遇事不決，量子力學！
相信很多朋友都聽過這句略帶諷刺的網絡流行語。
它出自某部科幻作品，暗指劇情中那些解釋不通的、奇奇怪怪的現象，都可以用「量子力學」來矇混過關。
19 世紀末，量子力學的提出為解釋微觀物質世界打開了一扇大門，它徹底改變了人類對物質結構及相互作用的理解。已有實驗證明，量子力學解釋了許多被預言、無法直接想像的現象。
由此，人們也形成了一種既定印象，所有難以理解的問題都可以通過求解量子力學方程來解決。
但事實上能夠精確求解方程的體系少之又少。
薛丁格方程是量子力學的基本方程，即便已經提出 70 多年，它的氫原子求解還是很困難，超過 2 個電子的氫原子便很難保證精確度。
不過，多年來科學家們一直在努力攻克這一難題。
最近，來自柏林自由大學(Freie Universität Berlin) 的科學團隊取得了突破性進展，他們發表的一篇名為《利用深度神經網絡解電子薛丁格方程》的論文，登上了《Nature Chemistry》子刊。
論文明確指出：利用人工智慧求解薛丁格方程基態解，達到了前所未有的準確度和計算效率。該人工智慧即為深度神經網絡（Deep-neural-network），他們將其命名為 PauliNet。
在介紹它之前，我們先來簡單了解下薛丁格方程。
什麼是薛丁格方程？
薛丁格方程（Schrödinger Equation），是量子力學中的一個基本方程。
又稱薛丁格波動方程（Schrödinger Wave Equation），它的命名來自一位名為埃爾溫·薛丁格（Erwin Schrödinger）的奧地利物理學家。
Erwin 曾是 1933 年諾貝爾物理學獎獲得者，是量子力學奠基人之一。
他在 1926 年發表的量子波形開創性論文中，首次提出了薛丁格方程。它是一個非相對論的波動方程，反映了描述微觀粒子的狀態隨時間變化的規律。
具體來說，它將物質波的概念和波動方程相結合建立二階偏微分方程，以描述微觀粒子的運動，每個微觀系統都有一個相應的薛丁格方程式，通過『解方程』可得到波函數的具體形式以及對應的能量，從而了解微觀系統的性質。
Ψ表示波函數
薛丁格方程在量子力學中的地位，類似於牛頓運動定律在經典力學中的地位，它在物理、化學、材料科學等多個領域都有著廣泛的應用價值。
比如，應用量子力學的基本原理和方法研究化學問題已形成一門『量子化學』基礎學科，其研究範圍包括分子的結構、分子結構與性能之間的關係；分子與分子之間的相互碰撞、相互作用等。
也就是說，在量子化學中，通過求解薛丁格方程可以用來預測出分子的化學和物理性質。
波函數（ Wave Function）是求解薛丁格方程的關鍵。它在每個空間位置和時間都定義一個物理系統，並描述了該系統隨時間的變化，如波粒二象性。同時它還能夠說明這些波是如何受到外力或影發生改變的。
以下通過對氫原子的求解可以得到正確的波函數。
不過，波函數是一個高維實體，這使得其在捕獲特定編碼電子相互影響的頻譜變得異常困難。
目前在量子化學領域，很多方法都證實無法解決這一難題。比如，利用數學方法獲得特定分子的能量，會限制預測的精度；使用大量簡單的數學構造塊表示波函數，無法使用少數原子進行計算等。
在此背景下，柏林自由大學科學團隊提出了一種有效的應對方案。該團隊成員簡·赫爾曼（Jan Hermann）稱，
到目前為止，離群值(Outlier）是最經濟有效的密度泛函理論(Density functional theory ，一種研究多電子體系電子結構的方法)。相比之下，我們的方法可能更成功，因為它在可接受的計算成本下提供了前所未有的精度」。
PauliNet：物理屬性引入 AI 神經網絡
Hermann 所說的方法被稱為—量子蒙特卡羅法。
論文中顯示，量子蒙特卡羅（Quantum Monte Carlo）法提供了一種可能的解決方案：對於大分子來說，它可以很好地實現縮放和並行化，而且其波函數的精確性只受到 Ansatz 靈活性的限制。
具體來說，該團隊設計了一個深層神經網絡來表示電子的波函數，這是一種全新的方法。PauliNet 具有作為基準內置的多參考 Hartree-Fock 解決方案，結合有效波函數的物理特性，並使用變分量子蒙特卡洛進行了訓練。
弗蘭克·諾（FrankNoé）教授解釋說：「不同於簡單標準的數學公式求解波函數，我們設計的人工神經網絡能夠學習電子如何圍繞原子核定位的複雜模式。」
「電子波函數的一個獨特特徵是它們的反對稱性。當兩個電子交換時，波函數必須改變其符號。我們必須將這種特性構建到神經網絡體系結構中才能工作」。
這類似於泡利不相容原理（Pauli's Exclusion Principle），因此研究人員將該神經網絡體系命名為「PauliNet」。
除了泡利不相容原理之外，電子波函數還具有其他基本物理特性。PauliNet 的成功之處不僅在於利用 AI 訓練了數據，還在於它將這些物理屬性全部集成到了深度神經網絡中。
對此，FrankNoé還特意強調說：
「將基本物理學納入 AI 至關重要，因為它能夠做出有意義的預測，這是科學家可以為 AI 做出有實質性貢獻的地方，也是我們關注的重點。」
實驗結果：高精度、高效率
PauliNet 對電子薛丁格方程深入學習的核心方法是波函數 Ansatz，它結合了電子波函數斯萊特行列式（Slater Determinants），多行列式展開（Multi-Determinant Expansion），Jastro 因子（Jastrow Factor），回流變換（backflow transformation,），尖點條件（Cusp Conditions）以及能夠編碼異質分子系統中電子運動複雜特徵的深層神經網絡。如下圖:
論文中，研究人員將 PauliNet 與 SD-VMC（singledeterminant variational, 標準單行列式變分蒙特卡羅）、SD-DMC（singledeterminant diffusion, 標準單行列式擴散蒙特卡羅）和 DeepWF 進行了比較。
實驗結果顯示，在氫分子（H_2）、氫化鋰（LiH）、鈹（Be）以及硼（B）和線性氫鏈 H_10 五種基態能量的對比下，PauliNe 相較於 SD-VMC、SD-DMC 以及 DeepWF 均表現出更高的精準度。
同時論文中還表示，與專業的量子化學方法相比—處理環丁二烯過渡態能量，其準確性達到一致性的同時，也能夠保持較高的計算效率。
開啟『量子化學』新未來
需要說明的是，該項研究屬於一項基礎性研究。
也就是說，它在真正應用到工業場景之前，還有很多挑戰需要克服。不過研究人員也表示，它為長久以來困擾分子和材料科學的難題提供了一種新的可能性和解決思路。
此外，求解薛丁格方程在量子化學領域的應用非常廣泛。從計算機視覺到材料科學，它將會帶來人類無法想像的科學進步。雖然這項革命性創新方法離落地應用還有很長的一段路要走，但它出現並活躍在科學世界已足以令人興奮。
如 FrankNoé教授所說：「相信它可以極大地影響量子化學的未來」。
引用連結：
https://www.nature.com/articles/s41557-020-0544-y
https://interestingengineering.com/deep-learning-ai-has-officially-cracked-schrodingers-equation-says-study
https://phys.org/news/2020-12-artificial-intelligence-schrdinger-equation.html
https://interestingengineering.com/schrodingers-cat-paradox-who-killed-the-cat