備受關注的《盜夢空間》有著令人驚嘆的複雜情節，而其中許多情節和場景，與部分數學理論和思想非常相符，故事中的一些問題在數學中也有過類似的討論。在欣賞影片之餘，從數學角度來探討一下電影結局，同樣也是一件非常有趣且有挑戰性的事情。
一、劇情簡介
Cobb與同伴在一次針對日本能源大亨Saito（渡邊謙飾）的盜夢行動中失敗，反被Saito利用。Saito威逼利誘因遭通緝而流亡海外的Cobb幫他拆分競爭對手的公司，採取極端措施在其唯一繼承人Fisher（希瑞安·墨菲飾）的深層潛意識中種下放棄家族公司、自立門戶的想法。為了重返美國，Cobb求助於嶽父Miles（麥可-凱恩飾），吸收了年輕的夢境設計師Ariadne（艾倫-佩基飾）等人加入行動。在一層層遞進的夢境中，Cobb不僅要對付Fisher潛意識的本能反抗，還必須直面已逝妻子Mal（瑪麗昂-歌迪亞飾）的破壞，實際情況遠比預想危險得多……
《盜夢空間》的難懂，並不是因為導演的敘事方法，電影基本是直敘，因果關係也很直白。我們可以將其分成三段。
第一段是從開始到Cobb及其同伴從高速列車上逃跑。主要講Cobb在夢中盜取Saito想法的行動。這一段描述了兩個問題：存在夢中夢結構；你可以利用夢中夢竊取一個人的想法。後面這個問題又帶來一個新問題：如果存在著夢中夢，又如何知道醒來時是回到了現實中，而不是掉入另一個夢呢？
第二段是Saito請Cobb團隊幫忙植夢改變Fisher的想法。其中重要的是通過Cobb及其團隊向新人Ariadne展示了如何造夢、驗夢，以及盜夢的原理。第三段的潛入夢的部分是故事的高潮。在結局時，Cobb最終醒沒醒，似乎變得比任務更加重要。導演是在證明什麼呢？如果觀眾都覺得說不清是夢還是醒，實際上導演已經證明了一個非常重要的哲學觀點：存在著不可知性。
二、三個重要的數學思想與《盜夢空間》的關係
在數學上有著三個重要的思想：
1）非歐幾何和分形幾何
2）公理體系
3）不可知論
我們可以以此來對《盜夢空間》進行一個數學角度的考察。
非歐式空間的迷宮
在第二段故事中，最令觀眾驚嘆和稱奇的部分就是Cobb向Ariadne演示迷宮的部分。在這裡一共出現了3個迷宮。
Cobb的助手Arthur向Ariadne演示了一個無限的樓梯。Ariadne走了4段，一直感覺向上，實際上走了一個死圈，這其實便是畫家埃舍爾（Escher）著名的旋轉樓梯，它指出了夢中悖論（Paradox）的存在。在面試的時候，Cobb讓Ariadne畫迷宮以測其智商，她畫的第3個迷宮困住了Cobb，這個迷宮是圓圈套來套去，也類似於一條著名的環形蛇迷宮。
Arthur的樓梯和Ariadne畫的迷宮，並不複雜，但它們卻並不存在於現實世界。用數學上的語言來說，真實的世界是歐式空間（Euclidean Space，歐幾裡得空間），而夢中的迷宮則是建立在非歐式空間（Non-Euclidean Space，非歐幾裡得空間）之中的。
而後Cobb教授Ariadne時，把世界折成了一個盒子狀的結構。大地變成了盒子的內表面，天空位於盒子的中心，世界變得像萬花筒一樣顛來倒去，同樣是一種非歐氏空間。
什麼是非歐式空間？
如果我們為每一個空間都設置坐標系的話，歐氏空間的坐標系是直線，而非歐空間的坐標系會彎曲成一個圓圈。在一維上，歐式空間是直線，非歐空間可以是圓圈。在二維度上，歐式空間是平面，非歐式空間則可以有多種。
Cobb所展示的盒子世界，其實就是球形的非歐空間。如果我們要構造一個Ariadne所走的埃舍爾樓梯，在那個空間的高度方向一定是彎曲成了一個圓。這樣樓梯的最高點和最低點具同一高度，所以才能聯接上。在這個空間中，依然有向上和向下的方向，但意義已不同。向上和向下不代表高度的增減，而是指從兩個不同的方向畫圈。
好比從一個方向上看，向上走是順時針，向下走是逆時針。所以當你向上走和向下走時，一直都在不斷重複。生活中這樣的樓梯是沒有的，但時鐘等許多事物的工作方式卻具有這樣的性質。
怎樣把敵人永遠困在夢中
非歐式空間中的異常，為何會讓人很難覺察呢？
這些非歐空間被稱為流形（manifold），流形同歐氏空間相比是局部相似，全局不同。如果從歐氏空間中取出一部分，再從非歐氏流形中取出一部分來，這兩者會非常相似。例如一維的歐氏空間是直線，非歐氏空間是圓。如果線段比較短，或是圓的半徑比較大的話，這兩者沒有本質的區別。所以如果只走一段樓梯，或是只是生活在盒子世界中的一個小部分，沒人能發現問題。
全局性質有時被說成「拓撲」性質。可以把拓撲理解成一種聯接。比如兩個人從直線上的一點出發，各自朝一個方向走，永遠不會碰頭，但如果他們來到一個圓上，這樣走肯定最終會碰面的。
在電影的迷宮設計中，造夢師如果想把一個人困住，就要給他一種無限的錯覺。把被騙的人想成是一隻小蟲子，在二維世界裡，如果是歐式空間，就是一個平面，你只能設計一個很大的圓，但小蟲總有一天會還是跑出去。但如果這是一個非歐式空間，如球面，小蟲怎麼都跑不出去，這樣，造夢者就可以將敵人永遠困在自己設計的夢中。
非歐式空間的歷史
最開始思考非歐式空間的是德國數學家高斯（Carl Friedrich Gauss，1777~1855）。當他發現在地面看的直線在塔樓上看不是直的，便開始追問究竟何為彎，何為直？由此，他給出了幾何概念的解析定義，創立了微分幾何。
而《盜夢空間》故事中迷宮的思想，則更多來源於高斯的學生黎曼（Georg Friedrich Riemann，1826~1866）。黎曼問了一系列更大膽的問題：空間如果是彎曲的會怎樣？（讀者可以想像一個坐標系是彎的。）如果坐標系是彎的，那長度、角度還有什麼意義嗎？在黎曼的時代，許多人認為這已不是數學，而是哲學。
黎曼為角度和弧度給出了一個新的定義，今天稱黎曼度量，並給出了黎曼度量在不同空間中換算的規則。黎曼流形（manifold）便用來指稱這種彎曲的空間。而且黎曼也思考過真實的宇宙是否是一個歐氏空間。他的觀點我們不知道，因為我們只能看到宇宙的一部分。
在此後的100多年中，幾乎無人正確理解黎曼的貢獻。但這一思想深刻地影響了包括廣義相對論在內的一系列偉大理論的誕生。
何為真實？何為公理？
在《盜夢空間》中，Cobb一直在問：究竟什麼是真實？標準是什麼？
在數學上，人們考慮過類似的問題，即一個命題是否是正確的。並產生了一個很有啟發的觀點，即公理體系的觀點。一套邏輯系統建立在幾條公理之上，其他的規律可通過公理的推導得出。這便是我們所說的公理體系。
當我們說一個定理是正確的時候，實際上是不嚴格的說法。更準確的說法應是一個定理可由公理推導出來。只有當你接受公理的假設時，定理才是真的。
問題在於公理本身常常也只是假設，真假是不可證明的。例如，非歐式空間與歐式空間之間一個最大的區別，在於平行公理：經過一條直線之外的點，有幾條直線和已知的直線平行？如果假設只有一條的話，那就是平面幾何，這時三角形內角之和是180度。如果一條也沒有，便是球面幾何，這時三角形內角合大於180度。在不同的假設中，幾何規則完全不同。
通常我們對空間的邏輯認知和思考都基於歐氏空間，這些邏輯都是在假定空間沒有彎曲的情況下才是正確的。而在一個彎曲的空間中，如果還是用歐氏空間的邏輯進行思考，必定會推出不同的結果，產生悖論。
建立在「陀螺公理」之上
我們再回到電影，Cobb判斷是夢是醒從來不用邏輯思考，只用陀螺驗證。因為一些事可以從「在夢中」這一假設推導，也可以從「在現實中」這一假設推導。在兩種假設前提下，用不同的邏輯可能推導出同樣的結果。
「陀螺倒就是現實中，否則就是在夢中」是作為驗夢的陀螺公理。Cobb只靠這一條分辨現實和夢境，不用邏輯推理。可以說Cobb對一切對夢和現實的分判，都是建立在陀螺公理之上的。
許多人會奇怪「陀螺公理」中，為何夢中的陀螺會轉個不停。已有許多解答，非歐式空間可以給出一種可能的解答，彎曲的空間會產生幾何上的邏輯悖論，同樣會產生物理上的邏輯悖論。比如我們可以想像在埃舍爾設計的樓梯上，當一個人向下走時，實際上就是在跑圈。同樣的道理，如果你拋出一個物體，它會向下運動，實際上它也是在跑圈。
分形幾何的迷宮
Cobb設計的迷宮，核心思想就是將敵人困在一個圈中。但故事的複雜性還遠超於此。Ariadne展示了一種不同於Cobb設想的迷宮結構，那就是鏡子中產生無窮多的人像。
Ariadne把Cobb帶到一個地方，關上門，弄出兩面鏡子，兩面鏡子之中出現了數不清的人像。因為鏡子可以在鏡子中成像，於是就有了鏡中鏡中鏡中鏡⋯⋯隨著鏡子層數的加深，鏡中像會越來越小。但即使是極小的一個像，經過放大，裡面還是有鏡中鏡中鏡中鏡⋯⋯這便是幾何上被稱為分形（fractal）的結構。我們可以將鏡中鏡看成《盜夢空間》故事結構的一種比喻。因為鏡中可以有鏡，所以就有鏡中鏡中鏡中鏡⋯⋯同樣，因為夢中會產生夢，所以有夢中夢中夢中夢……
最早的分形結構卻不是來源於幾何，而是來源於對遞推規則的研究，具體說是微分方程的研究。分形結構是微分方程中chaos現象的一種，最早認識到chaos的人是法國數學家龐加萊（Jules Henri Poincaré，1854~1912）。
打開不可知論的魔盒
其實，我們也可以把人的思想描述成一種幾何結構。迷宮般的邏輯結構是存在的，它會導致「不可知性」。埃舍爾樓梯對應著邏輯上的循環悖論，最典型的便是「雞生蛋，蛋生雞」的例子，它們分開來看都是正確的，但是放在一起，便出現了一個先有雞還是先有蛋的問題。
分形結構對應著無窮的遞歸的邏輯。物理學上的觀點「基本粒子可以再分」正是如此，分子分解成原子，原子分解成電子、質子和中子，現代物理學在進一步分解電子、質子和中子。但每得到一種基本的粒子，就要將其分解成更基本的粒子，這種邏輯就決定了世界的最基本的粒子是找不到的。
夢中夢也是這樣一種分形似的邏輯，而電影的開篇和片尾，Cobb和Saito出現在同樣的場景中，構成了一個循環，到這裡，《盜夢空間》己經打開了不可知論的魔盒。
在哲學上「不可知論」是非常久遠的。人類歷史上許多科學巨匠們都有「不可知」的想法，這或許是為何一些絕頂聰明的傢伙最後神經不正常的原因。例如牛頓在提出三大運動定律之後，跑去研究上帝。箇中原因在於在牛頓的體系中有兩個不可知的問題，一是第一推動力，二是如果萬有引力存在，星星為什麼沒有掉下來。這是牛頓無法用他的三定律解答的。
愛因斯坦完全超越了牛頓詮釋的經典力學世界，但正如他自己所說，「我知道的很多，我不知道的更多。」而一個愛因斯坦的體系中「不可知」的問題，便是為什麼宇宙沒有整個被黑洞吸進去。
三、用「不可知論」的觀點來看故事結局
在《盜夢空間》的故事中，我們可以整理出這樣幾個命題：
1、當進入一個夢的時候，究竟是誰的夢無法驗證。
2、人在夢中也可以說謊。比如第一層夢中的火車，開始觀眾以為是Fisher的，後來通過Ariadne的對話我們知道是Cobb造的。
3、如果不用陀螺進行驗證，從一層夢中醒過來，可能是回到現實，也可能是在一個更大的夢裡。
那麼讓我們從這幾個命題出發，來推導一下《盜夢空間》的各種結局。
故事的情節線條
按多數觀眾的理解，故事是這樣的。
A：Saito被 Cobb盜夢，夢有二層。
B：Cobb被通緝，不能回家看孩子.
C：Saito請Cobb植夢Fisher，如果Cobb成功，Saito可以幫Cobb回家。（只有在A、B真實的情況下，C才能成立。）
D：Cobb請幫手幫忙盜夢。
E：眾人植夢，在飛機上遇到Fisher。
F：夢一共有四層，我們記為F1，F2，F3，F4。
G：Cobb最後救出Saito，但無法確證任務有否成功。
H：Cobb回到家中。同樣無法在電影中確證。
所以故事情節線條是：（A、B）→C→D→E→F1→F2→F3→F4→G→H。
無數種可能的結局解釋
在分析情節時，一個基本技巧是如果有一步不確定，情節就會出現真假兩種情況。遇到這種情況，我們可以有兩種做法：一是用一個新邏輯換掉以前的邏輯，這樣我們得到另一個故事。二是將基本假設推翻，同樣會得到一個新故事。
許多觀眾質疑為什麼F3中Fisher死了掉入F4的夢中，而Saito掉入了limbo，一種
理解是植夢行動沒有真實發生，只是Cobb的一個夢。
如果我們的一個邏輯是將除了B、H之外的部分，都看成是夢，便可以理解這個故事：Cobb想回家了，在飛回家的路上做了一個大夢，A、B、C、D、E、F、G都只是夢中情節。最後他醒了，見到了自己的孩子。
現在讓我們來考慮另外的一種結局。G是沒有確證，那麼存在著另一種可能。如果G中任務沒成功，Cobb拯救Saito失敗，則G實際上是Cobb的一個夢。這樣的話H不成立，Cobb的回家依然是夢。但還有可能，如G中任務成功了，Saito成功獲救，但是Cobb自己未能逃出夢境，還是沒能成功回家。
一部分觀眾懷疑Fisher有沒有真上當，在夢中，Fisher似乎相信父親。但我們沒看見Fihser醒過來，也不知道他是否分解了公司。而在F2中Fisher就有所警覺，知道自己是在夢中，想要在夢中自殺醒過來。於是在F3就有另外一種可能：Fisher沒有上當，他是為了逃脫假裝出來的。
轉回到F3中Fisher掉入F4，Saito掉入了limbo，還有一種解釋是F4的夢是盜取Cobb想法的一個圈套，原因是Ariadne想知道Mal究竟是怎麼死的。於是又一個故事的解釋出現了。
實際上，因為分形的故事邏輯結構，可能存在著更多的，甚至數不清的結局。
除結局之外「不可知」
在片末，我們知道，是Cobb害死了Mal，方法則是他在Mal的頭腦中植入了想法。這時，在片中反覆強調想法對人的重要性之後，我們又發現了第三個分形的邏輯結構——想法可以誘導想法。如果一個人的想法是可以植入的，並且可以誘導一個人產生新的想法，那麼我們的想法是自己的，是被植入的，還是被其他植入的想法所誘導的呢？
Cobb是最理解這一點的人，而且他也知道「想法」的殺傷力。因為他想知道是否能把想法植入別人的腦子中，而讓他們錯認為是自己的想法而渾然不覺，所以他拿妻子做了一個實驗。而他植入的想法就是「讓一個人把現實當成夢，而把夢當成現實」。
令Cobb糾結的不只是對妻子的感情，Cobb，而他對此卻無能為力，何況他自己也不能斷定自己的想法就是真實的，而非被植入的。這個問題實際上正是一個在邏輯上找不到答案，「不可知」的問題。映射著我們的現實。導演成功地用構造法證明了一個可悲的不可知論：「雖然想法對一個人重要，換掉一個人的想法就跟殺了一個人似的，但一個人的想法究竟是他自己的，還是被別人植入的，他可能永遠不知道。」
在我們身邊，無數的媒體、廣告、電影、文學都是在編寫故事，改變受眾的想法。Inception直譯為「開端」，也可理解為導演啟發觀眾，質疑所有想法的緣由。這樣的思考是極有意義的，最偉大的創造都來源於對公理的質疑和挑戰。《盜夢空間》在電影史上是一部具有突破性質的作品，它重新定義了電影表達能力的疆界，展現了複雜邏輯的魅力。英國數學家、哲學家羅素曾這樣讚美數學：「數學不僅擁有真，而且擁有非凡的美，一種像雕像那樣冷峻而嚴厲的美，一種不為我們軟弱天性所動的美，一種不具備繪畫或是音樂那種富麗堂皇的裝飾的美。然而又是極其純淨的美，是唯有最偉大的藝術才具有的嚴格的完美。」
來源：新知客
(責任編輯：陳青)