正則變換是物理、力學家和天文學家處理哈密頓體系的經典方法。通過找到合適的變量替換，正則變換可以簡化、甚至是徹底求解哈密頓體系的動力學。例如，19世紀法國科學家夏爾·德勞奈發表了約1800頁的解析推導，試圖使用正則變換化簡「日-地-月」的三體問題。雖然正則變換方法是哈密頓力學中的基本工具，但是它在更複雜的多體問題中的廣泛應用受限於繁複的人工操作和解析計算。
利用正則變換與現代機器學習中的正則化流方法(Normalizing Flow)之間的密切聯繫，中國科學院物理研究所/北京凝聚態物理國家研究中心凝聚態理論與材料計算重點實驗室的博士生李爍輝、董陳瀟與王磊研究員和普林斯頓大學的張林峰博士合作提出了神經網絡正則變換(Neural Canonical Transformation)方法。該方法利用神經網絡實現靈活、可學習的正則變換。通過對於哈密頓函數或相空間數據的學習找到合適的變換，從而將問題映射為具有不同特徵頻率的近獨立運動模式。
在機器學習領域，正則化流利用可逆的深層神經網絡實現數據之間的變換。它在語音與圖像合成等現實問題中有廣泛的應用。本質上，正則化流使用變量替換的方法將真實數據複雜的概率分布映射成為簡單的近似正則分布。物理學中的正則變換其實也是一種正則化流。但與通常的機器學習應用不同，正則變換作用於包含坐標和動量的相空間。此外，為了保證變換前後的哈密頓方程的形式和物理意義，變換本身需要滿足辛條件(Symplectic Condition)。構建滿足這些哈密頓體系基本數學性質的神經網絡是此項工作的關鍵點。
神經網絡正則變換的一個直接應用是提取多體問題中近獨立的非線性模式。這有助於識別在分子動力學和動力學控制問題中起關鍵作用的低頻集體模式。例如，作者使用神經網絡正則變換分析丙氨酸二肽的分子動力學模擬數據，從而提取出分子構像之間轉換所對應的運動模式。作者還將神經網絡正則變換應用於機器學習問題，實現了對於MNIST數據集的隱變量提取與概念壓縮。
此工作受到科技部(2016YFA0300603)和國家自然科學基金委(11774398)的資助。
相關研究成果發表於Phys. Rev. X，論文連結
https://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/PhysRevX.10.021020
開源的代碼實現
https://github.com/li012589/neuralCT
編輯：Kun
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