□南風信 整理
一位藝術家問他的一位數學家朋友：「數學家每天都在忙些什麼呢？」這位數學家決定寫本書來回答。他希望給讀者提供一個嶄新的視角，重新了解和欣賞數學的美，告訴大家「麥可·喬丹的灌籃如何完美地詮釋了微積分的原理」、「怎樣翻轉床墊才能最大化地延長床墊的壽命」、「結婚之前，到底談多少次戀愛才最合理」……他說，我們的生活中充滿了數學，是否能看到它們，取決於你有沒有一雙善於發現的眼睛。
這位數學家就是美國康奈爾大學的應用數學系教授史蒂夫·斯託加茨，而這本書則是今年4月出版的《X的奇幻之旅》。以下摘自此書部分內容分享，看看數學如何無處不在。
算一算
股票是賠還是賺？老婆太小還是太老？
算術是不斷尋找更全面、更完美的數字的過程。如果我們只滿足於數數，滿足於加法和乘法運算，那麼自然數，也就是1、2、3……已足夠用了。但是，聰明的人類絕不會滿足於此。於是有了「零」，又有了「負數」、「分數」、「小數」和「百分數」……而「代數」更是一個令很多人頭痛不已的科目：複雜的符號、定義、解法，通通混在一起，令人頭暈目眩、無所適從。但是，它們的本質其實都很簡單，它們之所以會出現，就是因為我們在日常生活中常常不自覺地使用到。
就算是一種很特殊的公式——恆等式，在生活中也經常被用到。比如你可以快速地心算出48的平方數——你只要先計算50的平方數，也就是2500，然後算出50和你所要計算的數字的差，用這個差乘以100。再用2500減去這個乘積就可以了。這樣要算48的平方數，就用50減去48等於2，再用2500減去200，即得出2300。這裡就用到了恆等式：
（50＋X）2=2500＋100X＋X2
任何投資股市的人也都可能會用到恆等式。假設某一年間股市低迷，你的投資組合慘痛地縮水50%，然後第二年股市反彈，你的投資組合又漲了50%，那麼你最終是賺了還是賠了呢？答案是，最終你的投資組合和兩年前的初始價值相比仍然賠掉了25%。原因就在於，第一年你的投資組合跌了1/2，年末價值是初始值乘以0.5。第二年股價又上升了50%，所以第二年年末的最終價值等於第一年年末價值乘以1.5。最終，你的投資組合的價值是初始值乘以0.5，再乘以1.5，也就是初始值的0.75。事實上，如果你的投資組合在兩個相鄰的年份中一賠一賺，那麼不管你是先賠再賺還是先賺再賠，只要賺和賠的比率數值一樣，最後算算淨值，你一定還是賠錢的。因為我們有如下這樣一個恆等式：
（1－X（1＋X）=1－X2
不過，代數這些公式有時也是武斷和沒有道理的。比如，有種觀點認為，情侶之間的年齡差距不應該過大。到底年齡差距多大算是過大呢？有網站竟給出了這樣一個「魔法公式」：如果你的年齡是X，那麼你的戀人的年齡必須大於X/2＋7。按這種算法，如果一位82歲的老先生想追求一位小於48歲的中年女士，就已經是不合適了……只是，姻緣到底合不合適，還得當事人說了算吧？
算一算
冷熱水龍頭一起灌滿浴缸需要多長時間？
宇宙萬物的內在邏輯，都可以用數字與數字之間的關係來表示。比如因與果、供與求、輸入和輸出、措施和效果。我們應該學習和訓練自己的這種能力，學會思考和分析數字與數字之間的關係。
比如我們可能都曾遇到過這樣一道很經典的應用題：如果只開冷水龍頭，灌滿浴缸需要半個小時；如果只開熱水龍頭，灌滿浴缸需要1個小時。問：如果把冷水龍頭和熱水龍頭同時打開，灌滿浴缸需要多長時間？
我們最初聽到這道題，腦袋一定像那個浴缸一樣，混亂一片，摸不著頭緒。
但數學家會輕鬆地解答：冷水龍頭30分鐘能灌滿浴缸，也就是說每分鐘可以灌滿浴缸的1/30；而熱水龍頭要60分鐘才能灌滿浴缸，也就是說，熱水龍頭每分鐘可以灌滿浴缸的1/60。那麼，如果把冷水龍頭和熱水龍頭同時打開，每分鐘可以灌滿浴缸的1/20。答案很快便浮出水面，即20分鐘可以灌滿整個浴缸。
這種解法不僅涉及分數，還用到了最小公倍數的知識。但這道題還有別的更有意思的解法。比如，假設現在不只是有一個浴缸和兩個水龍頭，我們用一冷一熱兩個水龍頭分別給幾個浴缸灌水，60分鐘以後，熱水龍頭正好灌滿了1個浴缸，而冷水龍頭顯然已經灌滿了2個浴缸。也就是說，兩個水龍頭同時打開，60分鐘共計灌滿了3個浴缸。那麼灌滿一個浴缸需要多長時間呢？當然是60分鐘的1/3，也就是20分鐘。
這道題再延展開去，可能又出現這樣一道題：一位老奶奶要過馬路，如果無人幫助，她需要耗時60秒鐘；而你單獨過馬路只要30秒鐘，如果要你去攙扶老奶奶一起過馬路，需要多長時間呢？這個題目的答案是45秒鐘。
這個問題與浴缸的問題看上去很相似，但它們又有本質的區別：在浴缸問題中，兩個水龍頭雖然同時在放水，但灌水速度完全不受對方影響；而你和老奶奶卻是互相影響著對方的。
我們通常會因為直覺自動開啟了「模式識別」的功能，對這兩道題給出同樣的答案，但顯然這個「模式」是靠不住的，因為我們的潛意識通常沒有那麼敏銳，無法第一時間發現其中那個重要區別。
很多應用題的問法中都故意埋藏了一些文字陷阱，如果你憑直覺回答，就會掉入這些陷阱。比如這樣一道題目：3個人可以在3小時內漆完3段籬笆，那麼1個人漆完1段籬笆需要幾個小時呢？很多人可能會脫口而出：「1個小時。」而正確答案是「3個小時」。
這道題因為讀起來跟順口溜似的，很容易地在你的腦海中建立起了一個鼓點般的韻律，這種條件和問題的「平行」結構使得人們很容易給出一個在語言音律學上感覺正確、但是數學計算上卻完全錯誤的結論。
能不被表象所迷惑，冷靜客觀地審題，才是答對本題的關鍵。這種能力其實就可以通過數學課反覆訓練而來。
算一算
如何翻轉才能使床墊磨損率最小？
著名物理學家理察·費曼有一則逸事：他在入伍體檢時，需要通過精神科醫生的檢查。當醫生讓費曼把手伸出來給他看，費曼立刻伸出的雙手，是一隻手手掌朝上，另一隻手手背朝上。醫生說：「不是這樣，把手翻過來。」費曼聞聲又把雙手都翻了過來，還是一隻手手掌朝上，另一隻手手背朝上。這顯然是個惡作劇。但只有懂得「群論」的理科生才能體會其中的幽默。
「群論」是指針對一些數學行為的集合展開的討論。其實你可能經常這麼做——因為它討論的是科學和藝術的一個共同的主題：對於「對稱」的永恆追求與熱愛。更準確地說，「群論」討論的是這樣一個問題：在一定限制條件下，有多少種方式可以轉化一個形狀，但這個形狀的本質卻保持不變？這些轉化的方式，就叫做這個形狀的「對稱性」。這些轉化方式的集合形成一個「群」後，「群」的性質便定義了這個形狀的最本質特徵。
美國的一位科普作家布萊恩·海斯在《臥室中的群論》一書中就是利用群論的方法，討論關於如何定期翻轉床墊才是最佳的？怎麼翻轉才能讓床墊的磨損最均勻呢？
床墊製造商會建議顧客定期翻轉床墊，以使床墊的磨損更加均勻，這能延長床墊使用壽命。但對於一個床墊來說，我們只可以通過一些轉化方式，改變床墊在空間中的方向，最終這些轉化仍然必須保持床墊的形狀不變。有了這些條件，便形成了一個有規則和規律的「群」。
事實上，只有4種方式是符合上述條件的：第一種方式是什麼也不做。雖然它對延長床墊的壽命毫無幫助，但我們仍然必須把它視作這個「群」的一個元素。這種什麼都不做的轉化方式就像「加法中的0」或「乘法中的1」一樣重要，數學家們稱它為「單位元素」，符號為I。另外3種翻轉床墊的方式還包括：「水平翻轉」、「豎直翻轉」以及保持床墊正面朝上，把它旋轉半圈，讓床頭變成床尾、床尾變成床頭的「旋轉翻轉」。
這4種轉化方式之間的關係，反映出床墊這個物體的對稱性質。注意，在這個「群」中，任何兩種轉化方式的先後順序都可以互相交換，轉化的結果卻保持不變，這其實也是「加法交換率」的一種更廣義的形式。
那麼，到底怎樣翻轉床墊才能使磨損最為均勻？答案是，只要周期性地調整床墊的狀態，讓床墊處於這4種狀態的時間相等就可以了。
但這裡用到的「群論」的魅力在於，它把很多外表看來毫無聯繫的事物的本質挖掘出來，讓我們知道這些風馬牛不相及的事情其實具有相同的抽象本質。比如，床墊的翻轉、一組電器開關狀態的變化邏輯，以及水分子的對稱性，其實都可以用上面的這個「群」來表示。
當然，我如此舉例說明，只是想說數學在我們的生活中無處不在，但如果你覺得用「群論」的方法來解決床墊問題，未免太令人頭暈了，也可以回歸一個簡單的真理：如果有什麼數學問題或者事情讓你感到煩惱，最好的解決方法就是先放下它，倒頭大睡一場再說。
算一算
結婚前，你談幾場戀愛才合適？
在數學中，有些數字特別有名，它們有自己專屬的符號。比如圓周率π，π這個數字寫成小數的話就是3.14159……此外，還有比較知名的就是虛數i、代表指數增長的e，等等。
以e為例。這個世界上，幾乎你能想到的地方以及你想不到的地方，全都有e的身影。e不僅可以用來描述核能源的鏈式反應和人口爆炸，還能告訴你結婚之前交往多少個女友（男友）最合適。
e的數值是2.71828……它是一個無限數列的和。為了給大家一個直觀印象，我們先來看看e的應用。假設你把1000美元的本金存入銀行，銀行慷慨地承諾給你100%的年利息，每年複利一次。一年以後，你的帳戶裡已經有2000美元的資金了。如果利率保持不變的話，你要求改為每半年複利一次——6個月之後，銀行便付給你50%的利息——那麼一年後，你的1000美元的本金就能變成2250美元。與每年複利一次的情況相比，每半年複利一次可以讓你一年多賺250美元。如果你繼續要求更改複利頻率，比如每天複利一次、每秒複利一次……你是不是就發財了呢？結果是你也許會多了一些收益，但其實也多不了太多，在連續複利的情況下，你的收益數字正好等於1000美元乘以e——這就是一個典型的微積分方程式。
當我們計算很多微小事件帶來的總體變化的時候，e的身影往往就會出現。比如在考慮世界人口的增長問題時。比如我們想針對時間上或者空間上的位置來計算我們的婚姻——結婚之前，談幾場戀愛最合適的時候。
從時間上來計算「你何時能遇到真愛」的方法是這樣的：首先，我們假設你知道你的一生中一共可以遇見多少位潛在的人生伴侶。這個數字具體是多少並不重要，重要的是，第一，你事先知道這個數字；第二，這個數字不會太小。此外，我們還要假設，如果你能同時遇見你所有的潛在人生伴侶，那麼你可以立刻明確地將這些人進行排序——但人生的悲劇就在於，沒有人可以同時遇見自己所有的潛在人生伴侶，我們總是以一種完全隨機的順序，一個一個地遇到他們（她們）。所以，我們永遠不知道，最合適的那個人是否即將出現在下一個街角，還是我們早已經遇到過他（她），卻又永遠地錯過了。
最後，我們假設你是一個完美主義者：你的目標是和你最滿意的那個人，即你的列表上排名第一的那個人結婚。如果做不到這一點，我們就判定你的婚姻失敗了。哪怕你是和列表上排名第二的那個人結婚了，你還是一個失敗者。
試問：在這樣的假設條件下，你有可能找到那個你最滿意的人嗎？如果有可能，怎麼做才能讓你成功的機會最大化呢？
一種比較好的策略是：把你的愛情和生活劃分成上下兩個半場。上半場完全用來積累經驗；在下半場中，你才開始認真地尋找伴侶。這個策略讓你至少有1/4的概率遇到最合適的那個人。為什麼呢？首先，最合適的那個人可能在上半場出現，也可能在下半場出現，概率各為50%。同樣，第二合適的那個人出現在上下半場的可能性也各佔50%。這種情況下，只要你嚴格執行上述策略，你就一定會和最合適的那個人結婚。第二合適的人出現在你人生的上半場，而你的人生中只有一個人比他（她）更適合你，這個人就是最適合你的人，只有這個人在下半場出現的時候，你才會決定結婚，所以在這種情況下，你是一定會成功的——在遊戲人生的青春歲月裡，遇見一個高質量的另一半真是何其幸運！
但這並不是最優策略。最優策略是上半場的用時比下半場稍微短一些，讓上半場佔你整個戀愛時間的1/e，也就是大約37%的時間。根據我們的模型，這個策略是最優的婚戀策略。如果你嚴格採用這個策略，你和最佳伴侶結婚的概率是1/e。
當然，如果你的最佳伴侶也在玩這種跟e有關的遊戲，那一切可就說不準了。
（中信出版社 授權）
南風信