深度解析△y與dy之間的區別與聯繫

2020-12-16 別跡無涯

在導數、微分中，△y與dy之間的區別與聯繫是一組需要重點區分的概念。

如下圖所示。自變量在x=x0的基礎上，若增加△x，此時函數增量△y=f(x0+△x)-f(x0)。當函數f(x)在點x=x0處可導時，即函數f(x)在x=x0處存在一條切線，那麼微分dy=f'(x0) △x。由於默認自變量增量△x、dx均為一個單位，因此，△x=dx，進而dy=f'(x0)dx。

從上可看出，△y描述的是函數的增量，dy描述的是切線的增量。

如何判斷△y與dy之間的大小關係是一個有趣的話題。請看下面證明△y與dy的大小關係推導過程。

上述證明過程是錯誤的，錯誤原因在於混淆了極限與函數定義值之間的區別與聯繫。

事實上，△y與dy之間的大小關係取決於函數f(x)。只要牢記△y與dy的相關含義和表達式，即可正確求解相關題目。

在此題中，函數f(x)的函數表達式沒有給出，但間接地給出了曲線在點(x0,f(x0))處切線的斜率，即1。餘下的解答過程見下：

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