根據定積分的定義推導表達式

2020-12-14 小朱與數學

上篇中我們分析了定積分求取曲邊圖形面積的思想，連續函數f(x)在區間[a,b]的定積分可表示如下

按照其定義中的求解過程，可分為四步：分割、近似、求和、取極限。

分割的方法有無數種，但必須有個條件，那就是當分割的段數趨近於無窮大時，每段圖形的寬度都必須趨近於0，只有這樣才能保證總體的誤差近似於0。

我們可以按照最簡單的分割方法，將區間的寬度等分，假設將區間分為n段，那麼每段的寬度為

將區間[a,b]等分成了如下n個區間

每個區間的曲邊梯形可用矩形近似，其中第i個矩形的高為

那麼所有矩形的面積之和為

上述面積之和可作為曲邊梯形面積的近似，並非精確值，存在一定的誤差，但當n越來越大時，誤差會越來越小直至趨近於0。因此曲邊梯形的精確面積為

因此，根據定義，定積分的結果可表示為

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