N維?十一維時空?四維時空和三維空間都是什麼鬼?

不管是在生活中，還是在網上，時空都是我們喜歡討論的一個話題，網上也是各種關於空間的科普文章，但很多概念混亂邏輯錯誤，看得大家雲裡霧裡不知所云。這裡我嘗試以自己丁點的數學知識，給大家講一講空間與緯度。有錯誤希望大家批評指正。

空間與維度

一．N維空間與線性代數

理工科出身的都在大學裡學習過線性代數，如果還有印象，一定還記得什麼行列式和矩陣，對於那些奇奇怪怪的運算規則，很多老師卻不講其所以然，一句就是這麼規定的應付了事，更多的是在講解題技巧。同學們學得更是辛苦，死記硬背應付過考試後就忘到九霄雲外了，只有少部分同學在以後的學習和專業中才發現線性代數原來這麼有用。

線性代數

簡單講線性代數是研究線性對象（向量）在線性空間中的線性運動（線性變換），而矩陣就是對這種線性變換的一種描述。

第一個概「念線性空間」，數學上的空間首先它是集合中的一種，其次這個空間（集合）中有很多（其實是無窮多個）對象組成，所有這些對象之間存在相對關係並且可以定義度量，譬如長度和角度，最後這個空間可以容納運動。所以線性空間就是向量（行列式）的集合，我們可以選定一個基，建立坐標系，定義長度或者角度，在這個線性空間裡可以用矩陣來表示向量的線性運動（變換）。

這裡又涉及的一個概念「基」，什麼是「基」呢？簡單粗暴地講就是坐標系，這個坐標系有幾根坐標軸，那麼這個線性空間就是幾維的。我們怎麼在線性空間裡找到一組基呢？如果一組向量是彼此線性無關的話，那麼它們就可以成為度量這個線性空間的一組基。如果我們在這個線性空間裡找到N組向量線性不相關，（每個向量又是N列的行列式，也是N*1的矩陣）那麼這個N*N（非奇異）矩陣就是這個線性空間的一組基，其中每一個向量都躺在一根坐標軸上，並且成為那根坐標軸上的基本度量單位（長度1），我們也把這個線性空間稱為N維的線性空間。

所以在線性空間裡是可以有N個維度，N可以是任意自然數（1，2，3，...），關鍵點是每個維度彼此線性不相關。

大家可以注意到這個坐標系是可以任意建立，只要是線性不相關的一組向量就可以，那麼就帶來一個現象，對於A點到B點的運動（變換），因為坐標系的不同，描述這一變化的矩陣也不相同，但他們描述的卻又是同一個變化，那麼在兩個不同坐標系下描述同一向量變換的兩個矩陣就是相似矩陣。說到這裡學過的同學是不是有點回憶起這個概念了，原來相似矩陣是這麼來的，是有它的空間意義的。

對於沒有學過線性代數的同學，可能不好理解。舉一個線性代數在實際生活中的應用：機械手臂怎麼運動的？控制機械手臂的運動的程序就是在計算矩陣（矩陣的左乘，右乘等等），這就是用線性空間的數學方法來描述三維空間中的機械臂（向量）從A點運動到B點的運動（矩陣）。

機械臂

線性空間是比較基礎的一種空間，從上面的例子可以看到它可以運用到三維的幾何空間，它還可以用到4*4的仿射空間，計算機圖形學用的就是這個4維仿射空間。

再強調一下成為緯度的關鍵特性就在於緯度之間的互不相關性。在物理的研究上也並不是只有空間的長寬高三個幾何維度，密度，質量，以及各種不相關的物理特性，比如顏色都可以成為研究該對象的一個緯度，有了這些維度一樣可以藉助線形代數的數學方法了。

下面我們再講一下幾何空間上的維度。

二．幾何空間的維度

三維坐標系與基

以我們熟悉的三維歐幾裡德空間為例，三個維度分別是長寬高，那麼他們幾何上的不相關特性是怎樣的呢？它們的不相關性體現為互相垂直。為什麼呢？我們可以看到任何在x軸上任意點A在y軸和z軸的坐標值都是0，坐標為（a，0，0）其他軸上的點也是一樣，在另外兩個軸上的坐標值都是0，譬如y軸上的B點坐標為（0，b，0），z軸上的點C坐標為（0，0，c）。所以幾何上的不相關就是垂直，坐標軸上任意的一個點在其它坐標軸上的分量都是0。根據上面線性空間的知識我們可以看到每個點的坐標都是一個行列式，也是從坐標原點開始的一個向量，而這三個坐標軸上的三個點坐標也構成了一個3*3的矩陣，所以也是一個線性不相關的「基」。從這個意義上說歐幾空間是線性空間中的一種。

這就是我們生活中接觸到的長寬高的三維歐幾裡德幾何空間。

三．四維時空

在研究我們所在的空間的時候，愛因斯坦這個牛人發現光用長寬高這個三個幾何緯度並不能很好地解釋我們所處的空間，必須要加上另一個維度，就是與其他三個幾何維度互不相關的非幾何特性--時間。於是就有了我們所聽到的四維時空：三個空間維度加上時間緯度。有人把時間維度稱為偽緯度，我認為這是不正確的。並不是只有幾何的維度才是維度。

時空扭曲

那為什麼在研究現實空間的時候必須加上時間維度呢？因為不同空間的時間可能是不一樣的，當我們研究某個具體空間時，必須研究這個空間的時間。按照愛因斯坦的廣義相對論，每個有質量的物體都會扭曲周圍的時空。注意扭曲的並不僅僅是空間，同樣還有時間。科學家已經通過實驗證實地球外太空的時間比地球表面的時間慢一丟丟。同理太陽表面的時間和我們地球表面時間肯定也是不一樣的，因為太陽的質量比地球大的多。我國古代的神話故事裡也有天上一天，地下一年的說法，不知道這是不是只是一個巧合。

一．高維空間和11維空間的由來。

前面我們講了，幾何上的不相關性就是垂直，在一個二維平面上x軸垂直y軸，x軸上的點在y軸上沒有分量，三維空間裡，三個坐標軸也是互相垂直。所以四維空間的第四根坐標軸也是必須和x y z這三個坐標軸互相垂直。顯然這第四根坐標軸不存在於三維空間內，所以我們無法看到。

那麼高維空間到底存不存在呢？十一維空間又是怎麼來的呢？

愛因斯坦的廣義相對論準確描述了宇宙宏觀世界，最近的天文現象，以及第一次拍到的宇宙中黑洞照片等等都再次證實了廣義相對論的正確性。但是廣義相對論卻無法解釋量子力學。

人們在研究量子力學時，發生了令人無法解釋的現象，在計算量子微觀世界裡的概率問題時，概率居然出現了負數，還出現了大於1的結果。學過統計和概率論的都知道，概率處於0到1之間，0表示絕對不可能發生，1表示必然發生，怎麼可能出現負數和大於1的數呢？

然後有科學家發現如果只是在三維世界中就會發生這種問題，但是把問題放到高維世界中，這個概率問題就完美的處在了0到1之間。通過計算這個高維是25維。這是弦理論。

然後弦理論進一步升級到了超弦理論（以及統一多種超弦理論的M理論）。按照狹義相對論，光子的速度是不變的，光子之所以按光速運動，因為它的質量是0，所以它的能量也是0。但是按照光子的最低能量加上它的振動能量就是光子的總能量這個公式來計算，在三維空間中計算出光子的能量並不為0，而只有當維度為10的時候，代入數學公式中計算出光子的能量為0。所以就有10維的幾何維度加上時間維度成為11維的時空。

我們可以理解為光子的振動並不僅僅在我們看到的三維空間中，還有我們看不到的高維中，所以能量在不同的維度上抵消後光子的總能量為0。

因為超弦理論統一了廣義相對論和量子力學，也統一了最基本的四種力（引力、電磁力、弱力和強力），所以它是目前大統一理論的最佳候選之一。

但超弦理論依然還有漏洞，所以這個結論並沒有被完全證實。我們可以假設光子是不是也有進不去的更高維空間呢？

五．關於平行宇宙

平行空間

我們在平面上任意畫一條線，可以畫出無窮多與之平行的平行線，這些線都處在這個平面中，我們把這個二維平面升維到三維空間中，可以找到無窮多與之平行的平面，這些平面都在這個三維空間中。

那麼只要我們所處的這個三維宇宙空間真的是在更高維的空間中，那麼可以推理同樣存在無數個與我們這個宇宙空間平行的空間。

那麼存在平行空間，那麼另一個平行空間就必然有銀河系，有太陽系，有地球，甚至還有另一個你？這在邏輯上是不成立的，平行的只是空間，而不是空間裡的每個物體。譬如你在一條平行線上畫一個紅點，難道其它平行線都出線一個紅點？平行的只是線而已，它們仍然是相對獨立的。但平行空間彼此就毫無影響嗎？這也不盡然，假設平面內有根直線與所有平行線相交並打個結，我們向下拉動這根線，所有的平行線都往下彎曲一個弧度，但他們仍然是平行的。所以如果存在同時存在或者能跨越高低維度空間的物質或者能量就能對平行空間施加影響。我們假設光子就是可以同時存在或者能穿越高低維空間的，那麼光子在我們這個三維空間能量是正，那在其它維的空間中能量就可能為負，所以也許存在這某種跨緯度的能量守恆。

以上就是我對一些容易混淆的空間和維度概念的一個梳理，有不對的地方請批評指正。