「應該是這樣吧」。
許多時候我們遇到不懂的事情，常習慣就這麼歪頭兩秒鐘，然後，彷佛答案卡在腦袋裡面一樣，搖一搖，答案噗通一聲就掉出來了。
有人稱這是直覺。
然而，很遺憾地，大多數人的直覺都不是很準，不然就不會那麼多人在彩票選號時面帶微笑，還善良地想著要捐出一半頭彩。
要是理性點，應該會很憂心忡忡地想著：
50元花下去，中三碼的概率僅有1.78%，好低。
六碼全中的頭彩概率更是低到7.15億分之一，比每天車禍致死的概率5.25億分之一還低，唉。
就算不講容易讓人不理性的彩票，直覺在許多時候也經不起數學的檢驗。更正確一點的說法是，直覺本來就不大準，只是這世界並沒有太多事情能搞清楚對錯，所以不容易察覺到直覺到底有多不準。好比你覺得隔壁同學暗戀你，因為她下課常問你要不要一起去商店，但事實上她只是單純想找人陪，可是在告白之前，你無法確認這件事情的真相。
更可悲的是，就算告白成功了，你還是無法確認她是否真的愛你。
聽不懂嗎？沒關係，再長大一點就懂了。
今天，我們藉由簡單的數學統計，讓大家實際看看，直覺跟事實間的差距，恐怕比臺灣藍綠兩黨之間的差距還大。後者至少還有「無能」、「貪汙」、「讓老百姓氣到高血壓」等等諸多共同點……嗯，他們其實蠻像的，我似乎舉錯例子了。
翻開存摺，看看最左邊的數字，將這個數字稱為「首位數」，一百多萬的首位數是1，六千多元的首位數是6，八十幾塊的首位數即是8。現在，請用直覺判斷，全臺灣兩千三百萬人的存款金額首位數，1~9各個數字出現的概率各自是多少呢？
均勻分布，每個數字出現的概率皆是1/9。
許多人的直覺應該此刻在腦海裡吶喊著這個答案，還帶點不屑。
要是順從直覺，按照這個邏輯繼續推理下去，使用歐元的人的存款金額首位數，日本人的日幣存款金額首位數，每個數字出現的概率應該也都是1/9的均勻分布。沒理由這項統計數字在臺灣是均勻分布，到歐洲或日本就會改變，大家理當都該一樣。
現在，當我們假設有9個人，戶頭裡各自有100、200…900元新臺幣，符合均勻分布。
要是銀行忽然將他們的存款改以日幣或歐元計算，會得到下表。
可以看見，首位數1從出現一次，大幅增加到三與四次，首位數9則消失在表格中。
考慮更一般的狀況，可以得到下面的統計分析圖。當臺幣換算成歐元或日幣時，首位數數字小的出現概率都比較高。
至此，可以宣告直覺失敗，輸給了所謂的「本福特定律Benford’s Law」：以自然形式出的數字，首位數是1的概率約30%，2的概率是17.6%，依序遞減，首位數是8與9的概率各自僅有5.1%與4.6%。
要解釋這種不直覺的遞減現象，我們得先提一個生活中的例子。
想像一條長條狀的蛋糕，蛋糕上不同區域，有不同的裝飾：有些地方是草莓、有些地方是櫻桃、還有些地方是肉桂跟大蒜。
要是有四人想分這條蛋糕，而且每種裝飾都想吃到，最常見的作法，就是先將蛋糕由上往下，切成許多片，每一片的大小符合每個人能拿到的比例，切完後依序1、2、3、4、1、2、3、4…等分。每個人再根據自己的編號，周期性地挑出屬於自己的蛋糕。如同下圖。
上圖就是其中一人的切法。在每隔一段距離，切下等寬的一部份。可以確保每個人拿到他該拿到的比例，且各種裝飾都能拿到。我們稱這種為「理想蛋糕分法」。
回到首位數的問題。
要是統計全臺灣的人銀行存款，可以畫出存款的統計分布圖，我們用下面這張示意圖表示。
存款首位數為1的區域我們用紫色表示。要是將整個曲線想成一條蛋糕，切下的紫色區域起先是一條細細的「1」，過了2-9後，再來一塊粗一點的「10-19」，這次得隔久一點，過了0-99，才會再出現更粗的「10-19」。然後，得一直等到「1000-1999」。
切下的區域分別是1、10、100、1000……切的間隔是8、80、800……
換句話說，依據不同首位數的蛋糕切法，在不同間隔間，切下大小不同的面積，不是剛才說的「理想蛋糕分法」。可能，落在300-500的櫻桃就這麼沒了。
不過，要是將x軸的金額取對數(log)，就會得到下面這張圖。
方才所說的「理想蛋糕分法」——等間隔切下同樣大小的區域，在此重現了。
因為是等間隔，不同區域的裝飾都能拿到，以取樣的角度來，就是取下來的部分能夠充分反映原來曲線的特性。
有趣的是，在對數轉換後，首位數為1切下來的面積所佔比例是：
log102- log101=log102=30%
首位數是2的比例則是：
log103- log102=log10(3/2)=17.6%
歸納出首位數為x時，所佔比例為：
log10(1+1/x)。
（小編註：這裡原文公式有筆誤，圖文組已修正）
這才是真正的首位數分布。
回到剛剛不同幣值的問題，如果假設新臺幣的存款首位數分布是依據本福特定律時，換算成歐元跟日幣後，可以得到下圖。
只要是自然產生的數據，且數據涵蓋範圍很大，首位數分布即會符合本福特定律。
因此，本福特定律相當具有實際用途。好比，統計公司一年的各種報帳款項，便會看見本福特定律的存在。政府或會計師即可反過來利用本福特定律，審核公司報帳是否誠實，如果不符合本福特定律，可能就有問題了。
奈何我無法拿各級政府，或首長特別費的資料實際測試一下本福特定律的威力(也怕測出來發現不符合，大家反而會說「這不是理所當然嗎」)，只好拿2012「總統」大選各鄉鎮的投票結果來看：
結果相當符合本福特定律，這告訴我們，要麼「總統」大選沒作票，不然就是作票的人精通本福特定律。
從一開始就說，別相信直覺了嘛。
1. R. M. Fewster, 「A simple explanation of Benford’s law,」 the American Statistician, vol. 63, no. 1, pp. 26-32, 2009, Nov.
本文轉載自 果殼網 賴以威