系統化,輕快學習高中數學三角函數的圖像、性質及其變換必備知識

2021-01-20 高考自主學習課堂

0. 必備基礎

1) 函數的概念與性質

2) 任意角、弧度制、任意角三角函數的概念與性質

1.三角函數的圖像與性質

1) 三角函數概念

三角函數是基本初等函數之一,是以角度(數學上最常用弧度制,下同)為自變量,角度對應任意角終邊與單位圓交點坐標或其比值為因變量的函數。也可以等價地用與單位圓有關的各種線段的長度來定義。

三角函數在研究三角形和圓等幾何形狀的性質時有重要作用,也是研究周期性現象的基礎數學工具。在數學分析中,三角函數也被定義為無窮級數或特定微分方程的解,允許它們的取值擴展到任意實數值,甚至是複數值。

常見的三角函數包括正弦函數、餘弦函數和正切函數。不同的三角函數之間的關係可以通過幾何直觀或者計算得出,稱為三角恆等式。

2) 三角函數的圖像與性質

提示:在函數模塊中,我已經熟練掌握研究與分析『函數』的一般方法(或模型)——即常常通過定義域、值域、奇偶性、、對稱性、周期性、圖像、圖像變換等方面)來研究與分析函數的特性。本文也利用該通用模型來描述三角函數的特性。

(下表中,A>0、ω>0,k∈Z)

提示1:單位圓中,角度變化,sin值(即正弦函數線)也跟著變化。以角度為自變量,在平面直角坐標系中把這個過程中的sin值描出來,可以得到正弦函數f(x)=sinx的圖像。同理,也可得到其它三角函數的圖像。θ

提示2:由cosx = sin(x+π/2),可知正弦圖像左移π/2就得到餘弦圖像。

提示3:三角函數常採用五點法作圖(零點+最值,共5個框架點;三行數據,即對應三層複合),其一般方法為:

① 列表(4×6);

② 填中間兩行;

③ 求解頂、底行;

④ 最後描點、繪圖。

提示4:正弦型函數的有關說明:

① 正弦型函數的y=Asin(ωx+φ)+B可看作三層複合,即內層的一次函數、中間的正弦函數、外層的一次函數

② 參數作用

A - 震動幅度,影響最值範圍;

B - 高低位置,(垂直平移)影響最值平均值;

ω – 頻率,影響周期(2π/ω=T);

Φ – 初相,即函數的初始相位(x=0時)。

3) 三角函數圖像的變換

1) 平移變換

水平和垂直平移口訣-「左加右減、上加下減」(上下指等號右邊加減);

2) 伸縮變換

垂直伸縮y=af(x),縱坐標變為a倍(橫坐標不變);水平伸縮y=f(ax),橫坐標變為1/a(縱坐標不變)。

3) 對稱變換

包括以下四種:

① y=f(-x)即關於y軸的對稱變換

② y=-f(x)即關於x軸的對稱變換

③ y=f(|x|)即y軸的右側部分保留而左側部分翻折到右側

④ y=|f(x)|即x軸的上方部分保留而下方部分翻折到上方等四種變換。

提示:圖像變換操作是針對自變量x或因變量y而言的。

溫馨提示:本文屬於高中數學《三角函數與平面向量》模塊,更多資料正在創作中,歡迎持續關注。

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