數學家William Thurston是1982年菲爾茲獎得主。在《菲爾茲獎得主Thurston的十個故事》中，我們看到了這位數學天才的傳奇。今天主要介紹Thurston與龐加萊猜想的關係。龐加萊猜想是數學家龐加萊於1904年提出的一個拓撲學猜想，也是克雷數學研究所懸賞的七個千禧年大獎難題之一。Thurston提出的幾何化猜想如果被證明是正確的，那麼龐加萊猜想就是它的一個推論。正是通過證明Thurston幾何化猜想，佩雷爾曼最終在2002年解決了龐加萊猜想。
撰文 | Joseph Malkevitch（紐約市立大學約克學院)
翻譯 | 唐璐（湖南大學）
每個領域都有超級明星——生物學有達爾文，化學有鮑林，物理學有牛頓，古典音樂有莫扎特，心理學有弗洛伊德。數學同樣有超級明星，牛頓也位列其中。
關注數學教育的人爭論數學天賦是否與生俱來，又或是否天賦只要達到了一定的閾值，就能通過教育在數學上有所成就。許多人能從數學學習和職業生涯中獲得巨大的滿足感，但他們並不是超級明星，甚至不是明星。在某些領域，天才在很小的時候就顯現，莫扎特就是典型例子。有很多人認為，數學家最好的成果都出現在職業生涯早期，這種說法並不完全準確。然而，作為對數學天賦的認可，最負盛名的數學獎項——菲爾茲獎——只頒發給 40 歲以下的人！莫扎特和舒伯特不到40歲就去世了，數學家阿貝爾（Niels Henrik Abel，1802-1829）和伽羅瓦（variste Galois，1811-1832）同樣如此。在更晚近的年代，還有很多才華橫溢的數學家也是英年早逝：
拉馬努金（Srinivasa Ramanujan，1887-1920），米哈伊爾·亞科維奇·蘇斯林（Mikhail Yakovlevich Suslin，1894-1919），安德烈斯·弗洛爾（Andreas Floer，1956-1991），以及奧迪·施拉姆（Oded Schramm，1961-2008）**譯註：奧迪·施拉姆是瑟斯頓在普林斯頓大學任教時的博士生，獲得了龐加萊獎、波利亞獎、奧斯特洛斯基獎等一系列重要獎項，但是因過齡錯失了菲爾茲獎。菲爾茲獎每4年頒發一次，2002年菲爾茲獎的截止出生日期是1962年1月1日，而施拉姆出生於1961年12月10日，僅相差3個星期。跟隨施拉姆做研究的年輕數學家Wendelin Werner獲得了2006年菲爾茲獎。熱衷於登山的施拉姆於2008年因山難去世。另外近年還有著名女數學家Maryam Mirzakhani也是英年早逝，Mirzakhani1977年出生於伊朗，擅長几何學，2004年在哈佛大學獲得博士學位，師從菲爾茲獎得主Curtis McMullen，2014年獲得菲爾茲獎，2017年因患乳腺癌去世。）
數學家們都各有特色：一些人在多個數學領域都做出了出色的工作，另一些則是在某個專業的數學領域取得了驚人的成果；一些人專注於數學研究，另一些還涉獵其他領域；一些人只談論數學，另一些在空閒時除了數學也談論政治、音樂、藝術和文學。
音樂和數學天賦從何而來？顯然數學天賦部分來自遺傳。巴赫家族出了許多音樂家，伯努利家族出了許多數學家。數學家George Birkhoff的兒子Garrett Birkhoff也是數學家。不過雖然莫扎特的父親是很優秀的音樂家，誰又能預料到他的兒子會有如此驚人的成就呢？數學和教育界人士仍在爭論數學天賦來自先天還是後天，以及如何發現那些能在數學上有所成就並樂在其中的人。
這篇文章是對傑出數學家威廉·瑟斯頓的致敬。1982 年，瑟斯頓同Alain Connes和丘成桐一道獲得了菲爾茲獎。瑟斯頓不僅在數學上做出了重要成就，而且樂於與人們分享他的專業知識以及對數學的洞見和熱情。
威廉·瑟斯頓（William Thurston，1946-2012），他也常被稱作比爾·瑟斯頓（Bill Thurston）。
威廉·瑟斯頓的簡要生平
比爾·瑟斯頓的父母不是數學家，但他的父親有物理和工程學背景。他的母親對縫紉很感興趣，這也許可以解釋瑟斯頓為什麼對服飾和時尚感興趣，但他專注於對曲面特性的理解也可以解釋這一點——也許布料的複雜特性有助於他的思考。許多傑出數學家都畢業於「名牌大學」，但瑟斯頓卻就讀於佛羅裡達州的一所初創大學：新學院。
新學院原為私立學院，1964年開始招生，現為公立大學佛羅裡達新學院（New College of Florida）。瑟斯頓1967年畢業後去了加州大學伯克利分校攻讀博士。1972年，他以博士論文《圓叢三維流形的葉狀結構》（Foliations of Three-Manifolds which are Circle Bundles）獲得了學位。瑟斯頓的學術師承讓人感興趣，他的導師是Morris Hirsh，Hirsh自己的兩位導師也都是拓撲學大師：Edwin Spanier師從拓撲學家Norman Steenrod，Stephen Smale也是菲爾茲獎得主，師從沃爾夫獎得主Raoul Bott。
瑟斯頓學術生涯的第一年在普林斯頓高等研究院，然後去了MIT擔任助理教授，之後在普林斯頓大學擔任教授。1991年瑟斯頓離開普林斯頓回到加州大學伯克利分校。兩年後，他成為伯克利數學科學研究所（MSRI，成立於1982年）所長。MSRI以多種形式促進數學發展，包括定期舉辦研討會和持續一個學期的學術交流，期間就某一特定主題邀請學者訪問和研討。主題可能是傅立葉分析、解析數論、或者幾何和拓撲組合學。選定的主題涉及廣泛的數學領域及其應用。在瑟斯頓領導MRSI期間，他積極推動研究所擴大活動範圍，並熱衷於促進公眾對數學的認識。
1997年瑟斯頓離開MRSI去了加州大學戴維斯分校，2003年去了康奈爾大學。2011年，他被診斷患有黑色素瘤，2012年去世。為了紀念他，2014年在康奈爾舉行了一次會議。
除了菲爾茲獎，瑟斯頓還獲得過許多榮譽，包括維布倫幾何獎（1976年）和Leroy Steele獎（2012年）。2005年，瑟斯頓的《三維幾何和拓撲學》（Three-dimensional Geometry and Topology）獲得了第一屆美國數學學會圖書獎。這本書所依據的講義已流傳多年，在成書之前就影響了許多人。
前面說過菲爾茲獎只頒給40歲以下的人。當然，菲爾茲獎得主在獲獎後繼續做出精彩的成果是很常見的，瑟斯頓就是如此。有一些數學家則因其最好的工作是在40 歲以後完成而錯過菲爾茲獎。後來又有了一些沒有年齡限制的頂級獎項，例如邵逸夫獎、阿貝爾獎和沃爾夫獎。
瑟斯頓和流形
數學有許多領域，例如代數和幾何，但是通常很難界定特定的數學「屬於」哪個領域，因此，人們會談論幾何代數和代數幾何。雖然大多數人視瑟斯頓為拓撲學家，但他也研究幾何學，他的一些工作被描述為幾何拓撲學。
幾何和拓撲學家對曲面感興趣。我們熟悉各種曲面，比如平面、球面、錐面和甜甜圈（環面）。流形是一類特殊的曲面，從其上的每一點看來，臨近的區域都類似歐氏空間。更準確地說，流形具有如下性質：流形（曲面）的每一點都位於一個集合的中心，這個集合拓撲等價於一個（開）歐氏球。歐氏球是與給定點的距離小於或等於某個給定實數r（球的半徑）的點集。它有兩種形式，開球只包含距離嚴格小於r的點，而閉球還包含距離等於r的點。例如，圓的內部是一個2維開球，也稱為開圓。因此，2維流形是有如下性質的曲面，在其每一點都能找到一個（可能的）小集合拓撲等價（同胚）於一個位於那一點的開圓。
如果存在從集合X到集合Y的一對一連續映射函數，並且反函數也是連續的，則稱X拓撲等價或同胚於Y。從拓撲學的角度看，正方形、五角星、橢圓和歐氏圓都是拓撲等價的。請注意，其中一些是光滑曲線，另一些則有角。也有一些人將拓撲描述為橡皮幾何學：如果一個集合不經切割或撕裂就能變換為另一個集合，那麼兩者就是拓撲等價的。簡而言之，同胚是「拓撲等價」的專業術語。
在拓撲學中，一個杯子和一個甜甜圈（實心環面）是等價的，一頭母牛和一個球面也是等價的。| 來源：Wikipedia
數學家們在研究流形時會尋找那些幫助我們理解流形結構的定理。圖1展示了一系列2維流形，這些曲面（都是有界的）上的任意點的周圍，都有一個小集合等價於一個2維圓內部的拓撲拷貝。圖中曲面包含的孔的數量各不相同，中間的曲面有1個孔，我們稱它的虧格為1。你也許能想出辦法，將中間曲面的多個拷貝連接到左邊的曲面，以得到最右邊的曲面。
圖1. 包含零個孔、一個孔和多個孔的曲面。| 來源：Manifold Atlas Project
應該怎樣對流形分類呢？一個自然的選擇是依據流形的維度，比如上面我們看到了球面和環面這類經常遇到的2維流形。除此之外，還有連通、有界、平滑（可微）和緊緻的流形，以及有邊界的流形。所有這些都是用來刻畫特定類型流形的特殊屬性。圖2展示的曲面被稱為3維空間中的褲子。
圖2. 這個曲面被稱為3維空間中的褲子。| 來源：Wikipedia
我們也可以考慮在平面上繪製的褲子，如圖3所示。在不同的設定下觀察同一個「對象」，可以幫助我們更深刻地認識對複雜曲面進行區分的一般性原則。請注意，圖中的紅色圓圈不是所關注的曲面的一部分。如果我們在曲面加上紅圈會發生什麼？每個點仍然是某個拓撲圓的中心嗎？拓撲學家可能感興趣的問題是，如果將褲子作為部件拼接起來，得到的曲面會有多少種變體。
圖3. 畫在平面上的褲子 | 來源：Wikipedia
數學發展的一個方面體現在，能以某種方式區分以前認為是相同的事物。因此，新的修飾詞不斷被加到流形這個術語前面，以區分不同類型的曲面。例如，我們討論2維流形、3維流形、雙曲流形、以及上面提到的各種類型的流形。雙曲流形的每個點周圍的區域類似某個維數的雙曲空間。空間可以用不同的方式區分，例如曲率。歐氏空間的曲率為零，而雙曲空間則具有負曲率。在歐氏平面幾何中，經過直線外一點有且僅有一條平行線，而在雙曲平面中，經過直線外一點有許多條平行線。瑟斯頓的研究領域就包括雙曲流形和空間。
曲面的另一個屬性是可定向性，這個概念關係到能否在曲面上保持一致的方向感。圖4是著名的莫比烏斯帶，它就是不可定向的。將長條（例如長30cm、寬5cm）的兩端粘到一起，可以得到圓柱曲面，這是可定向的雙面曲面。如果將其中一條短邊翻轉後再粘到一起，得到的就是莫比烏斯帶，它只有一個面，不可定向。另外請注意這個曲面有「邊」，這一點與球面不同。
圖4. 不可定向的曲面：莫比烏斯帶。如果一隻螞蟻在莫比烏斯帶上一直向前爬行，它可以從帶子的一面繞到另一面，而無需跨越帶子的邊界。| 來源：Wikipedia
圖5是著名的克萊因瓶曲面，以它的發現者Felix Klein的名字命名。克萊因瓶也是不可定向的，而且它不能在沒有自相交的條件下嵌入3維空間，不像莫比斯帶能嵌入3維空間。
圖5. 克萊因瓶 | 來源：Wikipedia
圖6中不可定向的2維流形是一個被研究得很多的幾何對象——沒有自相交不能嵌入3維空間的實射影平面。平面幾何的3種基本類型是歐氏幾何、雙曲幾何（也稱為羅氏幾何）和實射影平面。實射影平面是點和線遵循如下性質的一種結構，即任意兩條不同的線必須相交於一點。
圖6. 實射影平面 | 來源：Wikipedia
在看過一些不同的2維流形曲面的例子之後，我們再看一個不是流形的例子，或許有助於加深理解。圖7是一個圓錐體的兩個錐盆，它們相交於三條紅線的交點。在這一點，曲面沒有一個以該點為中心的開歐氏球，所有其他的點都很好！不過兩個錐盆分開後卻都是2維流形。
圖7. 在三條紅線的交點，曲面沒有一個以該點為中心的開歐氏球，因而這是一個不是流形的曲面。| 圖片來源：Wikipedia
順便說一下，也有1維流形。平面上的圓或開線段就是1維流形。數字8或無窮符號∞則不是1維流形，因為在自交點處，這兩個集合的局部不是1維開球。
龐加萊猜想
如何界定一個拓撲的2維歐氏圓？拓撲圓的一個基本性質是它們把平面劃分為三個集合：拓撲圓上的點、圓內部的點和圓外部的點。簡單的閉合曲線——拓撲圓的另一個名稱——遵循這個性質似乎極為明顯，以至於在很多年裡都沒有基於更基礎的幾何學來證明這是正確的。最後是法國數學家若爾當（Camille Jordan，1838-1922）付諸行動，這個結果被稱為若爾當曲線定理：簡單閉曲線是拓撲圓，與歐氏圓同胚。
若爾當曲線定理說明，每一條若爾當曲線都把平面分成一個「內部」區域和一個「外部」區域，且任何從一個區域到另一個區域的道路都必然在某處與環路相交。若爾當曲線定理表面上似乎是十分顯然的，但要證明它卻十分困難。| 來源：Wikipedia
人們最初認為，把拓撲圓的概念推廣到3維空間與球面同胚的曲面是輕而易舉的事情。然而，數學家們逐漸認識到，要將圖形的屬性轉換到不同維度的空間並不是那麼容易。例如，如果兩個簡單多邊形（多邊形的邊相交的地方是一個頂點）的面積相同，那麼總有辦法將其中一個多邊形切割成有限數量的簡單凸多邊形碎片，然後將這些碎片重新組合成另一個多邊形，就像玩拼圖一樣。然而，希爾伯特（1862-1943）的一個學生，也對曲面理論做出了重要貢獻的Max Dehn（1878-1952），證明了這個定理的3維版本並不成立（這也是希爾伯特23個問題中的第三個）。也就是說，不可能把立方體切割成有限數量的凸多面體塊，然後重新組裝成同樣體積的正四面體。因此，研究流形和曲面拓撲的數學家對維度轉換後2維對象的基本性質能否保留持謹慎態度。
法國數學家龐加萊（1854-1912）是研究曲面拓撲性質的先驅之一。他發展了現代拓撲學的基本思想——同倫與同調的重要概念。
龐加萊
龐加萊試圖搞清楚拓撲學上等同於高維球面的形狀可以有多麼不同，正如早期拓撲學研究者試圖搞清楚簡單的封閉曲線的形狀可以有多麼不同一樣。龐加萊思考了這個問題，並給出一個猜想，但是並沒有明確說出他認為這個猜想是對還是錯！這個猜想後來被稱為龐加萊猜想，用現代術語表述是這樣：
如果M是封閉的單連通3維流形，則M與3維球面同胚。
這個猜想形式上的直觀性吸引了許多拓撲學家開始研究這個問題，並且發展出了許多關於流形的工具，這些工具有希望找到解決這個問題的途徑。這個看似簡單的問題引發了人們的興趣，從而刺激拓撲學取得了重要的進展。瑟斯頓在博士工作完成後，對各種流形，尤其是雙曲流形產生了興趣。關鍵在於這種流形上的每一點都類似某個維度的雙曲幾何空間。研究一段時間後，瑟斯頓提出了一個猜想，這個猜想後來被稱為瑟斯頓幾何化猜想。直觀的想法是，任何封閉的3維流形都可以區分為8 種類型之一，瑟斯頓對此給出了明確描述，並進行了研究。值得注意的一點是，如果這個猜想被證明是正確的，那麼龐加萊猜想就是它的一個推論。
瑟斯頓和其他人證明了幾何化猜想的幾種特例是正確的。尤其是，瑟斯頓用非常創新的想法證明了，它對一類很豐富的流形，也就是哈肯流形成立。哈肯流形以Wolfgang Haken（1928-）的名字命名，他最著名的工作是與Kenneth Appel證明了四色猜想。
比爾·瑟斯頓的照片。留意他運動衫上的公式！
在19世紀末20世紀初，希爾伯特列出了一系列他認為對數學發展很重要的問題，希爾伯特問題引發了人們的廣泛興趣。後來的發展證明了他的眼光！其中許多問題已被解決，並衍生出了許多新的數學思想，另一些還在繼續研究。2000年時克雷數學研究所提出了一個包含7個問題的清單，被稱為千禧年問題，並附加了懸賞，解決其中任何一個問題，都能得到一百萬美元獎金！龐加萊猜想就是千禧年問題之一。
2002年，佩雷爾曼（Grigori Perelman，1966-）公布了一系列論文，聲稱已證明了龐加萊猜想。他解決這個問題的方法就是證明瑟斯頓幾何化猜想。隨後對他的證明進行的嚴格審查證實，他的方法非常具有原創性，並且是正確的。同其他突破性證明方法剛提出時一樣，佩雷爾曼的方法後來又被加以完善和改進。在他的證明被確認正確之後，他被授予了千禧年獎，但他拒絕領獎！他也被選為 2006 年菲爾茲獎的得主之一（同Andrei Okounkov、陶哲軒和Wendelin Werner一起），但是他又拒絕了。佩雷爾曼使用的方法部分基於Richard Hamilton 關於Ricci流的思想。
格裡戈裡·佩雷爾曼
瑟斯頓的其他貢獻
接下來我們介紹一下瑟斯頓對幾何學的另外兩個很重要的貢獻。瑟斯頓推廣流形概念的方法之一是發展軌形（orbifold，orbit-manifold的縮寫）的概念。瑟斯頓在普林斯頓的同事康威（John Horton Conway，1937-2020，在剛過去的4月11日，這位數學天才因新冠肺炎不幸離世）發明了一種實用的軌形標註法，並用來研究各種曲面的對稱性。康威證明了它可以解釋一個看似特別神秘的事情——在歐氏條帶上有7種類型的帶狀裝飾（見圖8的示例），在歐氏平面上有17種類型的壁紙圖案。康威在其中使用了軌形的概念和基於曲面（在這裡是歐式平面）的歐拉示性數的思想，這樣對數字7和17的根源就有了一種自然的理解！
圖8. 兩種不同類型的帶狀裝飾圖案。| 圖片來源：Wikipedia
在對流形的研究中，人們經常感興趣的一個問題是如何對曲面進行三角剖分，即在給定的規則下將曲面分割成三角形，創建三角形網格。曲面的三角剖分在數值分析和圖像處理中有重要應用。瑟斯頓研究了一類有趣的二維球面的三角剖分，這種剖分剛好有12個價（valence，度）為5的頂點，其他所有頂點的價為6。Branko Grünbaum和Theodore Motzkin證明了在對偶情形下（與球面上有12個五邊形和一些六邊形的富勒烯圖相對應），對於6價頂點的每一種可能的數目（1除外），都存在相應的三角剖分。
富勒烯也被稱為戈德堡多面體；這種多面體最近引起了人們的興趣，因為新發現的這種多面體的實例具有高度的對稱性，並且所有邊長都相等。瑟斯頓在這其中的發現是，具有h個6價頂點（h為正整數）和12個5價頂點的不等價的三角剖分多面體的種類多得出奇，從而給出了一系列有待研究的種類豐富的高度結構化多面體。他還給出了多種方法構造這些多面體。
瑟斯頓用高度圖像化的方式處理和思考數學問題，也因此他的一些工作被拍成視頻，有些他還參與了拍攝。其中一個視頻講述了瑟斯頓開發的一種結構，用來展示在3維空間裡，可以把一個球體由內向外翻轉，而不會產生任何摺痕和擠壓，這個過程被稱為外翻（eversion）。瑟斯頓的學術師祖父Stephen Smale最先證明了這個驚人的事實是可能的。
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介紹翻轉球面的數學科普短片「Outside in」，由明尼蘇達大學的幾何中心（Geometry Center）製作。陶哲軒在悼念Thurston的文章中曾說：「我最喜歡瑟斯頓的一個成果是他翻轉球體的優雅方法，也就是平滑地將三維空間中的一個二維球面內外翻轉過來，不能有任何摺疊或奇點。球面外翻可以實現這一事實是非常不直觀的，它通常被稱為Smale悖論，因為 Stephen Smale 第一個證明了這種外翻是可能的。然而，在瑟斯頓的方法之前，已知的球面外翻的構造相當複雜。通過壓縮和扭曲球面，瑟斯頓的方法足夠概念化和幾何化，實際上可以很有效地用非技術術語來解釋。」
除此之外，幾何中心還製作了關於紐結與雙曲空間的短片「Not Knot」（不是紐結，而是紐結補空間）,以及探索三維空間可能性的「The shape of space」。從中我們對Thurston的數學研究或許會有更多更直觀的了解。（相關視頻請前往《返樸》觀看）
參考資料
[1] Atiyah, M. et al., Response to "Theoretical Mathematics toward a cultural synthesis of mathematics with theoretical physics, Bulletin of the American Mathematical Society, 30 (1994) 178-207.[2] Conway, J. and H. Burgiel, H., C. Goodman-Strauss, The Symmetry of Things, A K Peters Wellesley, MA, 2008.[3] Gromov, M. and W. Thurston, Pinching constants for hyperbolic manifolds, Invent. Math., 89 (1987) 1-12.[4] Gray, J., Henri Poincaré: A scientific biography. Princeton University Press, Princeton, 2012.[5] Grünbaum, B. and T. Motzkin, The number of hexagons and the simplicity of geodesics on certain polyhedra, Canad. J. Math. 15(1963) 744-751.[6] Jaffe, A. and F. Quinn, "Theoretical Mathematics toward a cultural synthesis of mathematics with theoretical physics, Bulletin of the American Mathematical Society, 29 (1993) 1-13.[7] Malkevitch, J. (ed.), Geometry's Future (2nd. edition), COMAP, Bedford, MA, 1991.[8] Thurston, W., Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry, Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1982) 357–381.[9] Thurston, W., Hyperbolic structures on 3-manifolds. I. Deformation of acylindrical manifolds. Annals of Math., 124 (1986), 203–246.[10] Thurston, W., On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces. Bull. Amer. Math. Soc., 19 (1988), 417–431.[11] Thurston, W., Mathematical education, Notice of the American Mathematical Society, 37 (1990) 844-850.[12] Thurston, W., On proof and progress in mathematics, Bulletin American Mathematical Society, 30 (1994) 161-177.[13] Thurston, W. and S. Levy (ed.), Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1. Princeton University Press, Princeton, 1997. (Thurston had privately distributed various versions of his writing and course notes on manifolds. His student Silvio Levy worked with Thurston on turning these notes into this volume.)[14] Schein, S. and J. Gaye, Fourth class of convex equilateral polyhedron with polyhedral symmetry related to fullerenes and viruses, Proceedings of the National Academy of Sciences, 111 (2014) 2920-2925.
本文節選並翻譯自美國數學學會在2012年發表的紀念William Thurston的文章「Remembering Bill Thurston(1946-2012)」，略有刪節。原文連結：http://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fc-2017-04。
延伸閱讀
陶哲軒紀念Thurston逝世的文章：https://terrytao.wordpress.com/2012/08/22/bill-thurston/
克雷數學研究所關於龐加萊猜想及其證明的介紹：http://www.claymath.org/millennium-problems/poincar%C3%A9-conjecture
Thurston在MathOverflow網站上的提問和回答：https://mathoverflow.net/users/9062/bill-thurston