反比例函數是繼一次函數後又一種比較重要的函數，並且對圖像的把握要求更高，我們經常會通過數形結合的方法來解決相關的題目。我們要全面了解反比例函數的相關概念並把握其性質。
反比例函數是刻畫現實世界的一種有效的數學模型。
反比例函數的定義、圖像與性質
1、形如y=k/x（k是常數且k≠0）的函數叫做反比例函數。
由反比例函數的表達式y=k/x（k≠0）可以看出自變量x≠0，又因為k≠0，所以y≠0。
2、反比例函數圖像
①反比例函數y=k/x（k≠0），它的圖像是雙曲線，因為x≠0、y≠0，所以該圖像與坐標軸無交點，即反比例函數圖像無限逼近坐標軸但與坐標軸永遠不會有交點。
②當k>0時，雙曲線的兩支圖像分別位於一、三象限，且在各自的象限裡，y隨著x的增大而減小；當k<0時，雙曲線的兩支圖像分別位於二四象限，且在各自的象限裡，y隨著x的增大而增大。
所以研究、討論函數的增減性時，應在各自所在的象限內進行。
3、反比例函數圖像的特點與性質
①反比例函數既是軸對稱又是中心對稱，直線y=±x是它的兩條對稱軸，原點是它的對稱中心。
②因為反比例函數的圖像關於原點對稱，若P（a，b）在雙曲線上的一支上，則點（-a，-b）在雙曲線的另一支上；又因為反比例函數的圖像關於直線y=±x對稱，若P（a，b）在雙曲線的一支上，則點（b，a）和（-b，-a）在雙曲線的另一支上。
丨MN丨=2√丨2k丨。
反比例函數比例係數k的幾何意義：
若在反比例函數y=k/x（k是常數且k≠0）上任取一點p（x，y），過P點分別向x軸、y軸作垂線PM、PN交兩坐標軸於M、N點，則矩形PMON的面積為定值S=丨k丨，與P點的位置無關。
由圖可知該矩形的長為丨x丨，寬為丨y丨，所以矩形的面積為S=|x||y|=丨k丨。
所以該矩形面積為定值丨k丨，與P點在反比例函數圖像上的位置無關。
2、在反比例函數y=k/x（k是常數且k≠0）上任取一點P（m、n），並作P點關於原點的對稱點P'點，過P點作x軸（y軸）的垂線，過點P'作y軸（x軸）的垂線，並交於點A，則△PAP'的面積S=2丨k丨。
因為P為反比例函數y=k/x上一點，所以mn=k，由圖易得Rt△PAP'的底為：
丨m-（-m）丨=丨2m丨，
高為：丨n-（-n）丨=丨2n丨，
所以△PAP'的面積：
S=1/2丨2m丨丨2n丨
=2丨mn丨
=2丨k丨。
所以△PAP'的面積與P點在反比例函數圖像上的位置無關，它是一個定值2丨k丨。