名校考研真題
第1章多項式
一、判斷題
1．設Q是有理數域，則P＝{α＋βi|α，β∈Q}也是數域，其中
．（）[南京大學研]
【答案】對查看答案
【解析】首先0，1∈P，故P非空；其次令a＝α1＋β1i，b＝α2＋β2i其中α1，α2，β1，β2為有理數，故
a±b＝（α1＋β1i）±（α2＋β2i）＝（α1±α2）＋（β1±β2）i∈P
ab＝（α1＋β1i）（α2＋β2i）＝（α1α2－β1β2）＋（α1β2＋α2β1）i∈P
又令c＝α3＋β3i，d＝α4＋β4i，其中α3，α4，β3，β4為有理數且d≠0，即α4≠0，β4≠0，有
綜上所述得P為數域．
2．設f（x）是數域P上的多項式，a∈P，如果a是f（x）的三階導數f（x）的k重根（k≥1）並且f（a）＝0，則a是f（x）的k＋3重根．（）[南京大學研]
【答案】錯查看答案
【解析】反例是f（x）＝（x－a）k＋3＋（x－a）2，這裡f（a）＝0，並且f（x）＝（k＋3）（k＋2）（k＋1）（x－a）k滿足a是f（x）的三階導數f（x）的k重根（k≥1）．
3．設f（x）＝x4＋4x－3，則f（x）在有理數域上不可約．（）[南京大學研]
【答案】對查看答案
【解析】令x＝y＋1，則f（y）＝y4＋4y3＋6y2＋8y＋2，故由艾森斯坦因判別法知，它在有理數域上不可約．
二、計算題
1．f（x）＝x3＋6x2＋3px＋8，試確定p的值，使f（x）有重根，並求其根．[清華大學研]
解：f′（x）＝3（x2＋4x＋p）．且（f（x），f′（x））≠1，則
（1）當p＝4時，有（f（x），f′（x））＝x2＋4x＋4
所以x＋2是f（x）的三重因式，即f（x）（x＋2）3，這時f（x）的三個根為－2，－2，－2．
（2）若p≠4，則繼續輾轉相除，即
當p＝－5時，有（f（x），f′（x））＝x－1
即x－1是f（x）的二重因式，再用（x－1）2除f（x）得商式x＋8．故
f（x）＝x3＋bx2－15x＋8＝（x－1）2（x＋8）
這時f（x）的三個根為1，1，－8．
2．假設f1（x）與f2（x）為次數不超過3的首項係數為1的互異多項式，且x4＋x2＋1整除f1（x3）＋x4f2（x3），試求f1（x）與f2（x）的最大公因式．［上海交通大學研］
解：設6次單位根分別為
由於x6－1＝（x2）3－1＝（x2－1）（x4＋x2＋1），所以ε1，ε2，ε4，ε5是x4＋x2＋1的4個根.
由於ε13＝ε53＝－1，且x4＋x2＋1∣f1（x3）＋x4f2（x3），所以，分別將ε1，ε5代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得
從而f1（－1）＝f2（－1）＝0
即x＋1是f1（x）與f2（x）的一個公因式．
同理，將ε2，ε4代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得f1（1）＝f2（1）＝0，即x－1是f1（x）與f2（x）的一個公因式．
所以（x－1）（x＋1）是f1（x）與f2（x）的一個公因式．
又因為f1（x），f2（x）為次數不超過3的首項係數為1的互異多項式，所以（f（x），g（x））＝x2－1
三、證明題
1．設不可約的有理分數p/q是整係數多項式f（x）＝a0xn＋a1xn－1＋…＋an－1x＋an的根，證明：q∣a0，p∣an[華中科技大學研]
證明：因為p/q是f（x）的根，所以（x－p/q）∣f（x），從而（qx－p）∣f（x）．又因為p，q互素，所以qx－p是本原多項式[即多項式的係數沒有異於±l的公因子]，且
f（x）＝（qx－p）（bn－1xn－1＋…＋b0，bi∈z
比較兩邊係數，得a0＝qbn－1，an＝－pb0q∣a0，p∣an
2．設f（x）和g（x）是數域P上兩個一元多項式，k為給定的正整數．求證：f（x）∣g（x）的充要條件是fk（x）∣gk（x）[浙江大學研]
證明：（1）先證必要性．設f（x）∣g（x），則g（x）＝f（x）h（x），其中h（x）∈P（x），兩邊k次方得gk（x）＝fk（x）hk（x），所以fk（x）∣gk（x）
（2）再證充分性．設fk（x）∣gk（x）
（i）若f（x）＝g（x）＝0，則f（x）∣g（x）
（ii）若f（x），g（x）不全為0，則令d（x）＝（f（x），g（x）），那麼
f（x）＝d（x）f1（x），g（x）＝d（x）g1（x），且（f1（x），g1（x））＝1①
所以fk（x）＝dk（x）f1k（x），gk（x）＝dk（x）g1k（x）
因為fk（x）∣gk（x），所以存在h（x）∈P[x]（x），使得gk（x）＝fk（x）·h（x）
所以dk（x）g1k（x）＝dk（x）f1k（x）·h（x），兩邊消去dk（x），得g1k（x）＝f1k（x）·h（x）②
由②得f1（x）∣g1k（x），但（f1（x），g1（x））＝1，所以f1（x）∣g1k－1（x）
這樣繼續下去，有f1（x）∣g1（x），但（f1（x），g1（x））＝1
故fl（x）＝c，其中c為非零常數．
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