世界盃馬上就要迎來最後的決戰了，由法國隊對陣克羅埃西亞隊。法國隊在1998年力克巴西拿到了世界盃冠軍，而克羅埃西亞在世界盃上的最好成績要同樣是在1998年的法國世界盃上，進入了四強。現在克羅埃西亞已經創造了歷史。
對於本屆世界盃這最後一場比賽，我們有沒有什麼辦法來預測比分呢？各大博彩公司的賠率又是如何定出來的呢？今天我們來研究一下這個問題。
特別指明：這種方法需要隊伍之間比賽結果的大量數據支持，所以在英超等聯賽中應用廣泛。但是世界盃比賽數量少，並且由於分組、淘汰等賽制，許多隊伍無法碰面，比分預測的精確度沒有英超等聯賽高。這裡只介紹數學方法，請勿以此為依據購買足球彩票。
首先，我們要計算法國隊和克羅埃西亞隊的進攻能力和防守能力。
在決賽之前，世界盃一共進行了63場比賽，不包括加時賽和點球的情況下，進球163個，場均進球2.59個。每場比賽兩個隊伍，平均每隻隊伍進球和丟球個數相同，都是1.29個。那麼，如果一個隊伍場均進球高於1.29，就說明這隻隊伍進攻能力強於平均。如果場均球丟少於1.29，就說明這隻隊伍防守能力高於平均。
到目前，法國和克羅埃西亞兩隊各進行過6場比賽，在不包括點球和加時賽的情況下，法國進球10個，場均進球1.67個。我們用法國隊的場均進球除以所有隊伍的平均場均進球，就得到法國隊的進攻係數：1.67÷1.29=1.29。意思是說：如果平均水平的隊伍打進1個球，法國對能打進1.29個球。
法國隊一共失球4個，場均0.667個。我們用法國隊場均丟球除以平均場均丟球1.29，就得到了法國隊的防禦係數0.667÷1.29=0.517。也就是說平均水平的隊伍丟一個球，法國隊只丟0.517個球。
顯然，法國隊的進攻與防守都優於平均水平。
再來看克羅埃西亞。6場比賽中克羅埃西亞進球11個，場均1.83個，失球4個，場均0.667個。因此克羅埃西亞的進攻係數1.83÷1.29=1.42，防禦係數0.667÷1.29=0.517。
場均進球
進攻係數
場均丟球
防禦係數
法國
1.67
1.29
0.667
0.517
克羅埃西亞
1.83
1.42
0.667
0.517
也就是說：但從以往比賽的數據看，克羅埃西亞的進攻能力優於法國，防守能力與法國相同，克羅埃西亞獲得冠軍的可能性更大。
那麼，我們如何預測法國對戰克羅埃西亞時兩隊的平均進球呢？
我們看：每場比賽法國的平均進球是1.67個。如果在這場比賽中法國正常發揮、對手也是平均水平，那麼法國就應該進1.67個球。但是克羅埃西亞的防守能力高於平均水平，平均水平隊伍丟一個球，克羅埃西亞只丟0.517個球。所以法國對平均隊伍踢進1.67個球，對戰克羅埃西亞時只能踢進1.67×0.517=0.863個球。
反過來說，克羅埃西亞每場平均進球1.83個，法國防禦係數0.517，所以克羅埃西亞隊本場平均進球就是1.83×0.517=0.946個球。
顯然，法國不可能進0.863個球，克羅埃西亞也不可能進0.946個球，因為進球個數只能是整數個的0、1、2、3…。如何計算各個比分的概率呢？我們需要使用泊松分布的數學工具。
泊松分布是一種統計與概率學裡常見到的離散概率分布，由法國數學家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年時發表。它表示一個特定事件在某段時間內發生的概率。比如一段時間內汽車站候車人數的概率分布，自然災害發生的概率分布等。
如果一件事在特定時間內發生率為λ，那麼在這段時間內這件事發生k次的概率為
其中e是自然對數的底2.71828….，k！稱為k的階乘，例如3！=1×2×3=6。
用在本例中，認為比賽進球就類似於在公交車站候車的人數，具有一定的隨機性。90分鐘，法國隊打進克羅埃西亞球門的平均個數為λ=0.863個球，因此，於是我們可以計算出進球個數和相應的概率：
反過來，克羅埃西亞打破法國的球門λ=0.946，於是我們可以計算出進球個數和相應概率：
這樣一來，我們就可以計算出兩隊的比分和相應概率了。我們認為法國攻破克羅埃西亞球門和克羅埃西亞攻破法國球門相互獨立，那麼每個比分就是兩隊相應概率的乘積。例如0：0的概率就是42.19%×38.83%=16.38%。這樣我們可以列出表格：
克羅埃西亞0
克羅埃西亞1
克羅埃西亞2
克羅埃西亞3
法國0
16.38%
15.50%
7.33%
2.31%
法國1
14.14%
13.37%
6.32%
2%
法國2
6.1%
5.77%
2.73%
0.86%
法國3
1.76%
1.66%
0.79%
0.25%
雙方進球數4個或以上概率很小，我們暫且忽略不計，那麼各個比分的概率就如上面所示。我們會發現，最有可能的比分是0：0，概率有16.4%，其次是0：1克羅埃西亞獲勝，概率15.5%，再次是1：0法國獲勝，概率是14.14%。
我們把各種比分的概率相加，就可以得到90分鐘內的勝負結果：
綜上，克羅埃西亞獲勝概率最大，但是雙方勝負平的概率非常接近，最後具體是哪種情況並不好確定。
我們知道，一個賽果出現的概率越高，賠率就越低，出現的概率越低，賠率就越高。比如這場比賽，勝負平的賠率是：
關於賠率我們要這樣理解：假如我們希望無論比賽結果如何，都可以拿回100元，那麼我們就需要這樣下註：
在法國獲勝上下註：100÷1.62=61.73元。
在平局下注100÷3.15=31.75元。
在克羅埃西亞獲勝上下註：100÷4.45=22.47元。
這樣，無論比賽結果如何，我們都可以拿回100元。但是下注金額是116元，於是博彩公司會拿走16元的抽水。
由於賠率會隨著彩民購買的結果發生變化，所以賠率基本反應了彩民對幾種結果概率的判斷。大家看，在116元彩金中，有61.73元買了法國獲勝，因此市場預期法國獲勝的概率為61.73÷116=53.2%。同樣我們可以列出表格
法國勝
平局
克羅埃西亞勝
購買彩金
61.73
31.75
22.47
市場概率
53.2%
27.4%
19.4%
計算概率
31%
33%
35%
顯然，市場預期與我們的計算不同。相比於我們的計算，市場高估了法國獲勝的概率大約20%，低估了平局的概率大約6%，低估了克羅埃西亞獲勝的概率大約16%。
有的小朋友喜歡買波膽，就是直接買比分，因為這樣一旦獲勝賠率非常高。比如決賽的波膽：
我們看，買法國3：0獲勝賠率14倍，但是按照我們的計算這種情況概率只有1.76%，如果買100元，有1.76%的可能性會拿回1400元，期望返還資金：1400×1.76%=24.64元，平均虧75元。在比如買3：3平，賠率75倍，但是概率只有0.25%，於是期望返還資金7500×0.25%=18.75元，平均虧81元。所以，買波膽，虧得更多。
再強調一遍，由於世界盃比賽賽制，決定了泊松分布的預測方法並不能非常準確的反應比賽結果。我看好克羅埃西亞隊，他們是和俄羅斯人一樣屬於斯拉夫民族，他們是戰鬥民族。
李老師直播課堂2018暑假課表已發布 三位名師帶你學好數理化
李永樂老師：北京大學物理與經濟雙學士，清華大學電子工程碩士；北京市中學物理教師/物理競賽教練。從教十年，培養清華北大學生200餘人，國際奧賽、亞洲奧賽、國家奧賽金牌十餘名。
掃二維碼，關注公眾號
↙↙↙點擊下方「閱讀原文」，進入李老師直播課網站。