1.梅西在2018年俄羅斯世界盃阿根廷隊vs冰島隊一戰中罰丟點球
北京時間6月16日晚，2018年俄羅斯世界盃D組展開首輪爭奪。在莫斯科的斯巴達克體育場，阿根廷隊與冰島隊1-1握手言和。第19分鐘，阿圭羅轉身抽射打破僵局，但僅僅過了4分15秒便由芬博加松破門扳平比分。第64分鐘，梅西主罰點球被封出，阿根廷痛失首戰取勝的機會。
6月22日，D組第二輪的比賽中，阿根廷0:3不敵克羅埃西亞。兩戰僅積1分。小組出線形勢危急。這讓阿根廷隊的擁躉對梅西在首戰中罰丟點球這一事實感到更加痛惜。梅西兩戰零進球並罰丟點球，C羅兩戰取得4個進球，這也讓梅西的粉絲在C羅的粉絲面前抬不起頭來（就本屆世界盃截至目前的比賽而言）。
據統計，梅西在巴薩和阿根廷隊操刀主罰的近7個點球僅打進其中的3個，而其職業生涯共主罰的79個點球已經罰丟了24個。那麼，貴為5座金球獎得主的球王梅西為何會罰丟點球呢？
2.罰點球中的博弈論——混合戰略納什均衡
假定你是足球隊的指定點球手。每次你走向罰球點時，你都需要做一個重要決策：踢向網的左邊還是右邊（為了簡單起見，忽略踢向中間或高球或低平球的選項）。你在做決策時需要守門員的激勵。守門員將力圖預測你的行為，決定撲向左邊還是右邊。如果他撲向了你罰點球的方向，那他很有可能將球撲出；如果他撲錯了方向，那你就很可能取得進球。再次地，為了簡單起見，假定守門員撲的方向正確就一定能撲出點球，不正確就會失球。
如果你們倆都選擇左邊或者都選擇右邊，那守門員會撲出點球，守門員得到的支付（payoff）為1，而你的支付為-1。如果守門員撲向了與你所罰點球的不同方向，那麼，你進球了，你的支付為1，守門員的支付為-1。支付矩陣如下表所示：
守門員
左 右 左 -1，1（點球被撲出） 1，-1（點球罰進）
點球手
右 1，-1（點球罰進） -1，1 （點球被撲出）
如果點球手罰向左邊，守門員的最優應對是撲向左邊；如果守門員撲向左邊，點球手的最優應對是罰向右邊；如果點球手罰向右邊，守門員的最優應對是撲向右邊；如果守門員撲向右邊，點球手的最優應對是罰向左邊。你會發現，（左，左）、（左、右）、（右、左）、（右，右）都不會是均衡：給定一方的選擇，另一方有激勵改變他的選擇。
玩過「石頭-剪刀-布」遊戲的人都知道，你應該隨機選擇出石頭、剪刀或布，石頭、剪刀和布的概率大致相同。你的直覺會告訴你，罰點球的博弈中，點球手應該隨機選擇罰向左邊還是右邊，罰向左邊和右邊的概率相同。守門員應該隨機選擇撲向左邊還是右邊，撲向左邊和右邊的概率相同。用博弈論的術語來說，你所採用的是混合戰略。所謂混合戰略（mixed strategy），是指根據預先決定的概率隨機選擇不同的行動。混合戰略的實質如下：你應該在每次罰點球前私下地通過拋硬幣來決定你罰點球的方向。正面朝上就踢向右邊，反面朝上就踢向左邊；或者反之。
經濟學家Pierre-Andre Chiappori、Steven D. Levitt、Timothy Groseclose於2002年發表在American Economic Review上的一篇論文（TestingMixed-Strategy Equilibria When Players Are Heterogeneous: The Case of PenaltyKicks in Soccer）分析了某3年中法國和義大利頂級足球聯賽中的所有點球——459個。他們把點球手和守門員的選擇劃分成三個戰略：左、右和中。雖然這比上面只有左和右兩個戰略的例子複雜了一點，但這個博弈的混合戰略納什均衡的邏輯是相同的：點球手和守門員都應該隨機選擇。這三個經濟學家在實際數據中發現點球手和守門員看起來幾乎完美地隨機選擇他們的方向。這是博弈論的勝利！
3.混合戰略納什均衡的性質
在給出混合戰略納什均衡的性質之前，有必要再次指明這一事實：混合戰略只不過是多個純戰略上的概率分布，即以預先決定的概率選擇不同的純戰略。另外，還需指出，混合戰略並不要求每個純戰略都以正概率被選到。例如，如果某個參與人有n個純戰略，那麼，混合戰略就是在這n個純戰略上的概率分布（p1, p2,…, pn），即以pi的概率選擇純戰略i，pi在0到1之間，且pi（i從1到n）的和為1。若pi=0，則說明純戰略i被選到的概率為0。
嚴謹地用數學表達並嚴格證明混合戰略納什均衡的性質超出了本文的範圍。但它的兩個性質仍可以簡單表述如下。
性質1：給定對手的均衡混合戰略，每個參與人的均衡混合戰略中以正概率選擇的純戰略對該參與人是一樣好的（或者稱為無差異，indifferent）。
原因在於，如果某個純戰略嚴格地好於其他純戰略，那麼，該參與人應該以1的概率選擇那個純戰略，而這與混合戰略納什均衡是矛盾的。
性質2：給定對手的均衡混合戰略，每個參與人的均衡混合戰略中以正概率選擇的純戰略不會比以0概率選擇的純戰略差。
原因在於，如果參與人的均衡混合戰略中以正概率選擇的純戰略比以0概率選擇的純戰略差，那麼，該參與人的那個所謂均衡混合戰略就不是他的最優選擇，這與混合戰略納什均衡矛盾。但注意，混合戰略納什均衡並不要求參與人的均衡混合戰略中以正概率選擇的純戰略比以0概率選擇的純戰略嚴格地好，這是因為，哪怕是一樣好，參與人也沒有改變其戰略的積極性。
4.結論性評述
（1）以上罰點球中的博弈論分析說明，罰丟點球很正常，除非點球手將每個點球都罰到守門員夠不到的死角。
（2）梅西罰丟點球應該得到原諒！
（3）換位思考非常有價值。林肯曾經說過：「當我準備好與別人爭辯時，我花1/3的時間考慮我自己以及我要說些什麼，花2/3的時間考慮他以及他要說些什麼。」