從2維空間到26維空間,「維度」如何影響我們的世界的?

我們的建築、教育和字典告訴我們，空間是三維的。《牛津英語詞典》將其定義為「一個自由的、可利用的或未被佔用的連續區域或廣闊區域……高度、深度和寬度的維度，所有事物都在其中存在和移動。」「在18世紀，伊曼努爾·康德認為三維歐幾裡德空間是一種先驗的必要條件。並且隨著我們在計算機生成的圖像和視頻遊戲中所處的狀態，我們不斷受到看似公理的笛卡爾網格的表示。從21世紀的角度來看，這似乎是不言而喻的。

然而，我們居住在一個具有任何數學結構的空間，這是西方文化的一項根本性創新，有必要推翻長期以來對現實本質的信念。儘管現代科學的誕生常被認為是向自然的機械論解釋的過渡，但更重要的可以說是它在我們把空間看作幾何結構的觀念中所帶來的轉變。

在過去的一個世紀裡，描述空間幾何的探索已經成為理論物理學的一個主要課題，從阿爾伯特·愛因斯坦開始的專家們都試圖把自然界的所有基本力量解釋為空間本身形狀的副產品。現實生活中，我們被訓練成認為空間是三維的，廣義相對論描繪了一幅四維宇宙的圖畫，弦理論說它有10個維度，或者M理論則為11個維度。最近，純數學家描述一個24個維度的空間，這讓他們興奮不已。但是這些「維度」是什麼呢？談論一個10維的空間意味著什麼？

為了進入關於空間的現代數學思維模式，首先必須將其視為物質可能佔據的某種舞臺。至少，必須將「空間」視為擴展的東西。儘管在我們看來這似乎很明顯，但這樣的想法是對亞里斯多德的詛咒，他關於物質世界的概念在古代晚期和中世紀統治著西方的思想。

亞里斯多德

嚴格地說，亞里斯多德的物理學不包括空間理論，只包括空間的概念。想像一個放在桌子上的杯子。對亞里斯多德來說，杯子被空氣包圍，空氣本身就是一種物質。在他的世界圖景中，並沒有真空這種東西，只有一種物質——杯子和另一種物質——空氣之間的邊界。。對亞里斯多德來說，「空間」僅僅是杯子和它周圍事物之間極其細微的界限。沒有擴展，空間就不可能有其他任何東西。

在亞裡斯多德之前的幾個世紀，留基伯和德謨克利特提出了一個關於現實的理論，該理論激發了一種內在的空間化的觀察方式——一種「原子論」的視角，即物質世界是由在真空中移動的微小粒子(或原子)組成的。但亞里斯多德拒絕原子論，聲稱虛無的概念在邏輯上是不連貫的。他說，根據定義，「虛無」是不可能的。要克服亞里斯多德對空間的反對，從而克服擴展空間的概念，需要幾個世紀的努力。直到伽利略和笛卡爾在17世紀早期把擴展空間作為現代物理學的基石之一，這種創新的觀點才有了自己的一席之地。對於這兩位思想家，正如美國哲學家埃德溫·伯特在1924年所說，「物理空間被認為與幾何領域相同」——也就是說，我們現在在學校裡學習的三維歐幾裡德幾何。

伽利略

笛卡爾（右1）

早在物理學家接受歐幾裡得的觀點之前，畫家們就已經率先提出了空間的幾何概念。正是由於他們，我們的概念框架才有了這一顯著的飛躍。在中世紀後期，在柏拉圖和畢達哥拉斯(亞里斯多德的主要學術對手)的影響下，一種觀點開始在歐洲傳播開來：上帝根據歐幾裡得幾何學的法則創造了世界。因此，如果藝術家想要真實地描繪它，他們應該在他們的表現策略上模仿創作者。從14世紀到16世紀，像喬託、保羅·烏切羅和皮耶羅·德拉·弗朗切斯卡這樣的藝術家發展了後來被稱為透視法的技術——一種最初被稱為「幾何形體」的風格。-通過自覺探索幾何原理，這些畫家逐漸學會了如何在三維空間中構建物體的形象。在這個過程中，他們改變了歐洲人的思維方式，以歐幾裡德的方式來看待太空。

畢達哥拉斯

歷史學家塞繆爾·埃格頓在《喬託的幾何學傳承》中對現代科學進行了出色的論述，指出亞里斯多德式的空間思考是如何被推翻的，這在一定程度上是由於人們長期，緩慢地產生副產品，他們站在透視繪畫和感覺的面前，仿佛他們正在「瀏覽」三維世界。這裡的非凡之處在於，儘管哲學家和原始科學家謹慎地挑戰亞里斯多德關於空間的理論，但藝術家們卻通過訴諸感官，在這個知識領域大刀闊斧。透視表示是一種虛擬實境形式，就像今天的VR遊戲一樣，旨在給觀眾一種幻覺，認為它們已經被運送到幾何上連貫且在心理上令人信服的其他世界。

「真實」的結構從哲學和神學的問題變成了幾何命題

笛卡爾和伽利略將歐幾裡得空間逐漸烙印到歐洲意識中，被其視為現實世界的空間。值得補充的是，伽利略本人接受過透視訓練，他開創性的月球圖紙中的一個關鍵特徵，該圖紙描繪了山脈和山谷，並暗示月球與地球一樣堅固。

通過採用透視成像的空間，伽利略可以展示像炮彈這樣的物體是如何根據數學定律運動的。空間本身是一種抽象概念，是一種沒有特徵、沒有活動、不可觸摸、不可感知的空間，它唯一可知的性質就是它的歐幾裡得形式。到17世紀末，艾薩克·牛頓已經將這種伽利略式的觀點擴展到了整個宇宙，而整個宇宙現在變成了一個潛在的無限的三維真空——一個無邊無際的、毫無質量可言的、永遠向四面八方延伸的真空。這樣，「實在」的結構就從哲學和神學的問題變成了幾何的命題。

在「科學革命」的初期，畫家們曾使用數學工具來開發新的圖像生成方法，而笛卡爾卻發現了一種方法來生成數學關係及其自身的圖像。在這個過程中，他正式提出了一個維度的概念，不僅給我們的意識注入了一種看待世界的新方式，而且還注入了一種進行科學研究的新工具。

今天，幾乎所有人都可以從笛卡爾平面圖像中認識到笛卡爾的天才成果，帶有x和y軸標記的矩形網格以及坐標系。

根據定義，笛卡爾平面是二維空間因為我們需要兩個坐標來確定其中的任意點。笛卡爾發現，有了這個框架，他可以把幾何形狀和方程聯繫起來。因此，半徑為1的圓可以用方程x^2 + y^2 = 1 來描述。

我們可以在這個平面上畫出的大量圖形，這些圖形都可以用方程來描述。這樣的「笛卡爾」幾何很快就會成為牛頓和萊布尼茨進一步分析運動而發展的微積分的基礎。理解微積分的一種方法是研究曲線；例如，它使我們能夠正式定義曲線最陡峭的位置，或曲線達到局部最大值或最小值的位置。當應用到運動的研究中，微積分為我們提供了一種分析和預測的方法，例如，一個物體拋向空中將達到最大高度，或者一個球滾下彎曲的斜坡將達到特定的速度。自從微積分發明以來，它已經成為幾乎每一個科學分支的重要工具。

考慮到前面的圖表，很容易看出我們如何添加第三個軸。因此，通過x軸、y軸和z軸，我們可以描述一個球體的表面。這裡的方程(對於半徑為1的球體)變成：x^2 + y^2 + z^2 = 1

用三個軸，我們可以描述三維空間的形式。同樣，每個點都是由三個坐標唯一確定的：這是三維空間的必要條件。

但為什麼止步於此呢？如果我加入第四個維度呢？我們叫它p。現在我可以寫出一個方程來表示一個四維空間中的球：x^2 + y^2 + z^2 + p^2 = 1。我不能畫出這個物體，但是從數學上來說，增加另一個維度是合理的。「合理」的意思是這樣做沒有任何邏輯上的矛盾——我沒有理由不能這樣做。

「維度」成為一個純粹的符號概念，與物質世界沒有必然的聯繫

我可以繼續，增加更多的維度。所以我在五維空間中定義了一個球，它有五個坐標軸(x, y, z, p, q)：x^2 + y^2 + z^2+ p^2 + q^2 = 1。六維空間中的一個：x^2 + y^2 + z^2 + p^2 + q^2 + r^2 = 1等等。

儘管我可能無法想像出高維球體，但我可以用象徵的方式來描述它們，而理解數學歷史的一種方式是，把它理解為一種正在展開的認識，即我們可以超越那些看似合理的事物。這就是查爾斯·道奇森，在《愛麗絲夢遊仙境：鏡中奇案》(1871年)中，他讓白王后聲稱她有能力相信「早餐前的六件不可能的事」。

數學上，我可以用任意維數來描述一個球體。我所要做的就是不斷添加新的坐標軸，數學家們稱之為「自由度」。通常，它們被命名為x1, x2, x3, x4, x5, x6等等。就像笛卡爾平面上的任何點都可以用兩個(x, y)坐標來描述一樣，17維空間中的任何點都可以用17個坐標來描述(x1, x2, x3, x4, x5, x6…x15, x16, x17)。像上面的球體一樣的表面，在這樣的多維空間中，通常被稱為流形。

從數學的角度來看，「維」不過是另一個坐標軸(另一個自由度)，它最終成為一個純粹的符號概念，與物質世界沒有必然的聯繫。19世紀60年代，邏輯學先驅奧古斯都·德·摩根的著作影響了劉易斯·卡羅爾，他總結了這個領域日益抽象的觀點，指出數學純粹是「符號的科學」，因此，它除了與自身有關外，與其他任何事物都沒有關係。從某種意義上說，數學是在想像的領域中被釋放出來的邏輯。

不像數學家可以自由地在思想的領域裡進行研究，物理學是與自然相聯繫的，至少在原則上是與物質事物相聯繫的。然而，所有這些都提出了一種解放的可能性，因為如果數學允許三維以上的空間，而且我們認為數學對於描述世界是有用的，我們怎麼知道物理空間是有限的三個？儘管伽利略、牛頓和康德認為長度、寬度和高度是不言自明的，難道我們的世界就不會有更多的維度了嗎？

再一次，宇宙超過三維的想法通過一種藝術媒介注入到公眾意識中。在19世紀末和20世紀初，許多哲學家、藝術家、思想家探討了關於第四維度的概念，以及人類遇到第四維度可能意味著什麼。

1905年，一位不知名的物理學家阿爾伯特·愛因斯坦發表了一篇論文，將現實世界描述為一個四維空間。在他的「狹義相對論」中，時間被添加到空間的三個經典維度中。在相對論的數學形式中，所有四個維度都被捆綁在一起，時空這個術語也進入了我們的詞典。這種組合絕不是武斷的。愛因斯坦發現，通過沿著這條路走下去，一種強大的數學儀器出現了，它超越了牛頓的物理學，使他能夠預測帶電粒子的行為。只有在四維世界模型中，才能完整而準確地描述電磁學。

相對論不僅僅是另一個文學遊戲，特別是當愛因斯坦把它從「特殊」擴展到「一般」理論的時候。現在，多維空間充滿了深刻的物理意義。

在牛頓的世界圖景中，物質在自然力量，特別是重力的影響下，在時間和空間中移動。空間、時間、物質和力量是現實的不同範疇。在狹義相對論中，愛因斯坦證明了空間和時間是統一的，從而將基本的物理類別從四個減少到三個：時空、物質和力。廣義相對論則更進一步，將重力包裹在時空本身的結構中。從四維的角度看，重力只是空間形狀的副產品。

為了理解這種不同尋常的情況，讓我們暫時想像一下它的二維類比。想像一個蹦床，想像我們在它的表面畫一個笛卡爾網格。現在把一個保齡球放在格子上。在它周圍，表面會拉伸和彎曲，因此一些點彼此之間會變得越來越遠。我們擾亂了空間內固有的距離度量，使它變得不平衡。廣義相對論認為，這種扭曲就像是一個沉重的物體，例如太陽，對時空的影響，而空間本身的笛卡爾完美性所產生的偏差，導致了我們所體驗到的重力現象。

而在牛頓的物理學中，重力無處不在，而在愛因斯坦的物理學中，它自然地從四維流形的固有幾何中產生，在流形伸展或偏離笛卡爾規律最多的地方，重力感覺更強。這有時被稱為「橡皮圖板物理學」。在這裡，巨大的宇宙力使行星圍繞恆星公轉，使恆星圍繞星系公轉，這只不過是空間扭曲的一個副作用。重力實際上是幾何運動。

如果四維時空有助於解釋重力，那麼在五維中思考是否有任何科學上的解釋？為什麼不試一試呢？1919年，一位名叫西奧多·卡魯扎的波蘭年輕數學家提出了這個問題。他認為，如果愛因斯坦已經將引力吸收到了時空中，那麼，或許可以用另一個維度來解釋電磁力作為時空幾何結構的產物。因此，卡魯扎為愛因斯坦的方程增加了另一個維度，令他高興的是，他發現在五個維度中，這兩個力都很好地作為幾何模型的副產品。

數學就像魔術一樣適合，但在這個例子中，問題是額外的維度似乎與任何特定的物理質量沒有關聯。在廣義相對論中，第四維是時間，在卡魯扎的理論中，它不是任何你可以指出、看到或感覺到的東西，它只是存在於數學中。就連愛因斯坦也對這種空靈的創新望而卻步。它是什麼？在哪裡？

西奧多·卡魯扎

1926年，瑞典物理學家奧斯卡·克萊因回答這個問題的方式，讀起來就像是從仙境裡走出來的一樣。「想像一下，」他說，「你是一隻螞蟻，住在一根又長又細的軟管上。你可以沿著軟管前後跑動，卻從來沒有意識到你腳下的小圈。只有你的螞蟻物理學家用他們強大的螞蟻顯微鏡才能看到這個微小的維度。克萊因認為，在我們的四維時空中，每一點都有一個像這樣的額外空間圈，小到我們看不見。由於它比原子小很多個數量級，難怪我們至今還沒有發現它。只有擁有超強粒子加速器的物理學家才有希望看到如此微小的尺度。

一旦物理學家們從最初的震驚中恢復過來，他們就會被克萊因的想法所吸引。在20世紀40年代，克萊因的理論在數學上得到了詳盡的闡述，並被置於量子環境中。不幸的是，新維度的無窮小尺度使得人們無法想像它是如何被實驗驗證的。克萊因計算出這個小圓的直徑只有10^(-30)釐米。相比之下，氫原子的直徑是10^(-8)釐米，所以我們討論的是比最小的原子小20個數量級以上的東西。即使在今天，我們也無法看到如此微小的尺度。於是這個想法就過時了。

然而，卡魯扎並不是一個容易被嚇倒的人。他相信他的第五維度，他相信數學理論的力量，所以他決定做一個自己的實驗。他選定了遊泳作為實驗項目。卡魯扎不會遊泳，所以他盡其所能地閱讀有關遊泳的理論，當他覺得自己原則上已經吸收了水上運動時，他就陪家人去海邊，然後縱身跳進海浪裡，你瞧，他學會遊泳。在卡魯扎看來，遊泳實驗證明了理論的正確性，儘管他沒能活著看到他心愛的第五維度的勝利，但在20世紀60年代，弦理論學家們重新提出了高維空間的概念。

到20世紀60年代，物理學家已經發現了另外兩種自然力，它們都在亞原子尺度上起作用。它們被稱為弱核力和強核力，它們負責某些類型的放射性，並將夸克聚集在一起形成構成原子核的質子和中子。在1960年代末，弦理論的物理學家開始探索新的主題(假定粒子就像微小的橡皮筋振動在空間)，卡盧扎和克萊因的思想重新回到人們的意識中，理論家逐漸開始懷疑這兩個亞原子是否力也可以用時空幾何學來描述。

結果是為了包含這兩個力，我們必須在我們的數學描述中增加另外五個維度。再說一次，這些額外的維度都與我們的感官體驗無關。它們只是存在於數學中。這就涉及到了弦理論的10維。這裡有四個大尺度的時空維度(由廣義相對論描述)，外加額外的六個「緊湊」維度(一個用於電磁學，五個用於核力)，全都蜷縮在一些極其複雜、揉成一團的幾何結構中。

物理學家和數學家花費了大量的努力來理解這個微型空間可能呈現的所有可能的形狀，如果有的話，在現實世界中可以實現許多替代方案。從技術上講，這些形式被稱為卡拉比流形，它們可以存在於任何偶數個更高維度中。這些奇異的、精巧的生物構成了多維空間的抽象分類，一個二維切片會讓我們想到病毒的晶體結構，他們看起來幾乎是活的。

描述10維空間的弦理論方程有很多版本，但在20世紀90年代，普林斯頓高等研究院的數學家愛德華·維滕指出，如果我們從11維的角度來看，事情可以在某種程度上簡化。他把自己的新理論稱為M理論，但拒絕說出M代表什麼。

我們的宇宙可能只是眾多共存宇宙中的一個，每一個都是更廣闊的5D空間中的一個單獨的4D泡泡。

到目前為止，我們還沒有這些額外維度的任何證據——我們仍然處於遊泳物理學家的夢鄉，物理學家夢想著一個我們還不能到達的微型景觀——但弦理論已經被證明對數學本身有強大的影響。最近，一個有24維的理論版本的發展顯示出幾個主要的數學分支之間出乎意料的相互聯繫，這意味著，即使弦理論在物理學上沒有成功，它也將被證明是純理論洞察力的一個非常有價值的來源。在數學中，24維空間是相當特殊的——神奇的事情發生在那裡，比如以一種特別優雅的方式把球體打包在一起的能力——儘管現實世界不太可能有24維。對於我們所熱愛和生活的世界，大多數弦理論家認為10維或11維就足夠了。

弦理論的最後一個發展值得注意。1999年，麗莎蘭德爾(第一位獲得哈佛大學理論物理學終身職位的女性)和拉曼桑德拉姆(一位印裔美國粒子理論家)提出，在宇宙尺度上可能還有一個額外的維度，也就是廣義相對論所描述的尺度。根據他們的「M」理論，我們通常所說的宇宙可能嵌在一個大得多的五維空間中，是一種超級宇宙。在這個超級空間中，我們的宇宙可能只是一系列共存宇宙中的一個，每一個都是更廣闊的5D空間中的一個單獨的4D泡泡。

很難知道我們是否能夠證實蘭德爾和桑德拉姆的理論。然而，有人將這一觀點與現代天文學的起源相提並論。500年前的歐洲人發現，除了我們自己的星球之外，根本不可能想像出其他物質「世界」，但現在我們知道，宇宙中有數十億顆行星圍繞著數十億顆恆星運轉。誰知道呢，總有一天，我們的後代會發現其他數十億個宇宙存在的證據，每個宇宙都有自己獨特的時空方程。

理解空間幾何結構的項目是科學的標誌性成就之一，但物理學家們可能已經走到了這條路的盡頭。因為從某種意義上說，亞里斯多德是對的——擴展空間的概念確實存在邏輯問題。儘管相對論取得了非凡的成功，但我們知道，它對空間的描述不可能是最終的描述，因為在量子層面，它會被打破。在過去的半個世紀裡，物理學家們一直試圖將他們對宇宙尺度下的空間的理解與他們在量子尺度下的觀察統一起來，但沒有成功。而且，越來越多的人認為，這樣的綜合可能需要全新的物理學。

一些理論物理學家正在形成一種觀點，認為空間實際上可能是某種更基本的東西所產生的一種突現現象，就像溫度是由分子運動產生的宏觀性質一樣。現在的觀點認為時空不是一個起點，而是一個終點，是一個從量子信息的複雜性中浮現出來的自然結構。

甚至笛卡爾也可能會被他的視野所帶往的地方所震驚，以及「維度」這個簡單的詞所包含的令人眼花繚亂的複雜性。