速成零基礎數學三角函數（旋轉坐標系角度相關基礎知識）
三角函數基礎知識
函數是指在某個變化過程中，有兩個互相依賴的變量x和y，如果x取某值，y則依照確定的關係取相應值，這時，y是x的函數。例如，騎自行車以20km/h的速度行駛，行駛的路程s與行駛的時間t的關係為：s=201；路程s是隨時間1的變化而變化，s與t之間有一種對應關係，由於s和t可取不同的數值，所以是變量，而20的數值保持不變，所以是常量。如果給變量1一個值，另一個變量s則可得到唯一的相應值；對於時間t的每一個值，行駛路程s都有唯一的值與它對應，這時，行駛路程s是時間t的函數。
一、直角三角形及其六種三角函數
三角形用符號「△」表示，它是由三條線段組成的封閉幾何圖形（圖1-1），組成三角形的線段叫做三角形的邊，相鄰兩邊的公共端點叫做三角形頂點，相鄰兩邊所組成的角為三角形內角。三角形三個角的大小不一定相等，但三角形內角的和總是等於180。
在圖1-1a所示的直角三角形中，A和LB互為餘角，∠A+ ∠B=900，直角所對的邊c叫斜邊。對銳角A來說，a邊是角A的對邊，6邊是角A的鄰邊，但對2B來說，a邊是∠B的鄰邊，而b邊是∠B的對邊。在直角三角形中，斜邊永遠對著直角，而鄰邊和對邊是相對變化的，所以，計算中要先確定銳角∠A或∠B，然後找出三角函數的關係。
由於函數本身的意義就是互相依賴的變量，它在直角三角形中同樣是某角的應變數，它隨角度的變化而變化。一個直角三角形（圖1-1a），如果知道了其中的任意兩個邊，那就可以知道銳角∠A或∠B的角度大小，同理，如果知道任意一個銳角和一條邊，也可以得到其他兩條邊的長短尺寸。
在直角三角形中，它的三角函數有六種，其定義和計算公式見表1-5。計算時，正弦、正切和正割的函數值隨角度的增大而增大，但不是和角度成正比例關係，也就是說，角度增大一倍，函數不是增加一倍；相反，餘弦、餘切和餘割的函數值是隨角度的增大而減小，同樣，也不成比例關係，就是說角度增加一倍，函數值不是相應減小一倍。
從表1-5可知
在實際應用中，只要記住正弦、餘弦、正切的函數公式就可以了，因為正弦和餘割、餘弦和正割、正切和餘切互為倒數關係，即：
三角函數是在坐標系中定義
角度與弧度的互化
二、30、45、60的三角函數值及其關係式
30，45，60的三角函數值見表1-6
從表1-6可看出如下關係式：
三、應用三角函數計算直角三角形的一般方法
利用表1-5中三角函數的公式進行計算，必須具備三個元素，即直角三角形的某角和兩個邊，如果求算角度，就必須知道兩個邊的尺寸，如果求算某邊，就必須知道一個角的度數和一個邊的長度，這一角兩邊就是直角三角形的計算元素。
1，求算直角三角形角度
求算角度有兩種形式：
（1）已知兩邊求角度 根據兩個已知邊，找出要計算的角（圖1-1a中的角A或角B），看它是屬於哪種函數，然後用表1-5中的有關公式進行計算。
（2）已知一角求另一角的度數 由於直角三角形兩銳角∠A和∠B互為餘角圖1-1a），∠A+∠B=90，所以，∠A=90-∠B.∠B=90-∠A。
2，求算直角三角形邊長
（1）已知一角一邊求算另一邊 根據已知邊求算角度，先看它是屬於哪種函數關係，然後從表1-3中找出有關公式進行計算。
如圖1-1a中，已知∠B和a邊，需求算c邊。從表1-3中查出：a/c=cosB，這時，c=a/cosB.
（2）已知兩邊求算另一邊 這種類型的計算有兩種方法，一種方法是利用三角函數，這時，先求出角度，然後利用一角一邊的方法算出另一邊；另一種方法是利用幾何定理中的勾股弦定理。
3，通過角和線間的關係組成直角三角形
實際工作中，遇到的圖形和形狀有圓形或多邊形等，往往不是現成的直角三角形，這在計算中就需要利用幾何圖形中的角和線間的關係，通過畫各種輔助線（平行線、垂直線、對角線、分角線、切線）方法組成直角三角形，然後才能進行計算。常用以下幾種形式：
（1）應用計算元素組成直角三角形 圖1-2中，已知正方形邊長a，求算對角線AB長。這時，連接AB得到直線c，組成直角三角形ABC進行計算。
圖1-3中的燕尾槽鑲條，已知寬度a和角度a，要求計算法向厚度b，這時，連接AC，組成直角三角形ABC進行計算。
（2）平分對稱圖形得到直角三角形 圖1-4所示是等腰三角形的對稱圖形，已知d和L，求算錐角a。這時，從頂點畫一條垂直平分線，平分對稱圖形得到一個直角三角形，再進行計算。
圖1-5所示是一個正六邊形，已知邊長s和角度a（a-360/60），要求算出外接圓半徑R。因為局部幾何圖形ABO不是直角三角形，而是一個對稱圖形。這時，同樣通過平分而得到一個直角三角形。已知數S/2、a/2和未知數R組成了這個三角形的計算元素，這樣計算就比較方便。
（3）畫已知邊和未知邊的平行線組成直角三角形 在圖1-6中，已知高1，斜邊1，求算斜角a。如果從A點畫梯形的高AC，就得到直角三角形ABC.
∠BAC=a，所以已知數l和L及未知數a組成了這個三角形的計算元素。
（4）畫輔助線簡算未知數（或簡算已知數）組成直角三角形 在圖1-7中，已知a、b和h，要求算a。為了組成直角三角形，可畫輔助線簡算已知數，即A點作垂直線AC，就得到直角三角形ABC。但是這個三角形ABC只有一個已知數h和未知數a，要進行計算，還缺少一個已知邊。這時，可將已知數簡算而使它成為一個已知邊BC=（b-a）/2，這樣就可以進行計算了。
（5）利用圓（圓弧）的切線和半徑組成直角三角形 凡是遇到有圓或圓弧組成的圖形，可以應用切線和過切點的半徑相垂直（圖1-12）的幾何定理，把切線和切點處半徑聯成直角三角形。如圖1-8所示，已知S和R，求算a。這時，可連接切點處半徑0B組成直角三角形ABC。已知邊R、S和求算數a角組成計算元素，進行計算。
以上五種組成直角三角形的方法是典型的例子，實際工作中遇到的幾何圖形往往比這些圖形複雜，但一般來說都可以應用這些典型方法來組成直角三角形，或由以上幾種方法的組合來找出直角三角形，這樣就容易進行計算了。
四.常用幾何定理
幾何定理和三角函數一樣，都是機械加工以及技術測量過程中最常用到的計算。實際計算時，又往往出現這樣的情況，就是在用三角函數計算的同時，又要結合幾何定理去求解；或者在用幾何定理進行求解的同時，常常要用三角函數去計算，兩者雖然計算方法不同，但都是互相依存的統一體，因此熟悉和掌握並使兩者聯繫起來，找出計算規律和計算途徑，以便靈活地進行種種計算，都是需要解決的問題。
一、計算長度的幾何定理
1.勾股定理
勾股定理是幾何中一個非常重要的定理，應用很廣。
在圖1-1a所示的直角三角形中，斜邊c叫做弦，兩個直角邊中的短邊a叫做勾，長邊b叫做股。當勾是3，股是4，那麼弦就等於5，並且，所有的直角三角形都具有這個性質。
勾股定理就是直角三角形的斜邊平方等於其他兩邊的平方和。
根據勾股定理，在直角三角形中，已知任意兩條邊長，都可以求出第三條邊長，使用這個定理計算長度非常方便。
二、常用計算角度的幾何定理
三、應用幾何定理求算尺寸的一般方法
利用幾何方法求算長度，勾股定理用得最多。應用勾股定理進行計算，也需要先組成一個直角三角形，其計算和用三角函數中的方法大致相同。
1，應用幾何計算組成直角三角形
圖1-15所示是個截圓形，已知直徑d和平面間厚度h，求平面部分的寬度b，這時，從A點到B點和A點到C點作輔助線，這樣，d、b和h組成了直角三角形ABC。
圖1-16中，已知R和H，求算L，這時，利用簡算後的已知數（R-H）和R及要求算的數L組成直角三角形ABC，進行計算。
圖1-17中，已知弓形長S和弓形半徑R，求算弓形高b，這時，可利用未知數h和已知數S/2與R組成直角三角形ABO，求出h，則可算出b（b=R-h）。
2，應用幾何定理計算示例
（1）截圓形尺寸互算 圖1-18所示是截圓形，D是圓的直徑，A是平面部分的寬度，B是兩平面對邊距離。計算長度和距離時，根據勾股定理得到下式：
【例】有一工件直徑D=30mm（圖1-19），平面部分的寬度A要求為22mm，問對邊距離B是多少？
【例】設工件（圖1-20）槽深H=10mm，要在長15mm內用圓弧來連接，問圓弧半徑R為多少？
【例】圖1-21的圓軸，大直徑D=35mm，小直徑d=25mm，在大小兩軸間的8mm長度內以圓弧連接（即L=8mm），求圓角半徑R為多少？
【例】某工件的大小圓軸間的圓弧半徑R=8mm，大軸直徑D=40mm，小軸直徑d-32mm，問圓弧部分的軸向長度L為多少？
【例】要加工一個正三角形衝模的衝頭，三角形邊長是30mm，如果用圓形工具鋼來加工，問該用多大直徑的圓料？
【例】一圓錐體底圓直徑D= 100mm，垂直高h=140mm，問斜高1為多少？
【例】一截圓錐體上底直徑d-200mm，下底直徑D=320mm，垂直高h=210mm，求算它的斜高1為多少？