C語言中要求平方根,可以在頭文件中加入#include <math.h>.然後調用sqrt(n);函數即可。但在單片機中調用此函數無疑會耗費大量資源和時間，是極不合適的。在此，總結下網上常見的四種單片機常用開方根算法：
對於擁有專門的乘除法指令的單片機，可採用以下兩種方法：
1、二分法
對於一個非負數n，它的平方根不會小於大於（n/2+1）（謝謝@linzhi-cs提醒）。在[0, n/2+1]這個範圍內可以進行二分搜索，求出n的平方根。
-------------------------------------------------------------------------------
1 int sqrt(int x) { 2 long long i = 0; 3 long long j = x / 2 + 1; 4 while (i <= j) 5 { 6 long long mid = (i + j) / 2; 7 long long sq = mid * mid; 8 if (sq == x) return mid; 9 else if (sq < x) i = mid + 1;10 else j = mid - 1;11 }12 return j;13 }
-------------------------------------------------------------------------------
2、更為常用的牛頓迭代法
-------------------------------------------------------------------------------
1 int sqrt(int x) { 2 if (x == 0) return 0; 3 double last = 0; 4 double res = 1; 5 while (res != last) 6 { 7 last = res; 8 res = (res + x / res) / 2; 9 }10 return int(res);11 }
-------------------------------------------------------------------------------
牛頓迭代法也可以求解多次方程。
對於不帶乘除法指令的單片機，可採取以下兩種算法：
算法3:
本算法只採用移位、加減法、判斷和循環實現，因為它不需要浮點運算，也不需要乘除運算，因此可以很方便地運用到各種晶片上去。
我們先來看看10進位下是如何手工計算開方的：
先看下面兩個算式：
x = 10*p + q (1)
公式(1)左右平方之後得：
x^2 = 100*p^2 + 20pq + q^2 (2)
現在假設我們知道x^2和p，希望求出q來，求出了q也就求出了x^2的開方x了。
我們把公式(2)改寫為如下格式：
q = (x^2 - 100*p^2)/(20*p+q) (3)
這個算式左右都有q，因此無法直接計算出q來，因此手工的開方算法和手工除法算法一樣有一步需要猜值。
我們來一個手工計算的例子：計算1234567890的開方
首先我們把這個數兩位兩位一組分開，計算出最高位為3。也就是(3)中的p，最下面一行的334為餘數，也就是公式(3)中的(x^2 - 100*p^2)近似值
3 --------------- | 12 34 56 78 90 9 --------------- | 3 34
下面我們要找到一個0-9的數q使它最接近滿足公式(3)。我們先把p乘以20寫在334左邊：
3 q --------------- | 12 34 56 78 90 9 --------------- 6q| 3 34
我們看到q為5時(60+q*q)的值最接近334，而且不超過334。於是我們得到：
3 5 --------------- | 12 34 56 78 90 9 --------------- 65| 3 34 | 3 25 --------------- 9 56
接下來就是重複上面的步驟了，這裡就不再囉嗦了。
這個手工算法其實和10進位關係不大，因此我們可以很容易的把它改為二進位，改為二進位之後，公式(3)就變成了：
q = (x^2 - 4*p^2)/(4*p+q) (4)
我們來看一個例子，計算100(二進位1100100)的開方：
1 0 1 0 --------------- | 1 10 01 00 1 --------------- 100| 0 10 | 0 00 --------------- | 10 011001| 10 01 --------------- 0 00
這裡每一步不再是把p乘以20了，而是把p乘以4，也就是把p右移兩位，而由於q的值只能為0或者1，所以我們只需要判斷餘數(x^2 - 4*p^2)和(4*p+1)的大小關係，如果餘數大於等於(4*p+q)那麼該上一個1，否則該上一個0。
下面給出完成的C語言程序，其中root表示p，rem表示每步計算之後的餘數，divisor表示(4*p+1)，通過a>>30取a的最高 2位，通過a<<=2將計算後的最高2位剔除。其中root的兩次<<1相當於4*p。程序完全是按照手工計算改寫的，應該不難理解。
-------------------------------------------------------------------------------
unsigned short sqrt(unsigned long a){ unsigned long rem = 0; unsigned long root = 0; unsigned long divisor = 0; for(int i=0; i<16; i++){ root <<= 1; rem = ((rem << 2) + (a >> 30)); a <<= 2; divisor = (root<<1) + 1; if(divisor <= rem){ rem -= divisor; root++; } } return (unsigned short)(root); }
-------------------------------------------------------------------------------
算法4
這種方法比牛頓迭代法更加快速的方法。
1.原理
下述用pow(X,Y)表示X的Y次冪，用B[0]，B[1]，...，B[m-1]表示一個序列，
其中[x]為下標。
假設：
B[x],b[x]都是二進位序列,取值0或1。
1、 M = B[m-1]*pow(2,m-1) + B[m-2]*pow(2,m-2) + ... + B[1]*pow(2,1) + B[0]*pow
(2,0)
2、 N = b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-2]*pow(2,n-2) + ... + b[1]*pow(2,1) + n[0]*pow
(2,0)
3、 pow(N,2) = M
(1) N的最高位b[n-1]可以根據M的最高位B[m-1]直接求得。
設 m 已知,因為 pow(2, m-1) <= M <= pow(2, m)，所以 pow(2, (m-1)/2) <= N <=
pow(2, m/2)
如果 m 是奇數，設m=2*k+1,
那麼 pow(2,k) <= N < pow(2, 1/2+k) < pow(2, k+1),
n-1=k, n=k+1=(m+1)/2
如果 m 是偶數，設m=2k,
那麼 pow(2,k) > N >= pow(2, k-1/2) > pow(2, k-1),
n-1=k-1,n=k=m/2
所以b[n-1]完全由B[m-1]決定。
餘數 M[1] = M - b[n-1]*pow(2, 2*n-2)
(2) N的次高位b[n-2]可以採用試探法來確定。
因為b[n-1]=1，假設b[n-2]=1，則 pow(b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-1]*pow(2,n-2),
2) = b[n-1]*pow(2,2*n-2) + (b[n-1]*pow(2,2*n-2) + b[n-2]*pow(2,2*n-4)),
然後比較餘數M[1]是否大於等於 (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4)。這種
比較只須根據B[m-1]、B[m-2]、...、B[2*n-4]便可做出判斷，其餘低位不做比較。
若 M[1] >= (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 則假設有效，b[n-2] =
1；
餘數 M[2] = M[1] - pow(pow(2,n-1)*b[n-1] + pow(2,n-2)*b[n-2], 2) = M[1] -
(pow(2,2)+1)*pow(2,2*n-4)；
若 M[1] < (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 則假設無效，b[n-2] =
0；餘數 M[2] = M[1]。
(3) 同理，可以從高位到低位逐位求出M的平方根N的各位。
使用這種算法計算32位數的平方根時最多只須比較16次，而且每次比較時不必把M的各位逐
一比較，尤其是開始時比較的位數很少，所以消耗的時間遠低於牛頓迭代法。
2. 實現代碼
這裡給出實現32位無符號整數開方得到16位無符號整數的C語言代碼。
-------------------------------------------------------------------------------
/****************************************/ /*Function: 開根號處理 */ /*入口參數：被開方數，長整型 */ /*出口參數：開方結果，整型 */ /****************************************/ unsigned int sqrt_16(unsigned long M) { unsigned int N, i; unsigned long tmp, ttp; // 結果、循環計數 if (M == 0) // 被開方數，開方結果也為0 return 0; N = 0; tmp = (M >> 30); // 獲取最高位：B[m-1] M <<= 2; if (tmp > 1) // 最高位為1 { N ++; // 結果當前位為1，否則為默認的0 tmp -= N; } for (i=15; i>0; i--) // 求剩餘的15位 { N <<= 1; // 左移一位 tmp <<= 2; tmp += (M >> 30); // 假設 ttp = N; ttp = (ttp<<1)+1; M <<= 2; if (tmp >= ttp) // 假設成立 { tmp -= ttp; N ++; } } return N; }
-------------------------------------------------------------------------------
以上算法結尾網上收集所得，雖然原理可能比較難懂，但都可在單片機中實際運用。