範 卿 郭紀梅 曾 楊 任會禮
0 概 述隨著吊裝設備的大型化、重型化以及吊裝距離的增加，吊裝難度越來越大，吊裝方式更加複雜。為了能夠適應更加複雜的工作環境、安全高效地制定吊裝方案，各種三維虛擬吊裝仿真系統應運而生，如國內的三維吊裝仿真系統以及國外的3D Lift Plan、Lift Planner 以及KranXpert 等。
臂架撓度形變包括變幅平面內的撓度和迴轉平面內的撓度，是起重機尤其是大噸位箱形臂結構的起重機在吊裝作業過程中難以克服的問題。因此，在吊裝規劃及仿真系統中考慮臂架撓度因素的影響具有十分重要的現實意義。
然而，目前的吊裝仿真系統均將起重機臂架作為剛體考慮，未考慮撓度形變對起重機吊裝運動的影響，更沒有將臂架的撓度形變通過三維模擬進行直觀地展示。因此，通過這些仿真系統得到的吊裝運動方案可參考性不強，實際指導意義不大，甚至出現錯誤指導的情況，嚴重影響這些現有技術的實用性，以及吊裝作業的安全性。
究其原因，在吊裝仿真領域實現較準確的臂端撓度實時計算難度較大。目前，實現撓度主要有兩種方法：1）根據經典力學理論，從撓曲線微分方程出發，利用有限差分法或放大係數法求解起重機箱形伸縮臂的撓度和彎矩；2）通過建立臂架有限元模型，通過Ansys 等工具軟體，分析臂架撓度變形情況。經典的力學公式計算雖然易於計算機編碼，但公式中很多參數難以獲取，且由於有很多假設條件，計算精度偏低； 有限元分析方法雖然可模擬起重機的全部工況，但精度依賴於有限元模型，需多次迭代，耗時長。因此，這兩種方法均不適用於在吊裝方案規劃系統中實現吊臂臂端撓度實時仿真分析和撓度形變顯示。
為此，本文提出一種通過多維插值實時計算撓度以及基於擬合曲線的起重機臂架撓度形變顯示方案，能夠實時地進行臂架撓度形變的動態計算和三維模擬，使吊裝仿真過程更加符合實際工況，從而能在一定程度上提前規避由於撓度形變所導致的安全性問題。
1 臂架形變測量快速及較準確的臂端撓度實時計算是實現三維虛擬吊裝仿真系統的必備關鍵技術，它對空間碰撞檢測、起重機接地比壓計算以及規劃可行吊裝路徑有著非常重大影響。因此，如何精確、便捷的測量臂架撓度對確保起重機設計性能和起重安全具有重要意義。
目前，對於臂架撓度的測量（包括旁彎測量）主要有如下幾種：1）手動測量 在吊鉤處懸掛鋼絲，通過鋼尺測量出鋼絲距迴轉中心的水平距離，並與沒有撓度時的工作幅度對比，從而得到臂架撓度。鋼絲懸掛測量受風動影響很大，且人工讀數的方式誤差較大，測量結果精度較低。該方式僅能測試起重機特定工況、特定吊重、特定姿態下的臂架撓度值。測量點很多時，測試人員勞動強度較大、誤差較大，也不適用於動態測量。
2）光束檢測法測量 在臂架兩端分別安裝發射和接收光束設備，一般為雷射儀和目標靶，通過發射和接受光束的位置差計算得到臂架下撓度和旁彎度。光束檢測方式的安裝比較複雜，且如果雷射束被遮擋，不能正常發射至目標靶或反射到探測器上，則不能保證測量精度。
3）基於圖像處理的測量 通過至少2 臺相機對臂架標記點實時拍攝，採用圖像處理方法對圖片進行拼接和濾波跟蹤，並得到拼接後圖像中各標記點的三維坐標，進而計算得到臂架擾度。該方式對測試設備（相機）的要求較高、對相機安裝位置的要求也很高。此外，數據採集熟讀及精度依賴於圖像處理算法，圖像處理及軟體開發的難度較大（見圖1）。
圖1 臂架形變
本文提出的一種新的起重機臂架撓度測量系統採用高精GPS 技術，分別在臂架測量位置及起重機基本臂根部安裝高精GPS 移動站和高精GPS 基準站。測量系統的結構圖如圖2 所示。
圖2 臂架撓度測量系統結構圖
高精GPS 移動站安裝在臂架的對應測點上，其安裝數目由測點數決定。為了獲得較精確的吊臂臂端下撓度與旁彎度，至少需要安裝2 臺高精GPS 移動站，其中高精GPS 移動站1 安裝在起重機基本臂背板的測點B 處（測點B 位於起重機基本臂根鉸點與變幅液壓缸－臂架鉸點之間，且在起重機基本臂的中心線上）；高精GPS 移動站2 安裝在吊臂末端的C 測點處。
高精GPS 基準站安裝在起重機基本臂根部，且將該處作為參考測點A。高精GPS 基準站將差分GPS 改正數通過內置無線電臺發送給高精GPS 移動站1 和高精GPS 移動站2，然後高精GPS 移動站1 和高精GPS移動站2 又將修正後的測點B 和測點C 相對於參考測點A 的精確三維坐標，通過無線電臺傳輸給高精GPS基準站。
微機處理系統由顯示器、單片機、採集卡等組成，並帶串口、CAN 口、乙太網接口。微機處理系統安裝在起重機操作室，一方面與高精GPS 基準站連接，實時採集測點A、B 、C 的三維坐標；另一方面，接入起重機總線網絡，採集幅角與臂長數據。微機處理系統根據上述測量數據，自動計算吊臂臂端下撓度與旁彎度，並實時輸出在顯示器上。此外，也可通過微機處理系統自帶的串口、CAN 口、乙太網接口，將吊臂臂端下撓度與旁彎度數據實時輸出給其他終端。
（a）迴轉平面撓度 （b）變幅平面撓度圖3 臂架撓度測量示意圖
如圖3 所示，假定某一時刻微機處理系統採集到的測點A、B 、C 的三維坐標分別為：A（x A，y A，z A）、B（x B，y B，z B）、C （x C，y C，z C），起重機幅角與吊臂長分別為α 和L 1。臂架撓度形變應考慮變幅平面內撓度和迴轉平面內撓度（旁彎度）。
1）變幅平面內撓度根據測量的三維坐標值，計算得到此時吊臂末端距基本臂根部的水平距離和高度分別為
而通過三角函數關係，計算出未發生撓度形變時吊臂末端距基本臂根部的水平距離R 和高度H 分別為
通過對比R 、H 與R 、H，即可得到臂架末端變幅平面內水平方向和高度方向的撓度值分別為
2）迴轉平面內撓度（旁彎度）測點B 位於起重機基本臂根鉸點與變幅液壓缸－臂架鉸點之間，且在起重機基本臂的中心線上。由於來自變幅液壓缸的力矩作用，可視為起重機吊臂上測點A至測點B 的吊臂段未發生旁彎，或旁彎度可忽略不計。因此，在迴轉平面內，吊臂末端測點C 與測點A、B 所在直線的距離即為此時的臂架旁彎度。由測點A、B 的坐標可得迴轉平面內直線AB 的方程為
因此，可計算得到測點C 距直線AB 的距離為
故，此時臂架末端的旁彎度 f =d 旁彎。本文中採用高精GPS 技術進行起重機臂架撓度測點定位，可以進行動態的連續測量，觀測時間短且，進行連續的動態測量，使選點工作更加靈活。定位精度高，誤差可小於1 mm。
2 基於多維插值的臂架形變計算由於起重機臂架撓度測量是離散的，受限於測試條件，無法測試起重機臂架在任意起升、變幅角度以及任意吊重下的撓度形變值，故需要對測量值進行插值計算。本論文提出一種在吊裝仿真系統中實現臂端撓度值實時計算的多維插值方法，獲取任意幅度和起重量下的水平方向和高度方向撓度值，指導吊裝方案的制定。該方法的具體實現步驟為：
1）數據樣本的選擇在起重機某一固定工況下，臂端撓度值隨工作幅度和起重量的變化而變化，而工作幅度和起重量的變化又必須在起重機性能表規定的變化範圍內，故當選擇插值數據樣本時，也以性能表為參考製作插值數據表。以QAY500 型起重機為例，起重性能表的形式如表1 所示，綠色部分的一列代表一個工況。下面將以此表為例，具體說明如何製作插值數據表。
以飄紅的工況為例，其工作幅度的範圍是確定的，為16 ～ 46 m，且工作幅度為16 m 時對應的起重量範圍最廣，為0 ～ 23.1 t。隨著工作幅度的增加，起重量範圍逐步縮小，當工作幅度為46 m 時，對應的起重量為0 ～ 13 t。為了在較少樣本容量的基礎上儘量精確地插值求解出任意幅度和起重量下的水平和高度方向撓度值，原始數據樣本中必須存在最小幅度最大起重量、最大幅度最小起重量、最小幅度最小起重量、最大幅度最大起重量處的水平和高度方向撓度值。為了通過插值較為精確地獲得18 m 幅度下起重量為5 t 時水平/ 高度方向撓度值，原始樣本中必須有18 m 幅度下起重量小於或等於5 t 所對應的水平/ 高度方向撓度值。因此，必須增加最大幅度最小起重量、最小幅度最小起重量處的水平和高度方向撓度值作為原始樣本數據，增加原則為
式中：ΔT 為增量；T Q 為最大幅度處對應的最大起重量；n 為起重量數據點數目，建議為3。因此，還需要增加n 個起重量數據點，分別為
根據上述原則，以QAY500 型起重機為例，表1 中飄紅的工況需要的插值數據如表2 所示，表中紅色部分為插值所需提供的樣本數據—水平方向或高度方向撓度值。
2）插值算法以表2 中提供的樣本數據，插值求解高度方向撓度值過程為：在吊裝仿真系統中，起重機在起吊點的初始工作幅度是已知的，假定為R 起。在變幅運動過程中，起重機臂端撓度不斷變化。假定變幅步長為Δr （趴杆為正，抬臂為負），經過n 個變幅步長之後，當前的幅長為
該插值計算方法便於編程實現，滿足吊裝仿真系統中對臂端撓度計算實時性的要求；適用於起重機所有的工況類型，且以實測原始數據為基礎，精度較高。
圖4 雙線性網格節點二維插值
3 吊裝規劃系統中形變模擬在吊裝規劃及仿真系統中，由於目前的吊裝仿真系統均將起重機臂架作剛體考慮，未考慮撓度形變對起重機吊裝性能（如起吊能力、工作幅度、起重力矩百分比等性能指標）及仿真運動的影響，更未將臂架的撓度形變通過三維模擬進行直觀地展示，導致制定的吊裝指導方案與實際吊裝作業情況差別較大。因此，通過這些仿真系統得到的吊裝運動方案可參考性不強，實際指導意義不大。
本文提出一種基於擬合曲線的起重機臂架撓度形變顯示方案，能夠實時地進行臂架撓度形變的三維模擬。
1）建立吊臂三維模型以某型全地面起重機為例，其7 節吊臂均採用橢圓形截面，如圖5a 所示。為了在吊裝仿真過程中快速跟蹤撓度擬合曲線，這裡將吊臂進行近似處理。從圖5a可以看出，橢圓形截面分為長軸和短軸，故將吊臂截面近似成長方形，即橢圓形截面的長軸為長方形的長，短軸為長方形的寬。經過截面的近似處理，B02 全地面起重機的7 節吊臂可分別等效成7 個長方體。以基本臂為例，根據吊臂的實際尺寸信息，得出吊臂三維等效模型如圖5b 所示。
（a）吊臂截面圖 （b）基本臂的三維模型圖5 起重機吊臂截面及模型
2）基於專家經驗的吊臂分段策略為了更加平滑地跟蹤撓度擬合曲線，必須將各節吊臂的長方體模型進一步細分成若干段長方體，還要兼顧模型的渲染速度與畫面效果。因此，如何劃分各節吊臂的段數就成為臂架撓度顯示非常關鍵的一環。本文以基本臂三維模型為例，來說明吊臂的分段策略。
根據專家經驗，當吊臂的分段數使每一個長方體分段平均承擔該節吊臂最大撓度形變比的大約1/100 時，就能很好地協調模型渲染速度和撓度形變的平滑。則基本臂的分段數n 0 滿足
式中：l 0 為基本臂的長度，l 0_max 為基本臂末端在的最大撓度值。
根據分段策略，將該起重機的吊臂共分為n 段長方體模型，其中基本臂分為n 0 段，第1 節伸縮臂分為n 1段，第2 節伸縮臂分為n 2 段，第3 節伸縮臂分為n 3 段，第4 節伸縮臂分為n 4 段，第5 節伸縮臂分為n 5 段，第6 節伸縮臂分為n 6 段。
採用基於擬合曲線的吊臂撓度動態模擬法，即在吊裝仿真過程中，建立以起重機迴轉中心為原點的三維空間坐標系，如圖6 所示。將B 02 吊臂中每段長方體模型的中心點坐標依次記為Q1（x 1, y 1, z 1）、Q2（x 2, y 2,z 2）、……、Qn（xn , yn , zn），則連接各個中心點構成中軸線l，使l 儘量逼近此時的撓度擬合曲線，就實現了吊臂的撓度顯示。
圖6 起重機吊臂三維空間坐標系
假定某一時刻起重機的變幅角度為α ，迴轉角度為β ，總臂長為L ，6 節伸縮臂的伸出量分別為l1、l2、l3、l4、l5、l6，吊重值為T 。則有基本臂中每段的長度為
同理，其他6 節伸縮臂中每段的長度分別為
若點Qt（xt , yt , zt）（1 ≤t ≤n ）是某個分段長方體的中心點，則該點處的臂長L Q 可計算為
根據臂長L Q、變幅角度為α 、吊重值為T ，查詢撓度擬合曲線即可以獲得點Qt 處的撓度形變值Δy 和幅度值R Q，則點Qt 經過撓度形變之後的Y 坐標為
點Qt 的X 坐標與Z 坐標表示如圖7 所示。在圖中，假定點Qt 經過撓度形變之後在XZ 平面內的投影為Qt，則點Qt 經過撓度形變之後的X 坐標與Z 坐標分別為
在吊裝仿真運動過程中，根據撓度擬合曲線，按照上述方法實時計算起重機各分段長方體模型中心點坐標，並以此構造起重機臂架各分段長方體模型，即可實現起重機臂架撓度的動態顯示。
圖7 起重機臂架各點撓度坐標表示示意圖
4 結論本文設計了一種通過高精GPS 進行起重機臂架撓度測量，再通過多維插值實時計算撓度以及基於擬合曲線的起重機臂架撓度形變顯示方案，能夠實時地進行臂架撓度形變的動態計算和三維模擬，解決當前吊裝仿真過程中無法實時計算撓度，以及在三維系統中仿真模擬臂架形變的問題，使吊裝仿真系統更加貼近真實情況，吊裝規劃結果更加準確、可靠。