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來源：溫夢月
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一、多層前向神經網絡
多層前向神經網絡由三部分組成：輸出層、隱藏層、輸出層，每層由單元組成；
輸入層由訓練集的實例特徵向量傳入，經過連接結點的權重傳入下一層，前一層的輸出是下一層的輸入；隱藏層的個數是任意的，輸入層只有一層，輸出層也只有一層；
除去輸入層之外，隱藏層和輸出層的層數和為n，則該神經網絡稱為n層神經網絡，如下圖為2層的神經網絡；
一層中加權求和，根據非線性方程進行轉化輸出；理論上，如果有足夠多的隱藏層和足夠大的訓練集，可以模擬出任何方程；
二、設計神經網絡結構
使用神經網絡之前，必須要確定神經網絡的層數，以及每層單元的個數；
為了加速學習過程，特徵向量在傳入輸入層前，通常需要標準化到0和1之間；
離散型變量可以被編碼成每一個輸入單元對應一個特徵值可能賦的值
比如：特徵值A可能去三個值（a0,a1,a2），那麼可以使用3個輸入單元來代表A
如果A=a0，則代表a0的單元值取1，其餘取0；
如果A=a1，則代表a1的單元值取1，其餘取0；
如果A=a2，則代表a2的單元值取1，其餘取0；
神經網絡既解決分類（classification）問題，也可以解決回歸（regression）問題。對於分類問題，如果是兩類，則可以用一個輸出單元（0和1）分別表示兩類；如果多餘兩類，則每一個類別用一個輸出單元表示，所以輸出層的單元數量通常等一類別的數量。
沒有明確的規則來設計最佳個數的隱藏層，一般根據實驗測試誤差和準確率來改進實驗。
三、交叉驗證方法
如何計算準確率？最簡單的方法是通過一組訓練集和測試集，訓練集通過訓練得到模型，將測試集輸入模型得到測試結果，將測試結果和測試集的真實標籤進行比較，得到準確率。
在機器學習領域一個常用的方法是交叉驗證方法。一組數據不分成2份，可能分為10份，
第1次：第1份作為測試集，剩餘9份作為訓練集；
第2次：第2份作為測試集，剩餘9份作為訓練集；
……
這樣經過10次訓練，得到10組準確率，將這10組數據求平均值得到平均準確率的結果。這裡10是特例。一般意義上將數據分為k份，稱該算法為K-fold cross validation，即每一次選擇k份中的一份作為測試集，剩餘k-1份作為訓練集，重複k次，最終得到平均準確率，是一種比較科學準確的方法。
四、BP算法
通過迭代來處理訓練集中的實例；
對比經過神經網絡後預測值與真實值之間的差；
反方向（從輸出層=>隱藏層=>輸入層）來最小化誤差，來更新每個連接的權重；
4.1、算法詳細介紹
輸入：數據集、學習率、一個多層神經網絡構架；
輸出：一個訓練好的神經網絡；
初始化權重和偏向：隨機初始化在-1到1之間（或者其他），每個單元有一個偏向；對於每一個訓練實例X，執行以下步驟：
1、由輸入層向前傳送：
結合神經網絡示意圖進行分析：
由輸入層到隱藏層：
由隱藏層到輸出層：
兩個公式進行總結，可以得到：
Ij為當前層單元值，Oi為上一層的單元值，wij為兩層之間，連接兩個單元值的權重值，sitaj為每一層的偏向值。我們要對每一層的輸出進行非線性的轉換，示意圖如下：
當前層輸出為Ij，f為非線性轉化函數，又稱為激活函數，定義如下：
即每一層的輸出為：
這樣就可以通過輸入值正向得到每一層的輸出值。
2、根據誤差反向傳送 對於輸出層：其中Tk是真實值，Ok是預測值
對於隱藏層：
權重更新：其中l為學習率
偏向更新：
3、終止條件
偏重的更新低於某個閾值；
預測的錯誤率低於某個閾值；
達到預設一定的循環次數；
4、非線性轉化函數
上面提到的非線性轉化函數f，一般情況下可以用兩種函數：
（1）tanh(x)函數：
（2）邏輯函數，本文上面用的就是邏輯函數
五、BP神經網絡的python實現
需要先導入numpy模塊
import numpy as np
定義非線性轉化函數，由於還需要用到給函數的導數形式，因此一起定義
def tanh(x):
return np.tanh(x)
def tanh_deriv(x):
return 1.0 - np.tanh(x)*np.tanh(x)
def logistic(x):
return 1/(1 + np.exp(-x))
def logistic_derivative(x):
return logistic(x)*(1-logistic(x))
設計BP神經網絡的形式（幾層，每層多少單元個數），用到了面向對象，主要是選擇哪種非線性函數，以及初始化權重。layers是一個list，裡面包含每一層的單元個數。
class NeuralNetwork:
def __init__(self, layers, activation='tanh'):
"""
:param layers: A list containing the number of units in each layer.
Should be at least two values
:param activation: The activation function to be used. Can be
"logistic" or "tanh"
"""
if activation == 'logistic':
self.activation = logistic
self.activation_deriv = logistic_derivative
elif activation == 'tanh':
self.activation = tanh
self.activation_deriv = tanh_deriv
self.weights = []
for i in range(1, len(layers) - 1):
self.weights.append((2*np.random.random((layers[i - 1] + 1, layers[i] + 1))-1)*0.25)
self.weights.append((2*np.random.random((layers[i] + 1, layers[i + 1]))-1)*0.25)
實現算法
def fit(self, X, y, learning_rate=0.2, epochs=10000):
X = np.atleast_2d(X)
temp = np.ones([X.shape[0], X.shape[1]+1])
temp[:, 0:-1] = X
X = temp
y = np.array(y)
for k in range(epochs):
i = np.random.randint(X.shape[0])
a = [X[i]]
for l in range(len(self.weights)):
a.append(self.activation(np.dot(a[l], self.weights[l])))
error = y[i] - a[-1]
deltas = [error * self.activation_deriv(a[-1])]
for l in range(len(a) - 2, 0, -1):
deltas.append(deltas[-1].dot(self.weights[l].T)*self.activation_deriv(a[l]))
deltas.reverse()
for i in range(len(self.weights)):
layer = np.atleast_2d(a[i])
delta = np.atleast_2d(deltas[i])
self.weights[i] += learning_rate * layer.T.dot(delta)
實現預測
def predict(self, x):
x = np.array(x)
temp = np.ones(x.shape[0]+1)
temp[0:-1] = x
a = temp
for l in range(0, len(self.weights)):
a = self.activation(np.dot(a, self.weights[l]))
return a
我們給出一組數進行預測，我們上面的程序文件保存名稱為BP
from BP import NeuralNetwork
import numpy as np
nn = NeuralNetwork([2,2,1], 'tanh')
x = np.array([[0,0], [0,1], [1,0], [1,1]])
y = np.array([1,0,0,1])
nn.fit(x,y,0.1,10000)
for i in [[0,0], [0,1], [1,0], [1,1]]:
print(i, nn.predict(i))
結果如下：
([0, 0], array([ 0.99738862]))
([0, 1], array([ 0.00091329]))
([1, 0], array([ 0.00086846]))
([1, 1], array([ 0.99751259]))
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