01 故事裡的聚寶盆
親愛的朋友們，雙十一第一波大家剁過得怎麼樣了呀？
每年一到這個時候，看著自己越來越扁的錢包，總有人忍不住感嘆：要是有聚寶盆就好了。只要有了聚寶盆，哪怕你渾身上下只有一塊錢，也能馬上逆襲。
周人龍在《挑燈集異》裡寫了這樣一段故事：
沈萬三的妻子用聚寶盆當只是普通的小盆，所以用它來洗手，一不小心把一根銀釵掉進了盆裡，結果盆中很快就堆滿了銀釵，數都數不清。在故事中，這個能夠進行無限複製的小盆讓沈萬三成了「財雄天下」的傳奇人物。
同理，一塊錢放進聚寶盆就會變成千千萬萬個數不清的一塊錢，擁有聚寶盆的人都不應該叫億萬富翁/婆，應該叫無窮富翁/婆，因為他/她可以擁有無窮多個一塊錢。
更值得細品的是，聚寶盆這個東西，不容易引發遺產糾紛。財產無論多豐厚，只要能點出數來，都是越分越少的。古往今來，大族分家鬧出的狗血不計其數。
但是聚寶盆不一樣，它帶來的財富是無窮的。假設一對夫妻靠聚寶盆享受了一輩子，留下兩個孩子，那他們倆根本不需要打架爭遺產，就算兩人共享聚寶盆，他們也可以個個都和父母一樣有錢。
而且，關於這一點，我們還可以做出嚴絲合縫的數學證明。
假設聚寶盆裡有無窮多個「一塊錢」。如果我們給盆裡所有的「一塊錢」編號，再把帶有奇數標號的鈔票和帶有偶數編號的鈔票分開，這樣盆裡的錢就自然而然地分成了相等的兩份。
我們把初始狀態的聚寶盆當作集合G，把按照奇偶編號分出來的兩份錢看作集合G奇和集合G偶。
接下來我們做這樣一件事，讓集合G中的錢和集合G奇中的錢一對一組隊 ——
這樣一直組下去，我們會發現，G中的每一個成員都可以在G奇中找到「夥伴」。這就意味著，G中有多少個「一塊錢」，G奇中就有多少個「一塊錢」。從財富的角度看，G和G奇是一回事，同理，G偶包含的財富也應該和G一樣。
這個結論看起來好像也沒什麼，但不要忘了，G奇和G偶都只是G的一部分，但它們又都和G相等——這難道不奇怪嗎？
當然，這神話故事裡的聚寶盆，是肯定不存在的，只要腦洞夠大，這事兒就不奇怪了。
不過我們在這裡要說清一點，雖然聚寶盆是虛構的，但這種「一一對應」卻是正兒八經的數學證明，它來自集合論和超窮數理論之父，德國數學家康託爾。
02 無窮與無窮
在數學中，無窮本身就是一個重要的研究對象。
也許有人會說，無窮就是無窮唄，數不出來的數也要讓數學家去研究嗎？事實上，在康託爾之前，主流數學界對無窮的態度差不多就是這樣的。
就連高斯也曾表過態：「我反對把無窮量當作實體來用，數學中從來不允許這樣做。無窮僅僅是一個說法而已。」
但康託爾越研究越起勁，他發現了另一件有趣的事——無窮不是只有一種，無窮和無窮之間也是有大小之分的。
讓我們回到聚寶盆的例子。假設有兩個聚寶盆，一個是普通聚寶盆，另一個是高級聚寶盆，後者的無限複製功能比前者要強——這有可能嗎？
有。我們依然通過編號的方式來解釋這件事。如果每一個正整數都可以對應一號聚寶盆G1裡的一塊錢，而每一個0和1之間的實數都可以對應二號聚寶盆G2裡的一塊錢，那麼，就算兩個聚寶盆裡的錢都是無窮多的，我們也可以確定，G2裡的錢就比G1裡的錢更多。
這是因為，G1和G2無法像G和G奇一樣，完成一一對應。關於這一點，康託爾也提出了證明。
假設G1和G2中的鈔票編號滿足一一對應關係，就像這樣 ——
我們從G2這個系列的編號中，取一串 「對角線」 上的數字，就像這樣——
再給這串數字的分別加1，那麼 1,4,6,2… 就變成了 2,5,7,3…，接下來我們再用這串數字組成一個新的G2編號，也就是0.2573……號。
重點來了：在已經和G1編號組好對的所有G2編號裡，你是無法找到這個0.2573……號的，因為它小數點後的第n位永遠比第n個配好對的G2編號要大1。也就是說，0.2573……號鈔票是多出來的鈔票，仔細想想我們就會知道，這樣的鈔票在G2中不止一張，G2裡的比錢G1裡的錢多多了。
經過上文中的兩次證明，康託爾提出了兩種無窮，小一點的記作0，比0稍大的記作1。它們是康託爾無窮王國中較早現身的兩名「將領」，在此之後，康託爾的研究越發深入，直至集合論和超窮數理論建立起來。
03 康託爾的悲劇
能夠比大小，卻又會出現部分等於整體這樣奇怪的情況，無窮實在是一種非常朋克的東西，沾上點毛就可以和薛丁格的貓比酷了。
但是，和量子力學一樣，針對無窮的研究因為太過特別，初期難免遭遇非議。康託爾也遭到了很多數學名家的反對，其中包括大名鼎鼎的龐加萊，還有康託爾的老師克羅內克。
據說，克羅內克曾想方設法排擠康託爾，讓他無法進入柏林學術圈。傳言也許難免有些誇張，但有跡可循的是，克羅內克曾經阻撓過《克雷爾數學雜誌》（Crelle’s Journal）發表康託爾的論文。
論文風波發生於1877年，當時的克羅內克是《克雷爾數學雜誌》的編輯，並且以柏林科學院院士的身份為柏林大學授課。而三十出頭的康託爾在哈雷大學就職，是一枚不上不下的「青椒」，同克羅內克交惡無疑讓他承受了巨大的壓力。
1878年，由於高斯關門弟子近代抽象數學先驅戴德金的出面協調，《克雷爾數學雜誌》最終發表了這篇關於無窮集合的早期論文，但從此之後康託爾再也沒向這家雜誌社投過稿。
從1879年到1884年，康託爾在《數學年刊》（Mathematische Annalen）上發表了六篇介紹集合論的系列論文，卻迎來了同行的抨擊和質疑。年復一年，他的處境總是不見好轉，似乎還越來越糟。
1880年，因為不理解康託爾在學術上的堅持，多年的好友赫爾曼·施瓦茨與他不歡而散。1881年，支持他的老領導海因裡希·海涅去世。1882年，他和戴德金的通信也中斷了。外界友善的聲音依然不多，他的研究又不斷遇到棘手的問題，重重壓力之下，康託爾的精神出現了問題。
1884年，康託爾第一次發作，從此以後他的情況時好時壞，精神問題成了糾纏康託爾後半生的陰影。康託爾並不是一個陰暗被動的人，他一直在積極地自救，他喜愛哲學、文學、音樂，試過在人文藝術中尋求安寧，他也去哈爾茨山調養過，甚至試過主動找克羅內克和好，希望能求同存異，解開心結。
這些辦法究竟有多大的作用，我們無法深究，我們只知道一件事：狀態良好的時候，康託爾還會堅持研究數學，儘管他並不清楚自己的課題是否還能獲得廣泛的認可和重視。
04 康託爾建立的樂園
1897年，康託爾的人生迎來了轉機。在世界第一屆數學家大會上，曾經教導過希爾伯特和閔可夫斯基的赫爾維茨公開表達了對康託爾的敬意。康託爾本人也參加了這次大會，他在會上重拾了和戴德金的友誼。在此之前，他已經開始和希爾伯特通信探討學術問題。
反對的聲音少了，欽佩的目光多了，康託爾多年的堅守似乎終於要迎來勝利了。但久病已成頑疾，再加上晚年趕上了第一次世界大戰，物質條件急轉直下，康託爾的情況越來越差，最終於1917年在休養院去世。
康託爾去世之後的聲望遠高於生前。現在，人們認為包括他在內的一批數學家理清了涉及無窮的多個概念，化解了第二次數學危機，而康託爾又是他們中間格外值得紀念的一位。
我們只要認真回想一下自己在大學甚至高中學過的數學知識，就會明白，集合論的思想已經滲透到了數學的方方面面，成為了基石一般的存在。
那些富有傳奇色彩的數學新方向更是同集合論關係緊密。遠山啟有過這樣一段有趣的總結——「抽象代數為集合引入了被稱為結合的互相關係，而拓撲學研究的則是集合在某種意義上的遠近關係。」
這些數學門類似乎總會呈現一些奇怪的規則和結論，但只要你耐心琢磨，就會發現其中的邏輯之美，而它們在現代科學研究和工程應用中的角色更是不可小覷。
這一切的背後，正是康託爾為現代數學打下的基礎。從這個意義上講，康託爾的集合論本身就是一個聚寶盆，儘管它並沒有讓康託爾像傳說中的沈萬三一樣風光富貴，反倒還帶給他不少磨難。
康託爾有一句名言：「數學在本質上是自由的。」很多人猜測，這就是支持他的信仰。遠山啟也曾感嘆這句話中的無窮滋味。
在數學這樣一個強調邏輯的學科中，自由到底意味著什麼呢？現代數學還有哪些不得不提的故事？除康託爾之外，這條路上還有哪些智者的足跡？我們如何了解和欣賞拓撲、非歐式幾何、群論等等數學成果中的思想？
這些問題當然無法用一兩句話、一兩篇文章說清楚，於是遠山啟寫了一系列書。
《數學與生活(修訂版)》以生動有趣的文字，系統地介紹了從數的產生到微分方程的全部數學知識，包括初等數學和高等數學兩方面內容之精華。這些知識是人們今後從事各種活動所必須的。書中為廣大讀者著想，避開了專用術語，力求結合日常邏輯來介紹數學。讀來引人入勝，枯燥之感。從中不但可得益於數學，而且還可學到不少物理、化學、天文、地理等方面的知識。
《數學與生活2》為日本數學教育議會創立者遠山啟的數學教育科普作品。書中通俗解讀了數學教育中的重點、難點知識，用直觀的方式梳理了「量與數」「集合與邏輯」「空間與圖形」「變數與函數」的知識體系，並結合作者多年的教學與研究經驗，向讀者傳授了獨創的教學方法與學習技巧，引導學習者掌握具有發展性的思考方法，真正從原理上理解數學知識。
《數學與生活3》不懂音符、樂理的人也能欣賞音樂，甚至可以成為音樂鑑賞家。不懂數學公式的人，是否也能理解現代數學的體系與思考方法，領略其中令人驚嘆的超越性美景呢？
上文轉自圖靈教育，作者喵頭鷹同學。[遇見]已獲轉發授權