「石頭剪刀布」的白富美玩法

2020-12-21 光明網

　　由隨機變量 X 和 Y ，構造另一個隨機變量 Z =[2(1+ X + Y )] mod3。由於任意兩個隨機變量都可構成一個通信信道，所以，以 X 為輸入，以 Z 為輸出，我們就得到一個通信信道（ X ； Z ），稱之為「甲方信道」。

　　如果在某次遊戲中甲方贏，那麼，就只可能有三種情況：

　　情況1，「甲出剪刀，乙出布」，即，「 X=0 ， Y=2 」，這也等價於「 X=0 ， Z=0 」，即，「甲方信道」的輸入等於輸出；

　　情況2，「甲出石頭，乙出剪刀」，即，「 X=1 ， Y=0 」，這也等價於「 X=1 ， Z=1 」，即，「甲方信道」的輸入等於輸出；

　　情況3，「甲出布，乙出石頭」，即，「 X=2 ， Y=1 」，這也等價於「 X=2 ， Z=2 」，即，「甲方信道」的輸入等於輸出。

　　反過來，如果「甲方信道」將1比特信息成功地從發端送到了收端，那麼，也只有三種可能的情況：

　　情況1，輸入和輸出都等於0，即，「 X=0 ， Z=0 」，這也等價於「 X=0 ， Y=2 」，即，「甲出剪刀，乙出布」，即，甲贏；

　　情況2，輸入和輸出都等於1，即，「 X=1 ， Z=1 」，這也等價於「 X=1 ， Y=0 」，即，「甲出石頭，乙出剪刀」，即，甲贏；

　　情況3，輸入和輸出都等於2，即，「 X=2 ， Z=2 」，這也等價於「 X=2 ， Y=1 」，即，「甲出布，乙出石頭」，即，甲贏。

　　綜合以上正反兩方面，共六種情況，就得到一個重要引理：

　　引理1：甲贏一次，就意味著「甲方信道」成功地把1比特信息，從發端送到了收端；反之亦然。

　　再利用隨機變量 Y 和 Z 構造一個信道（ Y ； Z ），稱之為「乙方信道」，它以 Y 為輸入，以 Z 為輸出。那麼，仿照前面的論述，我們可得如下引理：

　　引理2：乙方贏一次，就意味著「乙方信道」成功地把1比特信息，從發端送到了收端；反之亦然。

　　由此可見，甲乙雙方玩「石頭剪刀布」的輸贏問題，就轉化成了「甲方信道」和「乙方信道」能否成功地傳輸信息比特的問題。根據仙農第二定理[3]，我們知道：信道容量就等於該信道能夠成功傳輸的信息比特數。所以，「石頭剪刀布」的遊戲問題，就轉化成了信道容量問題。更準確地說，我們有如下定理：

　　定理1（「石頭剪刀布」定理）：如果剔除「平局」不考慮（即，忽略甲乙雙方都出相同手勢的情況），那麼，

　　1）針對甲方來說，對任意 k/n ≤ C ，都一定有某種技巧（對應於仙農編碼），使得，在 nC 次遊戲中，甲方能夠勝乙方 k 次；如果在某 m 次遊戲中，甲方已經勝出乙方 u 次，那麼，一定有 u ≤ mC 。這裡 C 是「甲方信道」的容量。

　　2）針對乙方來說，對任意 k/n ≤ D ，都一定有某種技巧（對應於仙農編碼），使得，在 nD 次遊戲中，乙方能夠勝甲方 k 次；如果在某 m 次遊戲中，乙方已經勝出甲方 u 次，那麼，一定有 u ≤ mD 。這裡 D 是「乙方信道」的容量。

　　3）如果 C < D ，那麼，整體上甲方會輸；如果 C > D ，那麼，整體上甲方會贏；如果 C = D ，那麼，甲乙雙方勢均力敵。

　　由於「甲方信道」和「乙方信道」的信道容量都有現成的計算公式，為避免喧賓奪主，更為了不少讀者朋友被過多的數學公式嚇跑，我們就在些略去 C 和 D 的計算細節了。

　　（三）巧勝策略

　　根據定理1，可知，甲乙雙方在「石頭剪刀布」遊戲中的勝負，其實已經事先就「天定」了，某方若想爭取更大的勝利，那麼，他就必須努力「改變命運」。下面分幾種情況來考慮：

　　3.1：兩個傻瓜之間的遊戲

　　所謂「兩個傻瓜」，意指甲乙雙方都固守自己的習慣，無論過去的輸贏情況怎樣，他們都按既定習慣「出牌」。這時，從定理1，我們已經知道：如果 C < D ，那麼，整體上甲方會輸；如果 C > D ，那麼，整體上甲方會贏；如果 C = D ，那麼，甲乙雙方勢均力敵。

　　3.2 一個傻瓜與一個智者之間的遊戲

　　如果甲是傻瓜，他仍然堅持其固有的習慣「出牌」，那麼，雙方對抗足夠多的次數後，乙方就可以計算出對應於甲方的，隨機變量 X 的分布概率 p 和 q ，以及相關的條件概率分布，並最終計算出「甲方信道」的信道容量，然後，再通過調整自己的習慣（即，隨機變量 Y 的概率分布和相應的條件概率分布等），最終增大自己的「乙方信道」的信道容量，從而，使得後續的遊戲對自己更有利；甚至使「乙方信道」的信道容量大於「甲方信道」的信道容量，最終使得自己穩操勝券。

　　3.3 兩個智者之間的遊戲

　　如果甲和乙雙方，都隨時在總結對方的習慣，並對自己的「出牌」習慣做調整，即，增大自己的信道容量。那麼，最終，甲乙雙方的「信道容量」值將趨於相等，即，他們之間的遊戲競爭將趨於平衡，達到動態穩定的狀態。

　　（四）結束語

　　「攻防」是安全的核心，所以，在建立「安全通論」的過程中，多花一些精力去深入研究「攻防」也是值得的。

　　在[2]中，我們研究了「安全通論」的盲對抗問題，本文研究的「石頭剪刀布」遊戲則是一種「非盲對抗」，但由於它的普及率極高（幾千年來，全世界每個人在童年時代幾乎都玩過），所以，我們以單獨一篇論文的形式來研究它。有關其它一些有代表性的「非盲對抗」，我們將在隨後的文章中研究。

　　當然，換一個角度來看，也可以說：我們的「安全通論」雖然剛剛誕生，它就大顯身手，成功地掃清了古老「石頭剪刀布」遊戲中的若干迷霧。所以，「安全通論」確定大有前途。

　　作者楊義先、鈕心忻，系北京郵電大學教授

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