我們用一種非常直觀的幾何方法得到X^3的不定積分

不定積分∫arctanxdx/(1+x)^3用到了哪些方法?

主要內容詳細介紹求不定積分∫arctanxdx/(1+x)^3過程中用到的不定積分計算方法。本題詳細步驟如下：A1=∫arctanxdx/(1+x)^3=∫arctanxd(1+x)/(1+x)^3[①湊分法]=(-1/2)∫arctanxd(1+x)^(-2)[②湊分法]=(-1/2)arctanx

直觀推理:反正切函數arctanX導數的幾何原理

書本上求反正切函數arctanX的導數用的是純代數方法的推導，嚴禁簡單，但不顯得那麼直觀，如下圖所示今天我們就用一種比較直觀的幾何方法求反正切函數的導數同樣做一個四分之一的單位圓，但這裡為了更加直觀僅用直角三角形來演示其原理

三種方式計算不定積分∫x√(x+1)dx

主要內容：通過根式換元、分項湊分以及分部積分法等相關知識，介紹不定積分∫x√(x+1)dx的三種計算方法和步驟。(t^4-1t^2)dt,=2/5*t^5-2/3*t^3+C,=2/5*(x+1)^(5/2)-2/3*(x+1)^(3/2)+C,根式部分湊分法∫x√(x+1)dx=∫x√(x+1)d(x+1),

三種方式計算不定積分∫x√(x+1)dx。

主要內容：通過根式換元、分項湊分以及分部積分法等相關知識，介紹不定積分∫x√(x+1)dx的三種計算方法和步驟。^2)dt, =2/5*t^5-2/3*t^3+C, =2/5*(x+1)^(5/2)-2/3*(x+1)^(3/2)+C, 根式部分湊分法 ∫x√(x+1)dx =∫x√(x+1)d(x+1),

拋開微積分,用一種全新的數學思維得到y = e^(x/b)的不定積分

幾何上，這意味著指數曲線上每一點的切線斜率與曲線在該點的高度成比例。我們還看到，指數函數曲線是唯一具有函數本身與斜率之比為常數的曲線。通過利用這一事實，我們可以求出指數曲線下區域的面積，而不用積分法圖一指數曲線y = e^x/b的切線在X軸上的投影具有恆定的長度b，切線點從x向左移動到負無窮時，該區域被x軸截斷的切線段所掃掠

當被積函數的分子或分母均為自變量的n次多項式時，此時的不定積分為有理函數不定積分。下方左圖是有理函數不定積分的三個例子，下方右圖為非有理函數不定積分的例子。2.有理函數的四種基本類型積分任何一個有理函數的不定積分，均可化成以下四種基本類型。上文給出的前兩個有理函數不定積分可通過如下過程轉換為基本類型。對於任意一個x的n次多項式，都可以化成乘積形式，因而可以採用待定係數法將有理函數多項式化成四種基本類型。

數學新發現:我們用直觀的幾何原理瞬間得出(tanθ)^2的積分

如下是求曲線下面積的極坐標形式，極坐標的出現，是許多計算變得簡單，特別是面積公式既簡介又完整，本篇我們就利用極坐標來分析一個積分公式，你會感受到極坐標的無限魅力如果我們的極坐標曲線是tanθ，現在要求該曲線下的面積，那麼就是如下形式我們本篇的重點就是來求上述的定積分

談論不定積分及其求法

一、原函數不定積分的概念原函數的定義：如果區間I上，可導函數F(x)的導函數為f'(x),即對任一x∈I都有 F'(x)=f(x) 或 dF(x)=f(x) dx那麼函數F(不定積分的定義：在區間 I 上，函數f(x)的帶有任意常數項的的原函數稱為f(x)( f(x)dx ) 在區間 I 上的不定積分，記作∫ f(x)dx .

如何快且準地求解不定積分

不定積分的求解是高數較難的部分，本文將通過兩道習題的講解，對不定積分的求解思路進行初步的闡述。1. 有理化+三角函數換元第一步，觀察被積函數形式，發現1+x和1-x能夠湊成平方差公式，優先考慮有理化。由於分子含獨立部分x，因此應對分子進行有理化，有理化過程如下所示：第二步，觀察有理化後函數形式，被積函數可以拆分成兩部分，且其中一部分很容易就能得出原函數，此時應考慮拆分，拆分過程如下所示：第三步，觀察積分部分，若對整個分母採取換元法，最後仍然無法將根號划去。此時，應考慮正弦函數換元法。

微元法思想在幾何上的應用

對於規則的圖形的面積，比如我們熟悉的矩形、圓形、三角形等，我們都可以利用公式直接計算圖形的面積，但是對於不規則的圖形的面積如何計算呢？如何計算曲線的長度？本節將帶你了解定積分在幾何方面的起源和發展，學習定積分在幾何方面的應用，即利用微元法思想去求解不規則圖形的面積、曲線弧長及旋轉體體積等。

詳解萬能公式在不定積分中的應用

在求不定積分中，對於只包含正弦、餘弦、正切、餘切，而不包含其他初等函數的被積函數，可以用萬能公式，化三角函數為有理函數，進而求解不定積分。1. 初用萬能公式對習題1直接套用如下萬能公式。事實上，在用萬能公式時，謹記一點：萬能公式的目的是將三角函數的不定積分轉化為低次的、不複雜的有理函數不定積分。如果通過萬能公式的轉化，得出的新的不定積分更複雜，則要重新觀察原不定積分：1）是否可以先拆分，然後再用萬能公式；2）是否該用其他方法。

求解不定積分時的技巧和陷阱,準備考研的你不容錯過

在不少不定積分考題中，經常會出現一些陷阱，導致學生不經意間丟掉不該丟的分數。同識別陷阱同樣重要的是技巧，掌握接下來幾大技巧將大大有助於提高解決問題的能力。1.待定係數法，三角換元陷阱對於習題1，不能用正弦函數換元，因為這將改變原不定積分中自變量的定義域。習題1的正確做法應對有理函數進行拆分，拆分後各部分係數的確定採用待定係數法進行確定。

這麼變態的不定積分原來還可以這樣解

下面的不定積分就是小編上期留下來的題目：1.不推薦的萬能公式法儘管小編從來沒用過萬能公式法，但是小編在這裡還是先用一次萬能公式法來解答上面這道題，這是因為在三角替換中，有一些非常值得大家注意的細節，小編藉此機會把這些容易被忽視的細節拎出來。

直角三角形與e^x的不定積分存在著巧妙的關係

我們很容易得出Y= e^(x/b)的導數等於e^(x/b)/b，也就是切線的斜率等於e^(x/b)/b，那麼這個切線與X軸，Y的垂直坐標形成一個直角三角形，這是你會發現這個直角三角形的一條直角邊等於Y= e^(x/b)，另一條等於一個常數b，這是一個非常有趣的現象，因為任何一點的切線與

用優美的幾何原理解決sinx和arcsinx的求導問題

我們的教科書上對三角函數中正弦餘弦的求導原理如下圖所示，這是最為嚴謹的方式之一，但今天我們避開教科書中的方法，用幾何方法更加形象直觀的闡述正弦，反正弦函數的求導原理正弦函數求導的幾何原理：首先作單位圓，sin(x+x)-sinx對應的是藍色線段，微元x正好對應紅色的弧長這裡的x對應的弧長可以看作一條線段，所以紅色和藍色線段的夾角是x，我們就得到sinx的導數等於cosx反正弦函數求導的幾何原理：

a,b是非負數且a+b≤2求x^2+2ax+b=0有實根的概率?實則求幾何概型

我們要明白這道題考我們的是什麼？這道題給出了a，b的範圍，實際上就是求滿足一元二次方程有實數根時的a和b重新組合成的範圍佔原來a和b範圍的比值——考的是一個幾何概型的題。因為一元二次方程x^2+2ax+b=0有實數根，所以判別式△≥0，即4a^2－4b≥0，整理得到b≤a^2。②畫出可能事件的反生的區域。

數學新視野:我們用一種幾何方法闡述「沃利斯公式」的本質原理

現代數學證明沃利斯公式基本採用微積分的方法，數學分析中，最簡單的莫過於歐拉用正弦函數的無窮乘積來證明，我們在前面的很多文章已經討論過了，如下圖本篇拋開已有的數學觀念，我們用一種新穎的幾何方法來闡述沃利斯公式的原理，徹底刷新你的數學視野當要求將一個正方形劃分為

數學幾何經典:用優美的幾何原理演示所有三角函數的導數原理

書本有關三角函數求導的原理都是基於嚴格的純代數的推導，邏輯嚴謹，但缺乏直觀的理解，本篇就從直覺思維出發，用嚴謹的幾何原理演示所有三角函數的求導過程。希望對您有所幫助第一：正弦函數sinX的導數：在X的基礎上增加微元x，容易得到sinX的導數是cosX圖中的圓為四分之一的單位圓第二：反正弦函數arcsinX的導數：經過如下作圖，很容易得到紅色三角形和藍色三角形相似，也就得到了arcsinX

數學分析第八章《不定積分》備考指南

問君能有幾多愁，不定積分不會求！這是整個第八章比較慘澹的基調！弱弱問君，什麼叫不定積分？結合上述兩個定義不難看出，不定積分實際是求導的逆運算，即求被積分函數的原函數。3中最後get sth done，done!而不是看著那個要解決的對象，輕佻地自語，我會做。第八章的核心任務是計算不定積分，首要目的是培養自己的計算能力！數學專業的我們需要更加強大的計算能力，要比學工科的人更加能算！否則，你會覺得分析的語言太抽象，理論太晦澀，而計算又算不過學公共數學的工科生！

無法用公式的形式求定積分時怎麼辦?——藉助幾何意義求定積分

圖一題型思路圖一中求定積分出現了根號下1-x^2的形式，通過我們求導的逆向推導，發現很難找到該積分的原函數，即使是能找出該積分的原函數所以這道題我們要過數形結合的形式藉助被積函數的幾何意義來求解定積分。具體做法第一步，畫出根號下1-x^2的圖形，找出其幾何意義。