本文作者：劉瑞祥，[遇見數學] 感謝劉老師投稿支持！
四點共圓（圓內接四邊形）是平面幾何裡的一個重要模型，涉及的對象很多，使用靈活，難度很大。以其中的角度關係來說，主要包括外角等於內對角、同弦所對的角相等（角在弦的同側）或互補（角在弦的兩側）這兩個重要結論，而且很好的一點是其逆命題也成立，即可以通過角度關係來判斷四個點是不是共圓。本文略舉數例，介紹其應用。
問題一：圓內接四邊形有一組對邊平行，則另一組對邊相等
已知：A、B、C、D 四點共圓，且 AB//CD。求證：AD=BC。
證明：連接對角線 AC、BD，二者相交於 E 點。
因為 AB//CD，所以 ∠3=∠3』。
又因為 A、B、C、D 四點共圓，所以 ∠3=∠3」。
即 ∠3』=∠3」。
所以 ED=EC。（等角對等邊）
同樣因為 A、B、C、D 四點共圓，可得 ∠1=∠1』，∠2=∠2』。
所以 △ADE≌△DCE。（角角邊）即 AD=BD。得證。
這裡兩次直接用到四點共圓的角度關係，使之得到充分的利用，乾淨利落。若用其它方法，恐迂迴笨拙。
問題二：證明相交圓得到的兩弦平行
這道題並不難，但是《許蓴舫初等幾何四種》（許蓴舫著，中國青年出版社 1978 年出版）中介紹了這道題的各種變化形式，居然達到 23 種之多。因其證明簡單，具體過程就略去了。
已知：兩圓相較於 A、B，通過兩交點各作一直線 CAD、EBF，止於兩圓。 求證：CE//DF。
學生經常會陷入題海不能自拔，如果老師在教學中能抓住題目的「靈魂」，也就是「萬變」表象下的「不變」之處，就能擺脫困境了。
問題三：作頂點在給定三平行線 l1、l2、l3 上的正三角形
這一題至少有兩種解法，最終的證明過程都和四點共圓有關。這兩種做法都來自《圓之吻——有趣的尺規作圖》（作者莫海亮，電子工業出版社 2016 年出版），但沒有證明。
解法一
作法：
作任意直線與已知平行線垂直，分別交三線於 A、B、C 點；過 AB 的中點作直線 m 與 l1 平行；過 C 作 CE 與 AC 成 30 度，交 m 於 E 點；連接 BE 並延長，交 l1 於 F；FBG 等於 60 度，交 l3 於 G 點；連接 FG。 三角形 BEG 即為所求。證明：
連接 EG。
因為角 EBG 和角 ECG 都是 60 度，所以 E、B、C、G 四點共圓，所以 ∠BEG 與 ∠BCG 互補，也等於 90 度。
因為 D 是 AB 的中點，且 DE 與 l1 平行， 所以 DE 是 △ABF 的中位線，BE=FE。
又因為 EG 是公共的，∠BEG=∠FEG=Rt∠，所以 △BEG≌△FEG，所以 ∠EFG=60 度。
得證。
關於圓內接四邊形的角度關係，有一個特例：如果一個角是直角，其對角也是直角。前面就利用了這個關係。而且從本題可以看出，四點共圓中的「圓」不一點在作圖過程中給出，有時只在證明過程中才會出現，下面的解法亦然。之所以如此，是因為如果只利用角度關係而不涉及線段長度，則只需要做出等角即可，無需找直線和圓弧的交點。而在證明過程中，如果看到同一線段所對的兩個。
解法二
作法：
以中間線 l2 為一邊，作正三角形 ABC，其中 A、C 在 l2 上，B 在 l1 上；作 BC 的延長線，交 l3 於 D 點；DAE 等於 60 度，交 l1 於 E 點；連接 DE。三角形 ADE 即為所求。 證明略和四點共圓角度關係有關的證明當然遠不止以上兩題，另外比較著名的問題是三角形三條高線共點的證明，以及反演圓的做法。除此以外，在《幾何明珠》這本書中，用到四點共圓角度關係的包括婆羅摩及多定理、九點圓、斯坦納-雷米歐司定理、蝴蝶定理、西姆松定理、米凱爾圓定理，這裡就不一一列舉了，敬請讀者閱讀欣賞。
關於「幾何模型」的話題似乎可以告一段落了，至少本人目前沒有繼續寫下去的能力了。我也曾經想過把常見模型整理一遍，後來想還不如讓同學們自己總結。如果我將來還能就這個話題再說一些東西，會及時和大家分享。本文要說的最後一點是，雖然幾何模型很重要，但是我們的學習也要明確重點和難點，不能「鬍子眉毛一把抓」，這是因為如果要細究幾何模型的話，會發現內容太過豐富，光是掌握這些模型就不勝其煩，又怎麼能用來幫助解題呢？