1. 按定義證明下列極限：
(1)lim(x→+∞)(6x+5)/x=6；(2)lim(x→2)(x^2-6x+10)=2；
(3)lim(x→∞)(x^2-5)/(x^2-1)=1；(4)lim(x→2-)√(4-x^2)=0.
證：(1)當x>0時，ε>0，要使|(6x+5)/x-6|=5/x<ε，只需取M=5/ε，
則當x>M時，就有|(6x+5)/x-6|<ε，∴lim(x→+∞)(6x+5)/x=6.
(2)當0<|x-2|<1時，有|(x^2-6x+10)-2|=|x-2|·|x-4|≤|x-2|(|x-2|+2)<3|x-2|，
ε>0，只要取δ=min{1,ε/3}，則當0<|x-2|<δ時，就有|(x^2-6x+10)-2|<ε,
∴lim(x→2)(x^2-6x+10)=2.
(3)當|x|>2時，ε>0，
要使|(x^2-5)/(x^2-1)-1|=4/(|x-1||x+1|)<4/(|x|)<ε，
只需取M=max{2,4/ε}，
則當|x|>M時，就有|(x^2-5)/(x^2-1)-1|<ε，
∴lim(x→∞)(x^2-5)/(x^2-1)=1；
(4)由4-x^2≥0，可得-2≤x≤2；
∴當2-4<x<2時，ε>0，
要使|√(4-x^2)-0|=√((2+x)(2-x))≤2√(|x-2|)<ε,
即|x-2|<ε^2/4，只需取δ=min{4, ε^2/4}，就有|√(4-x^2)-0|<ε,
∴lim(x→2-)√(4-x^2)=0.
2、根據定義2敘述lim(x→x0)f(x)≠A.
解：函數f在點x0的某個空心鄰域U(x0;δ』)內有定義，A為定數。若存在某個正數ε，使得對任意正數δ(<δ』)，總存在x』，滿足0<|x』-x0|<δ，且|f(x』)-A|≥ε，則稱x→x0時函數f不以A為極限，記作：lim(x→x0)f(x)≠A.
3、證明lim(x→x0)f(x)=A<=>lim(h→0)f(x0+h)=A.
證：[必要性]若lim(x→x0)f(x)=A，則ε>0，都有正數δ，使
當0<|x-x0|<δ時，|f(x)-A|<ε. 從而當0<|h|<δ時，有
0<|(x0+h)-x0|<δ，於是|f(x0+h)-A |<ε，∴lim(h→0)f(x0+h)=A.
[充分性]若lim(h→0)f(x0+h)=A，則ε>0，都有正數δ，使
當0<|h|<δ時，|f(x0+h)-A|<ε. 當0<|x-x0|<δ時，h=x-x0滿足0<|h|<δ，
從而|f(x)-A|=|f(x0+h)-A|<ε，∴lim(x→x0)f(x)=A.
4、證明：若lim(x→x0)f(x)=A，則lim(x→x0)|f(x)|=|A|，其逆命題成立嗎？若且唯若A為何值時反之也成立？
證：∵lim(x→x0)f(x)=A，∴ε>0，都有正數δ，使當0<|x-x0|<δ時，|f(x)-A|<ε.
又|f(x)-A|≥||f(x)|-|A||，∴||f(x)|-|A||<ε，∴lim(x→x0)|f(x)|=|A|.
其逆命題不成立。如對
且lim(x→0)|f(x)|=1，但lim(x→0+)f(x)=-1，lim(x→0-)f(x)=1，
∴lim(x→0)f(x)不存在.
事實上，當lim(x→x0)|f(x)|=|A|時，
ε>0，都有正數δ』，使當0<|x-x0|<δ』時，||f(x)|-|A||<ε.
∵|f(x)-A|≥||f(x)|-|A||，∴僅當|f(x)-A|=||f(x)|-|A||時，|f(x)-A|<ε.
即當A=0時，反之成立。
5、討論下列函數在x→0時的極限或左、右極限.
(1)f(x)=|x|/x；(2)f(x)=[x]；
解：(1)當x>0時，f(x)=1，
∴lim(x→0+)f(x)=1；當x<0時，f(x)=-1，∴lim(x→0-)f(x)=-1；
(2)當0<x<1時，f(x)=0，∴lim(x→0+)f(x)=0；
當-1<x<0時，f(x)=-1，∴lim(x→0-)f(x)=-1；
(3)當x>0時，f(x)=2^x，∴lim(x→0+)f(x)=lim(x→0+)2^x=1；
當x<0時，f(x)=1+x^2，lim(x→0-)f(x)=lim(x→0-)(1+x^2)=1；
∴lim(x→0)f(x)=1.
6、設lim(x→+∞)f(x)=A，證明lim(x→0+)f(1/x)=A.
證1：ε>0，∵lim(x→+∞)f(x)=A，
∴有正數M，使當x>M時，|f(x)-A|<ε.
從而有正數δ=1/M，使當0<x<δ，即1/x>M時，有|f(1/x)-A|<ε，
∴lim(x→0+)f(1/x)=A.
證2：ε>0，∵lim(x→+∞)f(x)=A，
∴有正數M，使當x>M時，|f(x)-A|<ε/2.
設lim(x→0+)f(1/x)=B，則有正數δ，使當0<x<δ時，|f(1/x)-B|<ε/2.
令η=min{δ,1/M}，則當0<x<η時，1/x>M，從而有|f(1/x)-A|<ε/2.
於是當0<x<η時，|A-B|≤|f(1/x)-A|+|f(1/x)-B|<ε.
由ε的任意性可知A=B. ∴lim(x→0+)f(1/x)=A.
7、證明：對黎曼函數R(x)有lim(x→x0)R(x)=0,x0∈[0,1]
(當x0=0或1時，考慮單側極限)
證：[0,1]上的黎曼函數定義如下
任取x0∈[0,1]，對ε>0，滿足n≤1/ε的自然數n至多有有限個，
於是在[0,1]中至多有有限個既約真分數p/q，使得R(p/q)=1/q≥ε.
取δ>0，使x0空心鄰域U(x0, δ)內不含這樣的既約分數，
則只要0<|x-x0|<δ(對x0=0，只要0<x<δ；對x0=1，只要1-δ<x<1)，
不論x是否為無理數，有|R(x)|<ε，∴lim(x→x0)R(x)=0,x0∈[0,1].