不定積分∫arctanxdx/(1+x)^3用到了哪些方法?

2020-12-18 吉祿學閣

主要內容

詳細介紹求不定積分∫arctanxdx/(1+x)^3過程中用到的不定積分計算方法。

本題詳細步驟如下：

A1=∫arctanxdx/(1+x)^3

=∫arctanxd(1+x)/(1+x)^3[①湊分法]

=(-1/2)∫arctanxd(1+x)^(-2)[②湊分法]

=(-1/2)arctanx/(1+x)^2+(1/2)∫(1+x)^(-2)darctanx[③分部積分法]

=(-1/2)arctanx/(1+x)^2+(1/2)∫dx/[(1+x^2)(1+x)^2]

設A2=(1/2)∫dx/[(1+x^2)(1+x)^2],

則：

A2=(1/4)∫[(x+2)/(1+x)^2-x/(x^2+1)]dx[④裂項分解法]

=(1/4)∫(x+1+1)dx/(x+1)^2-(1/4)∫xdx/(x^2+1)

=(1/4)∫dx/(x+1)+(1/4)∫dx/(x+1)^2-(1/8)∫dx^2/(x^2+1)

=(1/4)ln|x+1|+(1/4)∫dx/(x+1)^2-(1/8)ln(x^2+1)[⑤自然對數不定積分]

=(1/4)ln|x+1|-(1/4)/(x+1)-(1/8)ln(x^2+1)+C.[⑥冪函數不定積分]

=(1/8)ln[(x+1)^2/(x^2+1)]-1/[4(x+1)]+C.

即本題最終結果為：

A1=(-1/2)arctanx/(1+x)^2+A2

=(-1/2)arctanx/(1+x)^2+(1/8)ln[(x+1)^2/(x^2+1)]-1/[4(x+1)]+C.

本題是一個求不定積分的綜合題目，從上述步驟看共用到了六種方法及公式。這也告訴我們，求不定積分的題目，一道題一般會使用多種方法得到不定積分的結果。

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