這一節我要講一個幾何中特別重要的知識，勾股定理。在中國古代就已經有了勾股定理的存在，公元前一世紀的《周髀算經》中有勾三股四弦五的記載。意思是，如果一個直角三角形的兩直角邊是3，4。那麼斜邊的長度就是5。算一算3^2+4^2恰好等於5^2。也就是說在直角三角形中兩條直角邊a跟b的平方和等於斜邊c的平方，這就是勾股定理勾股定理。勾股定理最早的證明是古希臘數學家畢達哥拉斯，在公元前五世紀給出的。所以在國外也被稱為畢達哥拉斯定理。相傳他證明出這個定理後非常高興殺了100頭牛慶祝，於是就有人稱它為百牛定理，他是怎麼證明的呢？
他畫了如上圖兩個邊長都為a+b面積相等的大正方形，然後各自刪掉四個相同的直角三角形。剩下的面積肯定還相等，這時右邊剩兩個小正方形面積和是a^2+b^2，左邊還剩一個小正方形面積是c^2。所以a^2+b^2=c^2。在這裡強調一點，一點不要單純的記憶字母公式，在運用勾股定理求直角三角形邊長時，一定要注意分清直角邊和斜邊，有時候出題老師會把a，c作為直角邊，b作為斜邊，單純記公式那就很容易出錯。既然知道了什麼叫勾股定理那麼我們就得學會怎麼用了。
經典例題1：如圖，圓柱底面半徑為2，高為9π，點A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點，且A、B在同一母線上，用一棉線從A順著圓柱側面繞3圈到B，求棉線最短為多少？
解：圓柱體的展開圖如圖所示：用一棉線從A順著圓柱側面繞3圈到B的運動最短路線是：AC→CD→DB；即在圓柱體的展開圖長方形中，將長方形平均分成3個小長方形，A沿著3個長方形的對角線運動到B的路線最短；∵圓柱底面半徑為2，∴長方形的寬即是圓柱體的底面周長：2π*2=4π；又∵圓柱高為9π，∴小長方形的一條邊長是3π；根據勾股定理求得AC=CD=DB=15π。
例2：如圖，一架2.5米長的梯子AB斜靠在豎直的牆AC上，這時梯子底部B到牆底端的距離為0.7米，考慮爬梯子的穩定性，現要將梯子頂部A沿牆下移0.4米到A′處，問梯子底部B將外移多少米？
勾股定理的應用學習對於幾何來說，有著非常重要的作用，它把實際問題轉化成幾何模型，在將幾何知識轉化為代數知識。因此對於這個知識點，還是需要仔細吃透的。還有在強調一次，在運用勾股定理求直角三角形邊長時，一定要注意分清直角邊和斜邊。