洛書數獨圖所呈現出來的冪尾數體現了四周期規律，故把這一發現命名為洛書定理，就像不同模數不同餘數的未知數可用孫子算法解決，於是叫孫子定理一樣，儘管現代算法是獨立發現的，我們還是要尊重古人的首次發現權。
那洛書定理的現代數學表達是怎樣的呢？ 用模運算表達就是：
偶數的情形（2 冪數左旋，8 冪數右旋，4冪數雙旋，6冪數自旋）
（2mod10）^（ 4n+1 or 2 or3 or 4）≡（2 or 4 or 8 or 6）mod10；
（8mod10）^（ 4n+1 or 2 or3 or 4）≡（8 or 4 or 2 or 6）mod10；
（4mod10）^（ 4n+1 or 2 or3 or 4）≡（4 or 6 or 4 or 6）mod10；
（6mod10）^（ 4n+1 or 2 or3 or 4）≡（6 or 6 or 6 or 6）mod10；
（0mod10）^（ 4n+1 or 2 or3 or 4）≡（0 or 0 or 0 or 0）mod10 ；
奇數的情形（3 冪數右旋，7 冪數左旋，9冪數雙旋，1冪數自旋）
（3mod10）^（ 4n+1 or 2 or3 or 4）≡（3 or 9 or 7 or 1）mod10；
（7mod10）^（ 4n+1 or 2 or3 or 4）≡（7 or 9 or 3 or 1）mod10；
（9mod10）^（ 4n+1 or 2 or3 or 4）≡（9 or 1 or 9 or 1）mod10；
（1mod10）^（ 4n+1 or 2 or3 or 4）≡（1 or 1 or 1 or 1）mod10；
（5mod10）^（ 4n+1 or 2 or3 or 4）≡（5 or 5 or 5 or 5）mod10 。
證明該定理很容易，根據乘法口訣表，我們進行分類窮舉可得到有限的情形：個位數為5 的奇素數只有 5 一個，其他 5 和 0 為個位數的正整數都能被 5 整除，自乘後尾數不變，且與其他數相乘後，尾數依然是 0 或 5，故在洛書圖裡 0 和 5 居中。由於除 2 外的所有素數都是奇數，所以奇素數的個位數就只能是 3、9、7、1，所有奇合數與奇素數都是奇素數自身或自乘或互乘的結果，故奇數的冪尾數除 5 外，定是 3、9、7、1，偶數的冪尾數除 0 外，剩下的定是 2、4、8、6。即所有不含5因子的整數的冪尾數都在四數周期內循環。
此工具除了能幫助解決費馬猜想、比爾猜想、考拉茲猜想外，還可作為關鍵引理解決「完美立方體問題」，這是一道 300 年來未解決的難題，即勾股數方程 a2+b2+c2= g2 是否有整數解的問題，1719 年由一名叫 Paul Halcke 的專為天文學家進行數據計算的工程師提出。三根稜長和三個面上的對角線都是整數的立方體叫歐拉磚，在歐拉磚（如，三邊為 44，117， 240）的基礎上繼續添加條件「體對角線是整數」的叫完美立方體（perfect cuboid），它要求全部的邊和對角線長都是整數。本原解歐拉磚要求體對角線必須同其他6邊都分別互素，那這樣的完美立方體是否存在呢？本文作者用洛書定理判定它不存在，並給出證明。
歐拉磚有一個重要性質，就是立方體本原解必須有一邊被 5 整除，被 3 整除，被 7整除，被 9整除，被 11 整除，有兩邊被 4 整除。關於勾股數必有一邊含 5 因子的這一性質也被洛書定理所證明，在三元方程中，整數2次方的冪，其個位數經窮盡排列組合，要匹配相等時必有個位數或0或5，故每組三元勾股數中必有一元含5因子數，這個發現和證明都是首次公布，是非常非常重要的數學貢獻。所以這個性質在歐拉磚中也就必然存在，基於這一性質可解決完美立方體問題。
現證明如下，令 gcd（a，b，c）=1，即三元組無公因數，則 g 必與 a、b、c 皆互素， 若非互素，必會導致方程兩邊整數等於分數，故可反證出 g 必與 a、 b、c 三元分別互素， 此時四元組為本原解方程。於是可知四元組 a、b、c、-g 是線性無關組，假如有另四元組a、b、c、g 與其構成的線性組合是線性相關的，即 a2+b2+c2= g2，則 g2 必與 a、b、c 分別互素。假如 g2 有整數解，根據畢達哥拉斯三元組方程性質，那麼在四元組中必有一項含 5 因子數，前文用洛書定理已完成證明了該性質，歐拉磚的定義性質也證明了這一點。歐拉磚三邊必有一邊含 5 因子的這一性質，已有數學家完成證明，其他情形都不是歐拉磚，但也可用洛書定理冪尾數周期律證明。
假如歐拉磚三面的對角線都含 5 因子，即三邊都不含 5 因子，我們來考察方程的性質。先用方程兩邊乘以 2 可得到，2a2+2b2+2c2=2g2，左邊將得到三組含 5 因子的數，這與右邊跟它互素不含 5 因子的條件相矛盾，故該類立方體不是歐拉磚，三邊都不含 5 因子將不構成歐拉磚。因為三面對角線皆含 5 因子，若 2g2 不含 5 因子，必矛盾；若 g2 含 5 因子，g2- a2 必不含 5 因子，而 b2+c2 必含 5 因子，於是也矛盾。這就反證了三面對角線都含 5 因子數的歐拉磚不存在，即三邊都不含 5 因子的非歐拉磚四元組方程可排除。
三邊都含 5 因子數的方程亦可排除，因為不是本原解方程。
若 a2 含 5 因子數，g2 不含 5 因子，-（b2+c2）中必有一項含 5 因子數，否則兩項相加再兩項相減就產生不了 5 因子數，同樣由洛書定理冪尾數周期律以及互異互素運算決定，如此 a、 b、 c 中，就有兩項含 5 因子數， a2、 c2 含 5 因子時， a、c 所關聯的對角線就無法有整數解。此情形不能滿足歐拉磚的條件，因本原解勾股數不存在皆含 5 因子， 也不存在兩個含 5 因子的數，這一點洛書定理已證明，本原解方程也不許有共因子 5，如此就與完美立方體是歐拉磚的要求矛盾了，因此兩邊含 5 因子數的立方體必不是歐拉磚，不可列入完美立方體問題。若 g2 含 5 因子，那此情形的完美立方體方程就不是本原解方程， 與 a、b、c 三邊不能互素，可排除。b2、 c2 的情形亦同，皆可得到在 a、b、c 中會有兩項含 5 因子數，這樣就會與完美立方體至少要求是歐拉磚相矛盾。可見要麼因本原解兩邊長都含 5 因子的數，導致無法產生整數的對角線，故不是歐拉磚方程；要麼因 g2 含 5 因子，不是本原解方程，可排除。
立方體三邊可窮分類為，三邊不含 5 因子、三邊含 5 因子、兩邊含 5 因子、 一邊含 5 因子等四種情形。經推導，在必有歐拉磚的前提下，4 種情形已排除 3 種， 那麼三邊中僅有一邊含 5 因子時就是歐拉磚。於是可證歐拉磚的必要條件只能是三邊必有一邊含 5因子數。現證明歐拉磚不存在有完美立方體。
若 g2 含 5 因子，a、b、c 三邊必有一邊含 5 因子數，否則三項相加產生不了 5 因子數( 歐拉磚性質)，可由洛書定理冪尾數周期律加上互異互素運算來判定，如此 g2 含 5 因子時就與 a、b、c 分別互素的本原解要求矛盾了，若兩元互素則兩兩互素的三元互素方程性質也決定了這一點，g與三邊中的一項互素，必與其他兩項之和互素，否則就不是本原解歐拉磚，故此時 g2可不必判定它是否有整數解。若 g2 不含 5 因子，根據洛書定理，兩個不含 5 因子的互異勾股數，其平方數相加，必產生 5 尾數或 0 尾數，否則就不是歐拉磚，其他尾數不在平方數中（僅含 4、6、0、9、1、5），三邊平方和含 5 因子已不可避免，而本原解方程要求 g 與三邊互素，不含 5 因子，如此方程就變成了不等式，完美立方體方程必無整數解獲證。
通俗地說，此問題是通過等式尾數無法對齊解決的，即方程兩邊最後計算出的數值個位數無法匹配成相同數，這一點被洛書定理的冪尾數周期律所確定，它要麼兩邊互素是不等式，本原解無解，要麼是兩邊合成三元方程時每項有公因子5，屬於非本原解方程，本原解無解，通解就無解。這是一道無須數學大咖就能驗證解法是否正確的數學難題，儘管全世界數學家苦苦思考了它 300多 年。
這樣歐拉磚的體對角線，經洛書定理和互素性質證明，g 必無整數解，其他情形，要麼就不是歐拉磚方程，要麼就不是本原解方程。綜合以上所有可能發生的情形，可推理出完美立方體本原解方程必無整數解，當然也就無整數通解，無本原解必無通解。也就是說完美立方體並不存在。
可見洛書定理是非常強大，非常管用的數學工具。
該文收錄於最近由海天出版社出版的羅莫的代數加性數論專輯《數學底層引擎相鄰論和重合法》（56萬字）一書中，見 p360。本書還收錄了證明哥德巴赫猜想、孿生素數猜想，四色猜想， 比爾猜想、考拉茲猜想、abc 猜想、黎曼猜想等多道世界未解難題的完整解決方案。（羅莫）