高中:問△F1AB內切圓面積的最大值?該面積和韋達定理的紐帶須知

2020-12-15 玉w頭說教育

原題

原題：已知橢圓C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦點分別為F1，F2，以F2為圓心、過橢圓左頂點M的圓與直線3x－4y+12=0相切於點N，且滿足向量MF1=向量F1F2/2.

⑴求橢圓C的標準方程。

⑵過橢圓C右焦點F2的直線L與橢圓C交於不同的A，B兩點，問△F1AB內切圓的面積是否有最大值？若有，求出最大值；若沒有，說明理由。

圖一

該題分為兩個問題，第一問是求解橢圓的標準方程，也是第二問中使用韋達定理必要的條件。

而第二問是橢圓和直線相交的題，一般這樣的題都是要結合韋達定理來解題，但是該題的問題的是「△F1AB內切圓的面積是否有最大值？」，這就需要將該三角形的內切圓的面積和韋達定理聯繫起來。

而建立起三角形F1AB的內切圓的面積和韋達定理的紐帶就是該三角形的面積。

第一問

第一問是要求橢圓的標準方程。

要想求出該橢圓的標準方程，需要藉助給出的向量之間的關係得出a和c的關係，再根據點到直線的距離公式和圓的性質得出關係a和c的方程，從而解出a和c的值，再根據橢圓中參數之間的關係得出b的值，即可求出該橢圓的標準方程。

具體做法：

根據題意作出圖形有

圖二

因為向量MF1=向量F1F2/2，所以有a－c=c，所以a=2c①。

根據點到直線距離公式得出焦點F2到直線3x－4y+12=0距離為F2N=|3c+12|/√(3^2+4^2)=|3c+12|/5.

又因為N點是圓F2和直線3x－4y+12=0的切點，所以F2N等於圓F2的半徑。

又因為圓F2過橢圓左頂點M，所以圓F2的半徑R=c+a。

所以有|3c+12|/5=c+a，c>0，所以(3c+12)/5=c+a，整理得到5a+2c=12②.

由①②聯立解得到a=2,c=1，又因為a^2=b^2+c^2，所以b=√3.

所以該橢圓的標準方程為x^2/4+y^2/3=1.

第二問

先建立△F1AB 內切圓的面積和該三角形面積的聯繫，然後再建立該三角形面積和韋達定理的聯繫，通過韋達定理得出三角形F1AB面積的最大值，從而得出△F1AB 內切圓的面積的最大值。

圖三

⑴建立△F1AB 內切圓的面積和該三角形面積的聯繫。

△F1AB 內切圓的面積和該三角形面積之間的聯繫是三角形F1AB內切圓的半徑r。要想△F1AB 內切圓的面積最大則只需要該三角形內切圓半徑最大即可，而該三角形的面積也可以用該三角形內切圓半徑r來表示，即S△F1AB=1/2·△F1AB周長·r。

因為△F1AB的周長為F1A+AB+F1B=BF1+BF2+AF1+AF2=2a+2a=4a=8，即該△F1AB的周長是固定的，所以根據公式S△F1AB=1/2·△F1AB周長·r，則有該三角形的面積越大，則該三角形內切圓的半徑就越大。

⑵建立△F1AB面積和韋達定理的聯繫。

如果設A(x1,y1),B(x2,y2)，該三角形的面積還可以表示成S△F1AB=1/2·|F1F2|·|y1－y2|，因為|F1F2|的長度是定值，所以該三角形的面積取決於兩點的縱坐標之差的絕對值，根據這兩點縱坐標之差的絕對值就可以將該三角形的面積與韋達定理建立起聯繫。

根據題意，直線L的斜率不為零，但是該斜率可能不存在，又因為該直線L過橢圓的右焦點，所以可設直線L的方程為x=my+1。

將該直線L方程x=my+1與橢圓x^2/4+y^2/3=1聯立得到(3m^2+4)y^2+6my－9=0，此時判別式等於(6m)^2+36(3m^2+4)是大於0恆成立的。

根據韋達定理有y1+y2=－6m/(3m^2+4)，y1·y2=－9/(3m^2+4)，所以有|y1－y2|=√[(y1+y2)^2－4y1·y2]=12√(m^2+1)/(3m^2+4)。

令t=√(m^2+1)，則t≥1，所以S△F1AB=12t/(3t^2+1)=4/(t+1/3t)。

⑶求出三角形F1AB面積的最大值。

設f(t)=4/(t+1/3t)，則當t≥1時，一次導數f＇(x)=1－1/3t^2>0恆成立，所以f(t)=4/(t+1/3t)在t≥1上是單調遞增函數。

所以該函數f(t)有最小值，即f(t)min=f(1)=4/3.

所以三角形F1AB的面積有最大值，即S△F1AB=4/f(1)=3，此時t=1，即m=0，所以該直線L的方程為x=1.

⑷得出△F1AB 內切圓的面積的最大值。

因為S△F1AB=3，根據S△F1AB=1/2·△F1AB周長·r，所以r=3/4。

根據三角形F1AB內切圓面積公式S=π·r^2得出該三角形內切圓的面積最大值為9π/16.

所以△F1AB內切圓的面積有最大值，即且9π/16.

總結

解決這道題需要將韋達定理和要求的三角形F1AB的內切圓的面積聯繫起來，這裡需要藉助該三角形面積的不同公式的使用。

三角形的面積可以用三角形的底和高的乘積表示，也可以用三角形的周長和該三角形內切圓半徑乘積來表示，又可以用兩點坐標之差的絕對值來表示。

該題就是根據三角形面積的不同表示建立起的聯繫。

證明橢圓中兩角相等？只需將它和韋達定理結合——思路瞬間清晰

高中：勁爆知識點來襲，資料上一般都沒有的橢圓知識點，需要的進

當三角形的面積取最大值時求邊c，判斷∠C?其實是運用均值不等式

詳細講解用分步討論的方法來求直線和橢圓位置關係的題型

詳細講解三角形中邊的取值範圍的題

相關焦點

  • 給出邊和角的關係求△ABC內切圓半徑?根據內心特點求半徑?太複雜
    這道題可以根據三角形的面積公式去求解，即公式S=1/2 Lr，這裡的r就是三角形內切圓半徑，L是三角形的周長，S是該三角形的面積。所以想要求出該三角形的半徑，只需要求出該三角形的面積和該三角形周長即可。
  • 此題是圓的計算題,求面積最大值和線段長,構造特殊三角形是關鍵
    今天，數學世界分享一道有關圓的計算綜合題，涉及垂徑定理、等腰直角三角形的判定和性質等知識。 一直以來，數學世界都是精心選擇一些數學題分享給大家，目的是希望由此激發學生們對數學這門課程的興趣，並能給廣大學生的學習提供一點幫助！接下來，數學世界就與大家一起來看題目吧！
  • 不用微積分,如何計算圓面積
    詢問任何人圓的面積是多少，他們都會告訴你不就是r嗎。但如果你問他們為什麼，他們很可能並不知道。這是因為圓的面積公式的證明在大多數情況下要麼不直觀，不令人滿意，要麼充斥著積分等高級數學概念。借鑑統計學習和機器學習的核心原理，我們可以使用蒙特卡羅模擬和多項式/二次回歸來創建基於計算的方法，以找到圓的面積公式。在不使用任何數學運算的情況下得出圓的面積，我們使用了蒙特卡羅方法。從探索不規則形狀的面積到預測股票市場的情況，都用到了蒙特卡羅方法。
  • 初中數學的一大攔路虎,教你妙招分分鐘降伏,韋達定理的詳細推導
    韋達還致力於數學研究，第一個有意識地和系統地使用字母來表示已知數、未知數及其乘冪，帶來了代數學理論研究的重大進步。1965年弗朗索瓦·韋達在著作《論方程的識別與訂正》中建立了方程根與係數的關係，提出了這條定理。由於韋達最早發現代數方程的根與係數之間有這種關係，人們把這個關係稱為韋達定理。
  • 初三數學:一元二次方程中根與係數的關係——韋達定理
    我們前面學習過了一元二次方程的求根公式，發現方程的解與各個項的係數有一定的內在聯繫，那麼我們在公式法的基礎上又推導了韋達定理，我們來看下韋達定理的基礎內容和它的推導過程。也就是說韋達定理可以幫助我們快速得求得兩根之和及兩根之積，而不需要具體得去求解方程。
  • 與圓有關的定理
    2、託勒密定理首先，這是它的內容圓的內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等於 一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。用幾何語言表示就是：圓內接凸四邊形ABCD，AB*CD+AD*BC=AC*BD當然，他的逆定理也是成立的，內容如下：凸四邊形的兩組對邊乘積和不小於其對角線的乘積，取等號若且唯若共圓或共線。
  • 一元二次方程根與係數的關係(韋達定理)深度解析
    【學習目標】1、學會用韋達定理求代數式的值。2、理解並掌握應用韋達定理求待定係數。3、理解並掌握應用韋達定理構造方程，解方程組。4、能應用韋達定理分解二次三項式。【內容分析】韋達定理：對於一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，如果方程有兩個實數根x,x，那麼x+x=-b/a,x×x=c/a說明：（1）定理成立的條件b-4ac≥0（2）注意公式x+x=-b/a中的負號與b的符號的區別根系關係的三大用處（1）計算對稱式的值說明：利用根與係數的關係求值，要熟練掌握以下等式變形
  • 坐標中的面積最大值題目「套公式」分析,真的很簡單
    ∴C(2，0).故答案為6，(2，0)；(2)求△ODE面積的最大值．第一步：設點.第三步：根據二次函數的最大值的求法，求得△ODE的面積的最大值.(1)求一次函數和反比例函數的表達式；(2)求△DPQ面積的最大值．
  • 初中數學中考難點:九年級數學上冊圓及幾何動點最值問題考點解讀
    第03課三角形的外接圓、內切圓、外心、內心及弓形、扇形相關概念.第04課圓的基本性質：對稱性、垂徑定理、圓周角定理、圓內接四邊形、圓心角弦弧弦心距之間的關係，考點詳解.第05課圓的概念性質相關典型易錯題：北京、上海、湖北、廣東中考模擬題講解.
  • 專題5.2 動能和動能定理(精講)(解析版)
    考點一   動能定理的理解及應用【典例1】(2018·全國卷Ⅰ·18)如圖，abc是豎直面內的光滑固定軌道，ab水平，長度為2R；bc是半徑為R的四分之一圓弧，與ab相切於b點．一質量為m的小球，始終受到與重力大小相等的水平外力的作用
  • 2020初三數學複習:從內切與外接角度看三角形、四邊形與圓的關係
    分析連接BI，如圖，根據三角形內心的性質得∠1＝∠2，∠5＝∠6，再根據圓周角定理得到∠3＝∠1，然後利用三角形外角性質和角度的代換證明∠4＝∠DBI，從而可判斷DI＝DB．點評本題考查了三角形的內切圓與內心：三角形的內心到三角形三邊的距離相等；三角形的內心與三角形頂點的連線平分這個內角．也考查了三角形的外接圓和圓周角定理
  • 初中數學一元二次方程根與係數的關係,韋達定理一定要學透
    學習一元二次方程，就必須要提到韋達定理，這個定理的重要性超乎你的想像，和它的諧音一樣，偉大定理。它很形象，很簡便的展示了根和係數的關係。a，b，c的關係，也就是韋達定理。其實證明的過程也不複雜，利用求根公式也可以證明用韋達定理判斷方程的根一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)中，一定需要注意的是△的大小。
  • 立體幾何中錐體的內切球問題專項練習
    處理錐體中內切球問題時，我們常用轉化法，利用錐體的體積和面積的比值來求半徑，即R=3V/S，相類比，在三角形中內切圓的半徑r=2s/a+b+c，這兩個公式是處理內切球問題中最常用的兩個，內切球問題其實就是錐體體積和表面積問題，處理時依舊可轉化為平面幾何中長度的求法，由於此類問題較少，今選取8道相關的題目予以分享。
  • 高中:拋物線中課本沒有的知識點且又是需要掌握的重點內容,在這
    由梯形中位線定理得到|GG1|=(|PP1|+|QQ1|)/2。根據拋物線上的點到準線的距離等於該點到焦點的距離有|PP1|=|PF|，|QQ1|=|QF|，所以有|GG1|=(|PP1|+|QQ1|)/2=（|PF|+|QF|）/2=|PQ|/2。所以點G到準線的距離等於以PQ為直徑圓的半徑，所以以PQ為直徑的圓與拋物線的準線L相切。
  • 小學數學,圓的面積公式原來是這麼推導出來的
    不論是圓的周長還是面積都與π有關。比如說圓的周長C=2πr或πd。 面積S=πr.r一個圓的位置在哪裡？取決於圓心，但圓的大小取決於半徑。圓上任意一點與圓心的連線所形成的線段，就是圓的半徑。所以說圓會有無數條半徑，也有無數條直徑，直徑等於兩倍半徑。圓的直徑也是圓的對稱軸，因此圓的對稱軸也是無數條。
  • 2021年中考數學知識點:等腰直角三角形面積公式
    中考網整理了關於2021年中考數學知識點：等腰直角三角形面積公式，希望對同學們有所幫助，僅供參考。 　　等腰直角三角形面積公式 　　=(1/2)*底*高 　　s=(1/2)*a*b*sinC(C為a，b的夾角) 　　底*高/2 　　底X高除2二分之一的（兩邊的長度X夾角的正弦） 　　s=1/2的周長*內切圓半徑 　　s=(1/2)*底*高 　　s=(1/2)
  • 2020年中考求圓陰影部分面積考點及題型預測,考前必看,錯過後悔
    02求圓陰影部分面積解題策略在圓有關圖形中求面積時，要先找到扇形的三個要素（圓心、圓心角、半徑），再利用扇形與其他圖形面積公式（陰影面積=總面積空白面積）結合求部分面積.【重點聚焦】（1）通常是把扇形和三角形、圓等圖形結合起來出題，解題技巧我們可以歸納為兩條：1）在求複雜圖形的面積時，常運用割補法解題；2）作輔助線構造扇形，求出圓心距解題.
  • 微積分原理,即求面積和求斜率是互逆運算
    微積分原理微積分原理，一言以蔽之，即，微分和積分是互逆的運算。在同濟版的高數教材中，有微積分基本定理，即∫f( x) dx= F(b)—F(a) (1)它是什麼意思呢？微積分基本公式，即牛頓萊布尼茨公式讓我們離開公式，積分就是求面積，這個積字就這麼來吧。