點反映著對同一信號刺激的感受性。

橫軸：負正類率(false postive rate FPR)特異度，劃分實例中所有負例佔所有負例的比例；(1-Specificity)

縱軸：真正類率(true postive rate TPR)靈敏度，Sensitivity(正類覆蓋率)

2針對一個二分類問題，將實例分成正類(postive)或者負類(negative)。但是實際中分類時，會出現四種情況.

(1)若一個實例是正類並且被預測為正類，即為真正類(True Postive TP)

(2)若一個實例是正類，但是被預測成為負類，即為假負類(False Negative FN)

(3)若一個實例是負類，但是被預測成為正類，即為假正類(False Postive FP)

(4)若一個實例是負類，但是被預測成為負類，即為真負類(True Negative TN)

TP:正確的肯定數目

FN:漏報，沒有找到正確匹配的數目

FP:誤報，沒有的匹配不正確

TN:正確拒絕的非匹配數目

列聯表如下：

由上表可得出橫，縱軸的計算公式：

(1)真正類率(True Postive Rate)TPR: TP/(TP+FN),代表分類器預測的正類中實際正實例佔所有正實例的比例。Sensitivity

(2)負正類率(False Postive Rate)FPR: FP/(FP+TN)，代表分類器預測的正類中實際負實例佔所有負實例的比例。1-Specificity

(3)真負類率(True Negative Rate)TNR: TN/(FP+TN),代表分類器預測的負類中實際負實例佔所有負實例的比例，TNR=1-FPR。Specificity

假設採用邏輯回歸分類器，其給出針對每個實例為正類的概率，那麼通過設定一個閾值如0.6，概率大於等於0.6的為正類，小於0.6的為負類。對應的就可以算出一組(FPR,TPR),在平面中得到對應坐標點。隨著閾值的逐漸減小，越來越多的實例被劃分為正類，但是這些正類中同樣也摻雜著真正的負實例，即TPR和FPR會同時增大。閾值最大時，對應坐標點為(0,0),閾值最小時，對應坐標點(1,1)。

如下圖中實線為ROC曲線，線上每個點對應一個閾值。

橫軸FPR:1-TNR,1-Specificity，FPR越大，預測正類中實際負類越多。

縱軸TPR：Sensitivity(正類覆蓋率),TPR越大，預測正類中實際正類越多。

理想目標：TPR=1，FPR=0,即圖中(0,1)點，故ROC曲線越靠攏(0,1)點，越偏離45度對角線越好，Sensitivity、Specificity越大效果越好。

三、繪製ROC曲線

假設已經得出一系列樣本被劃分為正類的概率，然後按照大小排序，下圖是一個示例，圖中共有20個測試樣本，「Class」一欄表示每個測試樣本真正的標籤（p表示正樣本，n表示負樣本），「Score」表示每個測試樣本屬於正樣本的概率。

接下來，我們從高到低，依次將「Score」值作為閾值threshold，當測試樣本屬於正樣本的概率大於或等於這個threshold時，我們認為它為正樣本（預測標籤），否則為負樣本（預測標籤）。

舉例來說，對於圖中的第4個樣本，其「Score」值為0.6，那麼樣本1，2，3，4都被認為是正樣本（預測標籤），因為它們的「Score」值都大於等於0.6，而其他樣本則都認為是負樣本（預測標籤）。每次選取一個不同的threshold，我們就可以得到一組FPR和TPR，即ROC曲線上的一點。這樣一來，我們一共得到了20組FPR和TPR的值，將它們畫在ROC曲線的結果如下圖：

AUC(Area under Curve)：Roc曲線下的面積，介於0.1和1之間。Auc作為數值可以直觀的評價分類器的好壞，值越大越好。

首先AUC值是一個概率值，當你隨機挑選一個正樣本以及負樣本，當前的分類算法根據計算得到的Score值將這個正樣本排在負樣本前面的概率就是AUC值，AUC值越大，當前分類算法越有可能將正樣本排在負樣本前面，從而能夠更好地分類。

接下來，我們來具體一個實現的列子：

sklearn給出了一個計算roc的例子：

通過計算，得到的結果（TPR, FPR, 截斷點）為

 (1). 分析數據

y是一個一維數組（樣本的真實分類）。數組值表示類別（一共有兩類，1和2）。我們假設y中的1表示反例，2表示正例。即將y重寫為：

score即各個樣本屬於正例的概率。

(2). 針對score，將數據排序

(3). 將截斷點依次取值為score值

將截斷點依次取值為0.1, 0.35, 0.4, 0.8時，計算TPR和FPR的結果。

 3.1. 截斷點為.01

說明只要score>=0.1，它的預測類別就是正例。 
此時，因為4個樣本的score都大於等於0.1，所以，所有樣本的預測類別都為P。

TPR = TP/(TP+FN) = 1 

FPR = FP/(TN+FP) = 1

3.2. 截斷點為0.35

說明只要score>=0.35，它的預測類別就是P。 
此時，因為4個樣本的score有3個大於等於0.35。所以，所有樣本的預測類有3個為P（2個預測正確，1一個預測錯誤）；1個樣本被預測為N（預測正確）。

TPR = TP/(TP+FN) = 1 
FPR = FP/(TN+FP) = 0.5

3.3. 截斷點為0.4

說明只要score>=0.4，它的預測類別就是P。 
此時，因為4個樣本的score有2個大於等於0.4。所以，所有樣本的預測類有2個為P（1個預測正確，1一個預測錯誤）；2個樣本被預測為N（1個預測正確，1一個預測錯誤）。

 TPR = TP/(TP+FN) = 0.5 

FPR = FP/(TN+FP) = 0.5

 3.4. 截斷點為0.8

說明只要score>=0.8，它的預測類別就是P。所以，所有樣本的預測類有1個為P（1個預測正確）；3個樣本被預測為N（2個預測正確，1一個預測錯誤）。

四、AUC的計算

   1.  最直觀的，根據AUC這個名稱，我們知道，計算出ROC曲線下面的面積，就是AUC的值。事實上，這也是在早期 Machine Learning文獻中常見的AUC計算方法。由於我們的測試樣本是有限的。我們得到的AUC曲線必然是一個階梯狀的。因此，計算的AUC也就是這些階梯 下面的面積之和。這樣，我們先把score排序(假設score越大，此樣本屬於正類的概率越大)，然後一邊掃描就可以得到我們想要的AUC。但是，這麼做有個缺點，就是當多個測試樣本的score相等的時候，我們調整一下閾值，得到的不是曲線一個階梯往上或者往右的延展，而是斜著向上形成一個梯形。此時，我們就需要計算這個梯形的面積。由此，我們可以看到，用這種方法計算AUC實際上是比較麻煩的。 

   2. 一個關於AUC的很有趣的性質是，它和Wilcoxon-Mann-Witney Test是等價的。而Wilcoxon-Mann-Witney Test就是測試任意給一個正類樣本和一個負類樣本，正類樣本的score有多大的概率大於負類樣本的score（在實際預測過程中，分類器總是分別給正負樣本一個概率（score）值，並根據設定的閾值，將樣本預測為正或負樣本標籤）。有了這個定義，我們就得到了另外一中計算AUC的辦法：得到這個概率。我們知道，在有限樣本中我們常用的得到概率的辦法就是通過頻率來估計之。這種估計隨著樣本規模的擴大而逐漸逼近真實值。這和上面的方法中，樣本數越多，計算的AUC越準確類似，也和計算積分的時候，小區間劃分的越細，計算的越準確是同樣的道理。具體來說就是統計一下所有的 M×N(M為正類樣本的數目，N為負類樣本的數目)個正負樣本對中，有多少個組中的正樣本的score大於負樣本的score。當二元組中正負樣本的 score相等的時候，按照0.5計算。然後除以MN。實現這個方法的複雜度為O(n^2)。n為樣本數（即n=M+N） 
   3.  第三種方法實際上和上述第二種方法是一樣的，但是複雜度減小了。它也是首先對score（預測為正標籤的概率值或得分）從大到小排序，然後令最大score對應的sample的rank為n=M+N，第二大score對應sample的rank為n-1，以此類推。然後把所有的正類樣本的rank相加，再減去M-1種兩個正樣本組合的情況。得到的就是所有的樣本中有多少對正類樣本的score大於負類樣本的score。然後再除以M×N。即 

特別需要注意的是，再存在score相等的情況時，對相等score的樣本，需要 賦予相同的rank(無論這個相等的score是出現在同類樣本還是不同類的樣本之間，都需要這樣處理)。具體操作就是再把所有這些score相等的樣本 的rank取平均。然後再使用上述公式。