謝爾平斯基墊片是在20世紀早期出現的一種「小玩意兒」，當時，它有一個相當難聽的名字——「病態曲線」。這種曲線包括黑爾格·馮·科赫的雪花曲線（圖1左），以及朱塞佩·皮亞諾和大衛·希爾伯特的一些空間填充曲線（圖1右）。
圖1: （左）雪花曲線。（右）構造希爾伯特的空間填充曲線的各個階段那時候，構造這類曲線是一種業餘愛好，它們是那些「看似是真、但實則是假」的命題的反例。雪花曲線是連續的，卻沒有地方是可導的，也就是說，它雖然沒有斷開，但處處不光滑。曲線的長度無限，但又在有限區域內。空間填充曲線不僅非常稠密，而且的確可以填滿空間。當構造無限繼續下去時，得到的曲線會經過實心正方形裡的每個點。
有些保守的數學家嘲笑這些曲線有點「弱智」。希爾伯特是當年為數不多的有先見之明的數學家。他意識到，曲線能幫助數學變得更縝密，在闡明數學的邏輯基礎方面也非常重要。所以，希爾伯特熱情地支持認真對待這些怪異性質的人。
如今，數學家們會從更積極的角度來看待這些曲線：它們是一個嶄新數學領域的早期雛形，而這一領域就是由曼德博在20世紀70年代開闢的分形幾何。病態曲線誕生於純數學，但曼德博意識到，類似的形狀可以解釋自然界中的不規則性。他指出，三角形、正方形、圓形、圓錐體、圓球體，以及其他歐氏幾何裡的傳統形狀都沒有精細的結構。如果你放大一個圓形，它就像一條平淡無奇的直線。然而，自然界的許多形狀在精細尺度下都有著錯綜複雜的結構。曼德博寫道：
「雲不是球體，山不是錐體，海岸線是不規則的圓形，樹皮並不光滑，就連閃電也不是走直線的。」
他並沒有宣稱歐幾裡得形狀是無用的。這些形狀在科學領域起著重要作用。例如，行星基本上算是球體，早期的天文學家們認為，這是一個很有用的近似。如果把球體壓扁成橢球體，則會是更好的近似，不過它依然是一種簡單的歐幾裡得形狀。但在某些情況下，簡單的形狀就不那麼有用了。樹有許多越來越細的枝杈，雲是柔軟的團團，山體參差不齊，而海岸線則犬牙交錯。想要從數學上理解這些形狀，並解決關於它們的科學問題，需要一種新的方法。
讓我們先來看看海岸線。曼德博注意到，不管比例尺的大小，海岸線在地圖上看起來幾乎相同。大比例尺的地圖能展現出更多細節：海岸線有額外的曲折，但粗看起來，它和小比例尺的地圖上畫得頗為相像——海岸線的精確形狀雖然變了，但「紋理」幾乎一樣。事實上，不管地圖的比例尺有多大，海岸線的多數統計特徵，如給定相對大小的海灣所佔的比例，都是一樣的。
曼德博引進了詞語「分形」來描述那些不管怎樣放大，總存在複雜結構的圖形。如果小尺度下的結構和大尺度的相同，那麼這種分形就是自相似的。如果只有統計特徵相同，那麼它們就是統計自相似的。最容易理解的就是那些自相似的分形。謝爾平斯基墊片就是一例。它由「三份自己」組成，同時每份的大小減半（圖2）。
圖2: 謝爾平斯基墊片
雪花曲線是另一個例子。它可以由圖3右側所示的曲線複製三份後構成。這個構件（儘管不是完整的雪花）是精確自相似的。構造的各個階段是將上一階段的結果複製4份後拼在一起，並且每份的尺寸是原來的三分之一（圖4）。
圖3: 構造雪花曲線的各個階段
圖4: 曲線的每四分之一段，放大3倍後看起來和原先的一樣。
這個形狀太有規律了，不能代表真正的海岸線，但其曲折程度大致恰當。不規則曲線的構造方法與之類似，只是伴隨著隨機的變化，它們看起來更像真正的海岸線。
分形廣泛存在於自然界中，準確地說，可以用分形來模型化的形狀在自然界很普遍。現實世界中並不存在數學對象，數學對象都只是概念。有一種被稱為寶塔西蘭花的花椰菜是由很小的花球組成的，每個花球都與整棵花椰菜的形狀相同（圖5）。從礦物的精細結構到宇宙的物質分布，都有分形的影子。手機天線、在CD和DVD裡存儲大量數據，以及診斷癌細胞，也都用到了分形。新的分形應用領域層出不窮。
圖5：寶塔西蘭花
分形到底有多曲折，或者說，它填充空間的效率怎樣，都可以由分形維度來表示。為了理解這種維度，我們首先考慮一些簡單的非分形形狀。
如果把一段線段分成1/5大小的小線段，那麼我們需要5段小線段才能重新構成原來的線段。假如對正方形做類似操作，我們需要25個小正方形，即52，而立方體則需要125個，即53（圖6）。
圖6：在一維、二維、三維中，「立方體」在比例方面的不同效果。5的指數與形狀的維度相等：線段的指數是1，正方形的指數是2，立方體的指數是3。如果維度是d，那麼就必須得有k份大小為1/n的形狀才能拼出原先的形狀，其中 k=nd。兩邊取對數後，得到d的公式
d=lgk/lgn
讓我們用這個公式來計算一下謝爾平斯基墊片。如果用較小的副本來構造墊片，我們需要 k=3 份墊片，每份大小為1/2。因此，n=2，於是我們得到公式
d=lg3/lg2
d約等於1.5849。因此在這種情況下，謝爾平斯基墊片的維度不是一個整數。
當我們用傳統方法來思考維度時，作為有效的獨立方向數量，維度一定是一個整數。但在分形裡，我們試著用維度來衡量分形有多麼不規則、多麼複雜，或用它來評估分形佔用周遭空間的情況（而不是指向多少個獨立方向）。謝爾平斯基墊片明顯比線段稠密，但比實心正方形稀疏。因此，我們想要的值應該介於1（線段的維度）和2（正方形的維度）之間。尤其，這一維度不能是一個整數。
我們用同樣的方法，也能計算出雪花曲線的分形維度。如前所述，因為雪花曲線是自相似的，所以我們更容易處理三分之一的雪花曲線，即三條一模一樣的「邊」之一。如果用較小的副本構造雪花曲線的一條邊，我們需要 k=4 份副本，每份大小為1/3，因此n=3。於是得到公式
d=lg4/lg3
d約等於1.2618。這個分形維度也不是整數，但同樣講得通。雪花顯然比線段曲折，但它的空間填充情況不如實心正方形。我們需要的維度值還是應該介於1和2之間，因此1.2618很有道理。
維度是1.2618的曲線比維度是1的曲線（如一條直線）更曲折，但它不如維度是1.5849的曲線（如謝爾平斯基墊片）曲折。大多數實際的海岸線的分形維度約等於1.25——相較於謝爾平斯基墊片而言，它們更像雪花曲線。因此，分形的維度和我們對「哪種分形能更好地填充空間」的直覺是一致的。它也為實驗主義者提供了一種定量方法，來檢驗基於分形的理論。例如，菸灰的分形維度大約是1.8，因此，儘管菸灰堆積物的分形樣式有很多，但可以通過觀測它們是否符合這個數來檢驗。
當分形不是自相似時，還有許多不同的方法可以定義分形的維度。比如，數學家們用「豪斯多夫–貝西科維奇維度」，這是一種相當複雜的定義。物理學家們常用「盒維度」，其定義相對簡單。在很多情況下，這兩種維度的部分記法是一樣的。前面提到的分形是曲線，但分形也可以是面、體或更高維的形狀。在這種情況下，分形的維度用于衡量分形有多麼「粗糙」，或評估填充空間的效率。
上面兩個分形的維度都是無理數。我們假設 lg3/lg2=p/q，且其中p和q是整數，那麼qlg3=plg2，於是lg3q = lg2p，因此有 3q = 2p。但這一結果與質數分解的唯一性矛盾了。lg4/lg3也可以用類似的方法證明。像這樣的基本事實，居然出現在如此意想不到的地方，不是很有趣嗎？
在所有分形裡，最著名的也許要算是曼德博集了。它描繪了如果對一個複數平方，再加上一個常數，並反覆地運算後，會發生什麼。也就是說，選取一個復常數c，然後計算c2+c，接著計算(c2+c)2+c，再計算((c2+c)2+c)2+c，以此類推。當然，還有一些別的方法可以定義該集合，但這是最簡單的一種。
從幾何上說，複數在一個平面上，它擴展了常規的實數軸。對上面提到的數列裡的所有複數而言，最多有兩種可能：要麼所有複數都留在某個有限的複平面區域內，要麼不是這樣。接下來，將數列留在某個複平面區域內的c染上黑色，而把數列發散到無窮的c染上白色。於是，所有黑點構成的集合就是曼德博集（圖7）。
圖7: 曼德博集
曼德博集的邊界，即那些與黑點和白點都任意接近的邊緣上的點，也是一種分形。它的分形維度大約是2，因此它「幾乎可填」。
為了看清更多細節，我們可以根據數列發散到無窮的速度，為白點重新著色。於是，我們得到了一個非常複雜的圖形，它充滿了花飾、螺線和其他形狀。如果放大圖片，就會出現越來越多的細節。觀察下邊，你甚至可以發現一個完整的曼德博子集（圖8）。
圖8: 曼德博子集
像這樣的曼德博集看起來不會有什麼重要的應用，但它是基於複數的最簡單的非線性動力系統之一，因此，它引起了許多數學家的注意，他們想從中尋找具有更廣泛適用性的一般性原則。曼德博集還證明了一個重要的「哲學」觀點：簡單的規則會導致複雜的結果，也就是說，簡單的原因會產生複雜的影響。
試著去理解一個非常複雜的系統，並期望它所遵循的規則也同樣複雜，這是一件很誘人的事。然而，曼德博集證明了這種期望可能會落空。這個觀點催生了整個「複雜性科學」領域，這一全新領域試圖通過尋找更簡單的規則，去處理由這些規則驅動著的顯然很複雜的系統。
伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart），數學家，英國皇家學會會員，曾獲英國皇家學會的「法拉第獎章」。他著有多部優秀的暢銷數學科普作品，如《改變世界的十七個方程》《數學萬花筒》系列等。