給孩子講講,氣泡為何是球形的?

2021-02-18 河青小記者

 

        有人問：蒲公英為何會長成一個球形？能否用數學來解釋一下？突然想到了《神奇的數學：牛津教授給青少年的講座》中這篇講「氣泡為何是球形」的文章，現在就把這篇文章分享給大家。

        拿來一根鐵絲，並將其彎成方形。蘸一下泡沫水後就開始吹氣泡，那麼，吹出的氣泡為什麼不是立方形呢？或者把鐵絲彎成三角形，但為什麼不會吹出一個金字塔形的氣泡呢？為什麼不管把鐵絲彎成什麼形狀，最後吹出的氣泡都是一個完美球形呢？原因就在於，自然是非常懶惰的，對自然而言，球形是最容易塑造的一種形狀。氣泡試圖尋找到一種需要最少能量就能塑成的形狀，而且這種能量均勻分布在表面區域。氣泡中包含一定量的空氣，其體積並不會隨形狀的改變而改變。當空氣的數量一定量，球形是其中表面面積最小的一種形狀。因此，球形也是使用能量最少的一種形狀。

        長期以來，產品製造商們一直熱衷於模仿自然界的這種製造完美球形的能力。如果你正在製造滾珠軸承或槍枝的子彈，那麼，打造出完美球形將是一件生死攸關的事情，因為形狀上的細微偏差就會造成槍枝的逆火，或機器的損壞。1783年，當一名在布里斯托出生的水管工威廉·瓦茨意識到他能利用自然界的這種對於球形的偏愛時，對這方面的突破便發生了。

        當融化的鐵水從高塔的頂端向下墜落時，和氣泡一樣，鐵水也在下落的過程中呈現出完美的球形。於是，瓦茨設想，如果在塔底放一桶水，當鐵水接觸水面後，是否能夠把這個完美的球形凍結。他決定要在布里斯托的家中檢驗這一想法。麻煩是，他需要鐵水的墜落距離超過3層樓的高度，從而為鐵水提供足夠多的時間供其呈現出球形。

        於是，瓦茨便在他的房子頂層上又加蓋了3層，並在每一層的地板上都留出一個小洞，從而使鐵水能夠順利穿過。他本來還試圖在塔頂周圍增加一些城堡式的裝飾，為新的建築增添一種哥德式風格，但鄰居們被這個突然出現的高塔嚇倒了，使他未能如願。不過，由於瓦茨的實驗取得了空前的成功，隨後，類似的塔尖狀建築物便如雨後春筍般湧現在英美兩國的大地上。瓦茨自己的那棟建築則一直保留到1968年。

威廉·瓦茨通過對自然的巧妙利用，來製作球形滾珠軸承

        雖然自然界對球形如此偏愛，但是否存在其他奇怪的比球形還要高效的形狀呢？對此，我們要如何確定？實際上，偉大的希臘數學家阿基米德早就最先提出，在體積相同的情況下，球形的表面面積的確是最小的。為證明這一點，阿基米德開始創建一系列公式以計算球體的表面面積和體積。

        雖然計算曲面造型的體積是一項巨大挑戰，但阿基米德採用了一個巧妙的方法：將球體平切成許多薄層，然後將這些薄層近似地看做圓盤。他知道如何計算圓盤的體積，用圓盤表面面積乘以圓盤厚度即可。把每個不同尺寸的圓盤的體積疊加起來後，便可得出球體的近似體積。

球體可近似地被看做由眾多圓盤疊加而組成的

        接下來才是最巧妙的那部分。如果把這些圓盤切得越來越薄，越來越薄，一直到無限薄為止，那麼，通過上述算法便可得出該球體的準確體積。這也是數學中最早引入無限思想的例子。大約2000年後，一種類似的技巧最終成為艾薩克·牛頓和戈特弗裡德·萊布尼茨發明微積分的理論基礎。

        阿基米德進而又運用該方法算出了許多其他形狀的體積。他還發現，當把球體放在一個同等高度的圓柱管子中時，管子內的氣體體積恰好為球體體積的一半。對於這一發現，他感到由衷的驕傲和興奮，基至因此要求把圓柱體和球體刻在他的墓碑上。

        儘管阿基米德成功地找到了一種計算球體體積的表面積的方法，但他未能證實自己的設想，即球體是算然界中最高效的形狀。直到1884年，數學發展到足夠成熟的階段，這一年，德國人赫爾曼·施瓦茨才終於證實出並不存在某種神秘形狀能夠在能量效率上戰勝球體。

來源：《神奇的數學：牛津教授給青少年的講座》作者：[英]Marcus du Sautoy翻譯：程璽


 

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