在支持向量機（support vector machine，SVM）算法中，有諸多數學思想。學習SVM是一個非常好的實踐數學思想的過程，為我們以後創新解決問題思路提供了啟發。
在卷積神經網絡興起之前，在機器學習界一直是非常受追捧的算法，不光是因為其有良好的泛化能力、很高的準確度，更是因為其完備的數學理論依據以及諸多較難理解的數學知識。這兩點讓人們覺得SVM是一個很精妙很酷的算法！所以在實際應用也非常多。
本文從頭到尾闡述SVM從建模到求解過程中的數學思想，我們發覺SVM建模的出發點是非常簡單的，通過了解其數學思想，對其一步一步為什麼、怎麼應用各種數學思想方法，變得越來越複雜的整個過程就有了非常清晰的了解。更重要的，我們對科學建模過程也有了充分了解，便於我們以後進行各種創新設計。SVM主要概括為：
理解SVM問題是通過簡單的直覺和嚴謹的數學來約束最小化問題。 SVM問題應用拉格朗日方法來解決約束優化問題。 為了找到不同類別點之間最寬的間隔，最大化問題僅取決於點積。其背後的數學思想概括有下邊要講的四點，本文詳細分析之。
幾何思想：簡單直覺的理解世界
SVM出發點是非常直覺的，那就是把二分類問題放到幾何上理解。
SVM最初的問題是：把二分類問題轉化為在二維空間中，找到最佳分隔線，如下圖所示：
這個分隔線怎麼找才最好，最直覺的思想就是"不偏不倚"，與兩類樣本點的邊界保持相等的最遠的距離。
這是一個非常直覺、非常樸素的直觀感覺！作為一個比較難理解的算法，SVM發點竟然如何簡單！這也給我們一個啟發，那就是對於現實世界問題建模，剛開始一定要追求極簡原則、直覺原則，為什麼呢？因為越是簡單，越容易檢驗正確與否，類似於幾何中公理一樣。
接下來，我們繼續演繹，那就是在幾何上，怎麼表達"不偏不倚"？很顯然，再一次直覺感知，那就是最大化間隔。
我們希望找到這樣一個決策邊界，這個邊界距離兩類數據點最遠。更進一步的，是距離兩類數據點的邊界最遠，所以定義最接近邊界的數據點定義為支持向量。最後，我們的目標變為找到這樣一個直線（多維叫超平面），它與支持向量有最大的間隔。
抽象思維：由實際問題建模的數學思想
抽象思維，是由實際問題抽象為數學模型的非常重要的思想。
剛才我們已經把問題用幾何說清楚了，接下來，仍然是用幾何求解。為了表達這個距離（間隔），需要把現實世界中的這類問題抽象共性表達。所以我們進行若干設定：
設這個平面用g(x)=0來表示，其法向量用w表示 點與平面實際距離為r 點與平面的距離可以用g(x)的絕對值來度量（稱為函數間隔）
如上圖所示，點x可以表示為：
這是g(x)為正的情況，點x在平面一側。
我們的目標就是求r最大化。函數間隔的取值並不影響最優解，假設將w,b按比例擴大a倍，函數間隔變為ag(x)，分母也變為原來的a 倍，上下抵消。對目標函數沒有影響 ，因此為優化方便我們設函數間隔為 1。
也意味著，支持向量邊界被設定為g(x)=±1，即間隔面。最後，間隔變為：
同時我們的約束是：
最後抽象後的數學問題變為：
懲罰函數（因子）：提升系統的魯棒容錯能力
懲罰函數亦稱處罰函數，是一類制約函數。對於約束非線性規劃它的制約函數稱為懲罰函數，係數稱為懲罰因子 。是數學中非常重要的一種處理方法。
引入懲罰因子C的SVM（軟間隔支持向量機）的目標函數為：
這個做法非常精妙，體現非常精妙神奇的數學思維。
為什麼要引入C？要理解參數C的意義，先要理解ξ的意義。如下圖所示，
當樣本點越過本類樣本點的邊界時，
時，點在分離超平面與本側間隔面之間;
時，點在超平面上；
時，點在分離超平面與另一側間隔面之間；
時，點在分離超平面誤分一側。
所以，設置C就是為了對這些在邊界地帶誤分的點，而這些點在現實世界是天然存在的，如果對於他們不進行容錯（對應硬間隔支持向量機），那麼我們是無論如何也不能把樣本分開的。而引入懲罰因子，目的就是，對這類誤分的樣本進行容錯，相當於把點拉到正確一側。
具體分析之，我們要最小化目標函數：
①當C很大時，ξ趨近於0，結合上圖和上邊的解釋，分離超平面被邊界的點朝相反類別一側擠壓，換句話說：懲罰很大，容忍度很低，錯分較少，對樣本的擬合性較好，但容易過擬合；
②C的變小時，ξ開始變大，結合上圖和上邊的解釋，處於兩個間隔面之間的點（甚至另一側）變多，錯分較多，對樣本的擬合性下降。
所以要權衡折中。
轉化思想：轉化為容易解決的問題
轉化思想，是數學中最為靈魂、最為常用的思想。
這裡主要講的對於SVM目標函數求解用到了拉格朗日對偶與KKT條件，如果不太了解拉格朗日對偶與KKT條件，可以參考本頭條號文章《深入講解強弱對偶理論與KKT條件》視頻《形象直觀理解KKT條件》。
我們已經得到SVM的目標函數（以硬間隔為例）：
對於求解不等式約束的問題，我們轉化為求其對偶問題，這個對應的對偶問題是：
其中
最終我們得到目標函數如下，由我個變量變為只有一個變量：
核思想：升維的同時避免維度災難帶來的複雜計算
目標函數中有點積：
不僅如此，因為決策函數還取決於支持向量和新樣本的點積：
這意味著如果我們使用將數據映射到更高維度空間的映射函數，那麼最大化和決策函數取決於不同樣本的映射函數的點積，那麼我們只需要知道K而不是映射函數本身。這就是核函數，它降低了尋找映射函數的複雜性。核函數定義了轉換空間中的內積。
對於核函數的透徹理解，請參考本頭條號另一文章《透徹形象理解核函數》，本文僅以高斯核函數作為舉例，推導其映射函數：
其映射函數為：
可以映射到無窮維。看核函數，注意到它取決於兩點之間的歐幾裡德距離，即如果兩個矢量更接近則該項很小。由於方差總是正的，這意味著對於更接近的向量，其值更大。當伽馬參數高時，核函數的值將更小，即使對於非常靠近兩個樣本，這可能導致複雜的決策邊界或引起過度擬合。如下圖所示：