兩種方法求不定積分∫dx/「(2+cosx)sinx」

主要內容：

本文主要通過待定係數法、三角換元法兩種方法，詳細介紹求不定積分∫dx/[(2+cosx)sinx]的具體步驟。

方法一：

主要思路：湊分和待定係數法綜合應用。

∫dx/[(2+cosx)sinx]

=∫sinxdx/[(2+cosx)sin^2x]

=-∫dcosx/[(2+cosx)(1-cos^2x)]

=∫[A/(2+cosx)+B/(1-cosx)+C/(1+cosx)]dcosx

=∫[(1/3)/(2+cosx)-(1/6)/(1-cosx)-(1/2)/(1+cosx)]dcosx

=(1/3)∫dcosx/(cosx+2)-(1/2)∫dcosx/(cosx+1)+(1/6)∫dcosx/(cosx-1)

=(1/3)ln(cosx+2)-(1/2)ln(cosx+1)+(1/6)ln(1-cosx)+C.

=(1/6)ln[(cosx+2)^2*(1-cosx)/(cosx+1)^3]+C.

方法二：

主要思路：三角換元，設tanx/2=t,則x=2arctant。

代入不定積分得：

∫dx/[(2+cosx)sinx]

=∫d(2arctant)/{[2+(1-t^2)/(1+t^2)]*[2t/(t^2+1)]}

=2∫dt/{[2+(1-t^2)/(1+t^2)]*2t}

=∫(t^2+1)dt/[t(t^2+3)]

=(1/3)∫dt/t+(2/3)∫tdt/(t^2+3)

=(1/3)lnt+(1/3)∫dt^2/(t^2+3)

=(1/3)ln(tanx/2)+(1/3)ln[(tanx/2)^2+3]+C

=(1/3)ln{(tanx/2)*[(tanx/2)^2+3]}+C

可見：同一個不定積分的原函數表達式不唯一，但最終可以化簡成同一個函數。

更多方法，歡迎大家討論學習。