現代社會中，數學模型已被廣泛應用於社會各個領域的研究和發展中。因此，在高職數學的教學中，教師既要使學生掌握數學中的思想方法和理論知識，又要善於引導學生將實際問題轉換為數學模型，提高學生建立數學模型解決問題的能力，為他們將來從事各種職業時應用數學模型打下良好基礎。本文結合數學模型在各領域中的應用案例研究，提出在數學教學中應重視對高職生進行突出專業特色和職業特點的職業化教學。
數學作為一種強有力的工具，已經被滲透到社會生活的各個領域中。數學模型已被廣泛應用於社會各個領域的研究和發展中，為人們的日常生活、技術發展和科技進步做出越來越直接的貢獻。
一、數學模型在經濟領域中應用的教學研究
在經濟領域中，數學模型無處不在，數學的應用理論和建模方法已滲透到經濟領域的各方面。
案例1：【企業年度總成本預測】某企業生產一種設備，在2008年到2012年的五年內該設備的產量和成本分別為：2008年共生產10臺設備，每臺成本600元；2009年共生產40臺設備，每臺成本300元；2010年共生產30臺設備，每臺成本450元；2011年共生產20臺設備，每臺成本550元；2012年共生產50臺設備，每臺成本400元。若該企業計劃該設備的年度產量為60臺，試預測該企業的年度總成本。
數學模型：線性回歸模型：解由題意得，確定了單位成本後，總成本y只受到產量x的影響，總成本y的線性函數可表示為y=a+bx（a，b為待定係數）。假設預測的總成本的數學模型為yi=a+bxi，要使yi與y最接近，根據最小二乘法，只要使它們所有誤差的平方和Q為最小即可，對a，b分別求一階偏導數，並令這兩個偏導均為零，從而解出b=290，a=3800。從而得到預測的年度總成本函數為：y=2800+290x。因此，該企業計劃年度生產60臺設備時，預測年度總成本為：y=21200元。
由上述a，b的求解過程可以看出，任意給定一組數據（xi，yi），都可以推算出a，b，建立一元線性回歸方程。因此為了把握預測的準確程度，我們還要對所求結論進行相關性檢驗，計算相關係數。設相關係數為r（-1≤r≤1），的絕對值越接近於1，說明x與y之間的線性關係越密切。r=1時，說明x與y之間完全正相關；r=-1時，說明x與y完全負相關；r=0時，說明x與y之間不存在任何聯繫。此題在預測分析中由於產量或成本均不會為負，因此只有r趨近於1時才有實際意義。利用相關係數的計算公式最終求得本例中r=0.9073，這說明該種設備的產量與設備總成本具有高度的正向相關性。因此，以上對該企業年度總成本的預測結果是可靠的。
實踐證明，用數學模型對經濟預測時所作的定性和定量分析是嚴謹的、縝密的、可信的。對財經類和經管類學生，案例的選擇要更多地結合當今社會的經濟發展背景，突出專業特色，使學生切實感受到數學的應用性和價值。
二、數學模型在軍事領域中應用的教學研究
在軍事方面，數學模型的應用越來越廣泛，大大加快了軍事科學的前進步伐。軍事發展中逐漸形成的軍事統計學、軍事運籌學等都是在現代戰爭中取勝所必不可少的工具。數學模型在現代戰爭中的應用更是任何龐大、優良的軍隊也無法替代的。其中，概率統計模型在分析、制定作戰方案方面就起到了重要作用。
案例2：【盟軍運輸船編隊方案】在二戰中，盟軍為了和德軍作戰，其大批量的軍用物品都要通過船隊從大西洋運往各個戰場。起初，負責運送軍用物資的盟軍船經常被德國潛艇襲擊，損失十分慘重。針對德軍的潛艇戰，美軍將領專程請來一位數學家出謀劃策。數學家運用概率論分析後發現了規律，很快解決了問題。
數學模型：概率模型：解因為運輸船隊與敵軍潛艇在運輸海域中有可能相遇，也有可能不相遇，所以船隊與敵軍潛艇相遇是一個隨機事件。如果我們從概率論的角度來看待這一問題，能發現一定的規律：對於一定數量的船隻，編隊的規模越小，船隊的批次就越多，途中遭遇敵潛艇的可能性也就越大。因為敵潛艇的數量與船隊的數量相比肯定是較少的，且潛艇所載彈藥有限，因此每次襲擊，不論船隊規模多大，被擊沉的數目應該大致相等。所以一旦船隊與敵潛艇相遇，船隊的規模越小，每艘船被擊中的概率就越大。
假如盟軍的運輸船共有100隻，若對所有運輸船進行編隊，按每隊20隻船，可編成5隊；若按每隊10隻船，可編成10隊。這兩種編隊方式與德軍潛艇相遇的可能性之比為5∶10，即1∶2。假設每次德軍潛艇擊毀5隻運輸船，那麼，上述兩種編隊方式中每艘船被擊沉的可能性之比為5/20∶5/10=1∶2。從以上兩方面分析來看，兩種編隊方式中每艘運輸船與敵潛艇相遇並被擊中的可能性之比為1∶4。這說明，對於100艘運輸船，編成5隊比編成10隊的危險性小。即：船隊規模越大，批次越少，被敵潛艇襲擊的風險越小。
數學家用數學模型分析後給出了改進編隊和運送方式的建議，盟軍統帥依此建議，命令運輸船不再由各個港口分散啟航，而是讓船隊在指定海域集合後在護航艦護衛下集體通過危險海區，再分別駛向目標港口。船隊調整後，很快盟軍船隊被德戰艦擊中的概率就由原來的25%銳減為1%，此舉大大降低了盟軍的損失，確保了軍用物資的有效供應。美國軍方因此大讚：一名優秀數學家的作用，超過十個師的兵力！
在很多軍事院校，數學是一門重要課程，現代軍事領域離不開數學的分析和輔助，特別是運籌學、微積分、概率統計等應用都十分廣泛。教師在教學中可多選用以往戰爭中應用數學知識和思想方法來解決實際問題的軍事案例。
三、數學模型在司法領域中應用的教學研究
「司法」在一般人看來是與數學沒有太大關係的領域，但在司法界，數學模型的應用已經在案件偵破和司法鑑定過程中應用非常廣泛，而且起到了至關重要的作用。
案例3：【刑事偵查中死亡時間的鑑定】牛頓冷卻定律指出：物體在空氣中冷卻的速度與物體溫度和空氣溫度之差成正比，現將牛頓冷卻定律應用於刑事偵查中死亡時間的鑑定。在死者被謀殺後，屍體的溫度將按照牛頓冷卻定律從初始體溫的37℃逐漸開始下降。
（1）假定所處環境中空氣的溫度為20℃不變，若兩小時後屍體的溫度降為35℃，試求屍體的溫度H對於時間t的變化規律。
（2）若屍體在十六點整被發現，當時溫度是30℃，試推算受害人被殺應發生在幾點？
數學模型：常微分方程模型：解設屍體的溫度為H（t）（t 從被殺時計），根據題意，屍體的冷卻速度：dH/dt與屍體溫度H和空氣溫度之差成正比。即：dH/dt=k（H-20），其中k是非零常數，初始條件為H（0）=37。對方程分離變量得：，兩端積分得：ln（H-20）=kt+C1，求得方程通解為：H=20+Cekt（其中C=eC1）。
將初始條件H（0）=37代入通解，得C=17，因此滿足條件的特解為H=20+17ekt。為確定k，根據兩小時後屍體溫度為35℃這一條件，代入有：35=20+17e2k，求得k≈-0.063，於是屍體的溫度函數為：H=20+17e－0.063t。將H=30代入，則30=20+17e-0.063t，解得t≈8.4（h）。於是可以判定謀殺發生在屍體被發現時16點前的8.4小時，即在上午7點36分發生的。應用常微分方程模型，準確求出案發時間。
常微分方程模型可以解決和變化率相關的很多問題，是一種應用十分廣泛的數學模型，教師在講授微分方程這部分章節時，不僅要讓學生掌握如何求解各類方程，更要讓學生學會在具體問題的分析、解決過程中，把實際問題的描述抽象成數學語言，正確地建立數學模型，這是數學教學中我們要引導學生重點掌握的思想方法。
四、數學模型在電學領域中應用的教學研究
數學源於生活，又服務於生活。電學和數學的關係更是密不可分。三角函數、複數、向量、微積分、常微分方程、拉氏變換等數學工具都在電學裡有著廣泛應用。其中，微分模型是在電學中求特定物理量的最值時最有效的工具。
案例4：【最大輸出功率】設在有一個負載電阻的閉合電路中，電源電動勢為E，內阻為r（E，r均為常量），問負載電阻R多大時，輸出功率P最大？
數學模型：微分模型：解消耗在電阻R上的功率為P=I2R，I為迴路中的電流，由閉合電路歐姆定律知
數學模型在社會各領域中應用的教學研究
電學領域是對數學知識需求較高的領域，數學在這類專業中的應用無處不在，學生必須具備良好的數學基礎，掌握常用數學思想方法，才能更好地學習專業知識。作為給該專業授課的數學教師，不僅要具備較強的數學功底，更要學習和掌握一些電學領域的相關專業知識。只有成為雙師型的數學教師才不會出現「重理論輕應用、不能完全滿足專業需求」的情況。
由上述實例可以看出，讓學生掌握數學建模思想，學會數學建模方法並應用於專業實踐中，是今後教學改革的重點方向。當代高職生，在學習了多門數學課程後，要善於將數學理論與專業實踐和生活實際緊密結合，發現身邊的數學，在實踐中學會建立數學模型，求解數學模型，培養創新思維，全面提高數學應用能力。
文章來源：範文先生網
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