法國哲學家和數學家勒內·笛卡爾憑藉《方法論》為17世紀數學的復興做出了巨大貢獻。也正是由於這本書，人們把統一代數和幾何或者創立解析幾何的榮譽歸功於笛卡爾。
笛卡爾本人尤其關注古希臘數學家巴伯斯和丟番圖，他注意到數學唯一關心的是次序和度量問題，而問題中的量度是否涉及數字、形狀、恆星等任何東西都是無關緊要的。這啟發了他去尋找一門通用數學——能夠提出與解釋次序和量度相關的問題，而無需考慮所要解決的問題。於是，笛卡爾把所有的精力都用於尋找通用數學。
笛卡爾至1619年時。笛卡爾有信心在自己的思想和創新的基礎上建立一整套完整的哲學系統，該系統可以為學習和研究開創一條充滿確定性和明確性的路。在接下來的的20年間，笛卡爾發展了這些觀點，並將領域擴充到對整個世界運轉方式的宏大嚴謹的解釋。1633年開始完成《論世界的》的手稿時，由於獲悉伽利略因贊同哥白尼日心說而宗教監禁，笛卡爾並未出版該書。事實上直到《方法論》，這期間寫成的書均未出版，當然除了擔心教會的懲罰，另一個原因是當時沒有科學期刊。
「大戰」的前夕
當時的法國有一個勤於學術的牧師馬林·梅森，充當了科學期刊的作用，他的家成為了當時最頂尖的數學家的聚會所。梅森與其他數學家一直保持通信，這也是笛卡爾與費馬爭論的陣地了。
笛卡爾在方法論的開篇中提到：不能確知是對的事，不要接受。這就是說，在判斷時謹慎地避免倉促和偏見，只接受那些非常清晰地印在腦海中不容置疑的東西；笛卡爾認為可以運用數學作為基礎來進行建構。正如他提出的：「我尤其喜歡數學，因為它們說理時的確定和明晰。但我還沒有精確地掌握它們的正確用法；考慮到它們對機械技術的發展獨一無二的貢獻，這些基礎如此牢固，它們無需我們再往前發展更多，我為此感到驚異。他的書沒有對世界做出完整的解釋，但它的確主張所有的自然現象都可以做出機械的解釋，這是一個非常有力的觀念。
《方法論》一書包含3篇文章，依次是《折射光學》、《大氣現象》、《幾何》，其中第一篇《折射光學》和第三篇《幾何》是與費馬爭論的焦點。而《幾何》就是笛卡爾留給數學的主要遺產，其中他對古希臘幾何學家阿波羅尼奧斯留下來的問題給出了通用且徹底的代數解法——方法的基礎特徵就是將方程和曲線聯繫起來，將點和曲線放在同一個坐標系中，只是這裡的坐標系並不是我們熟悉的坐標系。基於此，笛卡爾對方程理論做出了有意義的貢獻，把兩個曲線放到同一個坐標系中，通過解出兩曲線方程的公共根，尋找曲線的交點；笛卡爾還引入了一套符號系統，字母表開頭的小寫字母表示常數或已知數，而字母表末尾的小寫字母表示未知數。雖然憑藉《幾何》，笛卡爾成為解析幾何的締造者，但「解析幾何」這一名稱直到19世紀才出現。
光的折射想必笛卡爾對自己這種世界首創的獨特方法是特別的自豪，然而卻得到了當時重要數學家的批評，其中就包括了費馬，沒錯，就是提出費馬大定理的那個業餘數學家。事情已通過笛卡爾同時代的數學家讓·貝格蘭開始的，1636年貝格蘭出版了一本《剛體力學》，該書得到了笛卡爾的嚴厲批評，或許這是一個讓人懷恨在心也說不準，1337年冬，貝格蘭得到了《折射光學》的抄本，抄本在他與同僚之間的傳閱，當然包括費馬，開始了猛烈的攻擊。其中費馬認為折射定律的證明根本就算不上是證明，當然沒人知道笛卡爾得出折射定律的關鍵步驟依賴於未出版的《論世界》中的精確論述，直到1644年笛卡爾出版《哲學原理》，定律才得到充分論述。
費馬費馬對《幾何》在最大值與最小值方面沒有任何研究感到驚訝，於是費馬把自己在這領域的成果寄給了梅森，包括了最值、曲線的切線方法，解析幾何的成果。笛卡爾在出版《方法論》之前，看到了費馬的這些成果，兩人的方法驚人的相似，這無疑成為了費馬和笛卡爾衝突的誘因，於是評論和批判鋪天蓋地。特立獨行的笛卡爾對此大都以憤怒和輕蔑回應，在任何場合都樂意爭論的笛卡爾是不可能咽下這口氣的，1638年笛卡爾開始針對費馬的批評給予反擊：指責費馬缺乏數學家和思想者的素質，笛卡爾認為費馬的成果應該歸功於他。人們普遍認為，當時的費馬應該是完全不知道笛卡爾的成果的，他們是各自獨立的解決軌跡問題。
笛卡爾的反擊
論戰擴大，更多人捲入其中，羅貝瓦爾和帕斯卡站在了費馬一邊，克勞德·麥多治和吉拉德·德扎格站在了笛卡爾這邊。
費馬雖然是那個時代偉大的數學家，但是他在論文中常常是忽略細節的，而且在面對別人的質疑時，又偏偏不做詳細說明，這確實讓當時的同行不悅。丟番圖一書中關於費馬大定理的幾行字就可見一斑。笛卡爾同樣指責費馬尋找最大值、最小值的方法和關於切線的規則都不是嚴格推導的結果；更狠的是說費馬的聲譽主要來自兩個幸運的猜想，這是極易引起費馬及追隨者的怒火的。相對於笛卡爾的猛烈攻勢，費馬好像要淡定得多，或許是在憋大招。
帕斯卡爭鬥持續了20年，在間歇期，笛卡爾更多的是繼續在哲學和形上學上的研究，並出版了倍受好評的書籍；而經過四次修訂的《幾何》，深深的影響了新一代的數學家，更是鞏固了他在數學界的榮譽，除此之外笛卡爾算是遠離了數學，暴躁易怒和出言刻薄的他也得罪了不少數學家。1650年，在尊敬和榮譽中，笛卡爾離開了人世。
費馬的復仇
即便是笛卡爾已經離世，費馬的傷痛依舊。17世界50年代末，一位笛卡爾的忠實的擁躉克勞德·克雷色列爾在編輯笛卡爾的書信集，請求費馬把他希望編入的信件抄本提供給他，這讓費馬得到了「復仇」的大好時機，於是他給克雷色列爾回了一封長信，只是信件沒有達到恢復費馬名譽的效果，儘管此時的費馬用語更加的強硬。相比於笛卡爾離開了數學，費馬勤奮鑽研，在數論和概率論領域做出了重大貢獻，也為微積分的發展打下了基礎，而且費馬在解析幾何上的方法更接近我們現在所用的方法，但笛卡爾所用的符號更現代化一些。內斂些的費馬生前並未得到廣泛的認可，費馬自稱更願意去探索確定性的真理，而不願意花費更多時間在辯論、虛名和無謂的爭論上。然而笛卡爾和費馬兩人對17世紀的數學發展所做的貢獻是不可磨滅的。