線性代數中矩陣的秩是非常重要的一個概念，它不僅可以用來判斷線性方程組的解的情況，也是描述矩陣重要特徵的一個概念。由於許多數學符號無法正常顯示，例如轉秩符號，AxMath和MathType等數學公式編譯器也使用不上，所以可能會有一些表述不夠直觀，還請多多包涵。小編思考了很久，如何來講解矩陣的秩是這個概念，才能讓大家通俗易懂的理解。想想還是給大家介紹證明思路比較合適，相對於邏輯思路，結論是次要的，邏輯思路是學習數學的重要環節，因為數學是嚴密的、邏輯的。接下來我們直接看乾貨，常見矩陣秩不等式的總結。
矩陣秩的定義
(1)從矩陣的子式出發來定義：
設在矩陣中有一個非零的r階子式，且所有r+1階子式的值均為零。則的值稱為矩陣的秩為r，記為r（A）或rank(A)。
(2)從向量組的極大線性無關組出發來定義：
把矩陣的每一列(或每一行)都看作成向量，那麼這組列向量(或行向量)的極大線性無關組的向量個數，即為矩陣的秩。
矩陣的秩不等式
(1)矩陣A的秩等於矩陣A的轉置的秩，也即矩陣的行秩=列秩。
證明思路：一個矩陣經過一系列初等變換，都可以對應到一個標準型，而標準型的非零行數就是矩陣的秩。又因為矩陣的標準型是唯一的，所以矩陣的行秩與矩陣的列秩一定相等。
(2)矩陣A的秩等於矩陣A轉置乘矩陣A的秩。
證明思路：分別構造構造齊次的線性方程組，Ax=0與A轉置乘Ax=0同解。因為可以使用前面一個方程式子推到後面一個方程式，反之，倒過來也成立。兩個方程組同解，故秩相等，即得到證明。
(3)矩陣A加矩陣B和的秩小於等於矩陣A的秩加矩陣B的秩，即rank(A+B)≤rank(A)+rank(B)。
證明思路：把矩陣A與矩陣B分別都看成列向量的形式，利用向量組之間線性表出的關係以及極大線性無關組的概念可進行證明，具體如下：
(4)矩陣AB的秩小於等於矩陣a的秩與矩陣B中秩中最小的那個，即rank(AB)≤min｛rank(A)，rank（B）｝。
證明思路：把矩陣A看成列向量的形式，把矩陣B看成(bij)，就可以得到AB的每一個列向量都可以由A的列向量線性表出，即得到了矩陣AB的秩小於等於矩陣A的秩。反過來同理，把矩陣B看作為行向量的形式，具體如下圖：
(5)A為m×n階矩陣，B為n×s階矩陣，而且AB=0，那麼rank(A)+rank(B)≤n。
證明思路：由AB=0，那麼我們得到B的每一列向量都是齊次方程組Ax=0解，那麼Ax=0的基礎解系的個數是n-rank(A)，也即最多有n-rank(A)個線性無關的解，即得證。
(6)若矩陣P、Q可逆，那麼有rank(PA)=rank(AQ)=rank(A)。
證明思路：這個應該比較容易理解，矩陣左乘以一個可逆矩陣，相當於對矩陣進行了初等行變換，矩陣右乘一個可逆矩陣，相當於對矩陣進行了初等列變換，而矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，所以命題成立。
(7)當然，還有很多的重要秩不等式，例如Forbenius秩不等式，Sylvester秩不等式，及一系列的分塊矩陣秩不等式等等。還有一些常見且重要的矩陣秩不等式，具體如下圖。
矩陣秩的意義
通俗的來說：
矩陣的秩就是矩陣中最有意義、最有價值信息的數量。小編的高等代數老師，上課時是這樣解釋的，當時正值上午第四節課要吃飯了，假如每一個同學都可以點自己喜歡的菜，一般來說肯定有部分同學點的菜是一樣的，那麼去除掉那些點重複的菜的同學，剩下的這些同學就包含了全班同學點的全部菜單了。
嚴謹的來說：
矩陣列向量張成的空間的維數dimension of the space spanned by the coulomb vector of the matrix
我的一點學習建議
小編在文中，也只是列舉了一些基礎的、常考的、常用的矩陣的秩不等式，這都是同學們必需要會的，最好能夠記住它們。上面圖中矩陣的秩不等式，建議大家也最好都能夠熟悉、自己推導出它們每一個的證明過程，以及之後每碰到一個秩不等式都歸納到一起，用不了多久，矩陣秩不等式的題型，無論是期末考還是考研線性代數，基本都可以輕輕鬆鬆拿下高分。