在涉及三角形及四邊形（含梯形）的證明和計算題中，經常會用到「中位線」。「中位線理論」出現在初中數學「平行四邊形及特殊的四邊形」相關內容裡。在四邊形的求證題型，特別是有關線段長度求證和計算過程中，利用中位線理論，有時可以意想不到的便利。三角形的求證，也可以從平行四邊形相關求證方法中借鑑一二。
考慮到初中數學的數形結合證明題中，四邊形的證題有時會出現涉及梯形的求證題型，而且梯形的中位線與三角形和四邊形中位線的使用方法相通，因此，本文將梯形中位線做為拓展知識一起講述。需要注意的是，「中位線理論」在三角形的求證題型中，應用的次數要多於四邊形（含梯形）。
一、中位線定義：
把連接三角形任意兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。
梯形中位線定義：連結梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線，注意：連結兩腰中點的線段，不是連結兩底中點的線段．
二、中位線的性質及相關內容：
1、三角形的中位線：平行於第三邊，並且等於第三邊的一半。（這裡要注意：中點的位置；中位線與第三邊的位置和數量關係）。
梯形的中位線：平行於兩底，並且等於兩底和的一半。
2、中位線的應用範圍：
①判別線段的位置（平行）關係
②確定線段的大小、倍數、和差等關係；
③計算圖形中某線段的長度：利用中位線起到「橋梁樞紐」關係；
3、中位線應用「提示」：數形結合類題目中，尤其在三角形求證類題目，已知條件出現「某線段中點」，或者在證明過程中出現「某線段的中點」內容，就要聯想到「中位線理論」。
4、運用方法：在解題過程中，儘可能添找中點，確認、或者利用輔導線構建包含帶有中點的三角形，或者梯形（四邊形，或者是平行四邊形），使用含有中點的線段，重新構建三角形。梯形題型的解法類似於三角形和四邊形，「舉一反三」即可。
5、中位線定理的可逆：
①經過三角形一邊中點，平行於另一邊的直線，必定平分第三邊；
②經過梯形一腰的中點與底邊平行的直線，必定平分另一腰；
由「中位線定理」的可逆性，聯想到「平行線截比例線段定理」，這個定理在相似三角形有關內容的求證時應用比較廣泛：一組平行線在一直線上截得相等線段，在其他直線上截得的線段也必定相等。
6、分清「中位線和中線」的區別：要把三角形的中位線與三角形的中線區分開，三角形中線是連結一頂點和它的對邊中點的線段，而三角形中位線是連結三角形兩邊中點的線段。
三、例題：
【例1】已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點，F是AE的中點，FC與BE交於G．求證：GF=GC。
【解析】在初中知識中，能證明線段相等的方法通常是兩種：①等邊對等角；②證明全等。採用何種方法，與題中給出的條件和暗示相關：前者需要有角度的提示，或者出現證明角度相等的隱含提示；後者則是比較通用的方法，只要能找到符合證明普通三角形全等定理的條件，就可以證明。但本題明顯不屬於兩者中任意一種。於是，從題目中已知條件「E是CD的中點，F是AE的中點」尋找到解題突破口：聯想到「中位線定理」，通過 「中位線」構築「平行四邊形」，進而利用平行四邊形的性質：「平行四邊形的對角線相互平分」，可以求證。
【解析】取BE中點H，連接FH，CH。
∵F是AE的中點，
∴FH∥AB，AB=2FH
又 ∵ CD∥AB，E是DC的中點，
∴AB=2DE=2EC
∴CE∥FH，CE=FH
∴四邊形FHCE是平行四邊形，
∴GF=GC
【例2】已知：在△ABC中，BC>AC， AD=BC，連結DC。過AB、DC的中點E、F作直線，直線EF與直線AD、BC分別相交於點M、N。∠AMF=∠BNE。
【解析】若想證明∠ENB=∠AMF，考慮到已知條件中「E、F是AB、DC的中點」，因此，最好的方法是添加輔導線，利用中位線和平行線的關係求證。
【證明】取AC的中點H，連結HF，HE
∵F是DC中點，H是AC中點，
∴△ACD中，HF∥AD，AD=2HF
∴∠AMF=∠HFE（兩直線平行，同位角相等）
同理，在△ACB中，HE∥BC，BC=2HE
∵AD=BC
∴HF=HE
∴∠HEF=∠HFE
∴∠AMF =∠ENB
最後，贅述一句：在「數形結合」的解題過程中，首先要「讀懂題」，理解題意，「題目說的是什麼、求什麼」；其次要注意「題設與求證」之間「需要用什麼方法聯通」，深挖「題設部分與求證部分的內容之間，涉及到哪些定理定律」。找到彼此之間的聯絡，解題思路就會順然而開，至於解題方法，其實排在第三位。這也是平時所謂的「解題思維」。（昨天的一篇文章，不小心信用分被扣10分，真令人沮喪。謝謝您的本次閱讀，敬請繼續關注作者「觀海松說教育」。如果您有更好建議，敬請評論分享。）