【學科故事】球體積的前世今生

2021-02-13 哈爾濱市第六中學校

    球體積計算在數學史上是一個很重要的問題,尤其在古代,這個問題解決得如何,從某種意義上講,標誌著某個國家、某個民族的數學水平的高低。我們中華民族在這個方面的傑出成就,是足可引以為豪的。

    早在公元前1世紀,我國對球體積計算是通過實測來完成的,其結果引出球體積計算公式,非常簡單。用黃金分別製作一個立方寸的方塊和直徑1寸的球丸,用秤一稱,一個16兩,一個9兩,球體積計算的近似公式就出來了。直到《九章算術》成書的年代還保留著上述公式。這可以說,是我國球體積計算的第一階段:實測。

    公元3世紀,劉徽在著《九章算術》時,對這個公式提出了異議。他實際上指出了計算球體積的一條有效途徑,那就是設法求出「牟合方蓋」的體積。可惜的是,劉徽當時還沒有找到求「牟合方蓋」體積的辦法。他說:「我們來觀察立方體之內,合蓋之外這塊立體體積吧。它從上而下地逐漸瘦削,在數量上是不夠清楚的。由於它方圓混雜,各處截面寬窄極不規則,事實上沒有規範的模型可與之比較。若不尊重圖形特點而妄作判斷,恐怕有違正理。豈敢不留闕疑,街能言者來講解吧。」由此,劉徽這種不迷信前賢,實事求是的治學精神可見一斑。這是我國球體積計算的第二階段:改進「牟合方蓋」。 

    到公元6世紀,我國球體積計算進入嚴密推導的第三階段。著名數學家祖衝之的兒子祖𣈶提出「緣冪勢既同,則積不容異」的著名論斷,後人稱之為「祖𣈶原理」。

    至此,我們可以說,在球體積計算方面,劉徽的方法確實妙不可言,而祖𣈶的推導則完美無缺。而在西方,公元前3世紀阿基米德在《論球與圓柱》卷I中,曾以33個命題為準備,用窮舉法在命題34個中才得出結論。到公元前17世紀卡瓦利裡利用了與「祖𣈶原理」相同的所謂「不可分量原理」,得出了球體積的結論,只不過他所採用的形式,這也是現行中學課本中所採用的方法。同學們可以自行比較這些方法的特點。

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