中考數學備戰032-不用歐拉定理,三個小題也可快求內外心距離

2020-12-22 陪你學數學

下面這個題目是求三角形的內心和外心距離,如果你知道平面幾何歐拉定理((d^2)=(R^2)-2Rr,R表示外接圓半徑,r表示內切圓半徑,d表示內外心距離),那這個題目你可以秒出答案,不過即使你不知道也沒問題。我教你通過把下面這道題分解成三道非常非常簡單的題目,也可以很快求出三角形內心和外心的距離。

題目:如圖,AB是圓M的直徑,C在圓M上,N是三角形ACB的內心,AC=4,BC=3,求MN的長.

三角形內心和外心的距離

例1.如下圖,N是三角形ACB的內心,若三角形ACB的角平分線CP交三角形ABC的外接圓於點P,連PA,PB和PN,求證:PA=PB=PN。

如上圖,PA=PN=PB

分析過程:由三角形內心的基本定義,我們可以推出∠CAN=BAN,∠ACP=∠BCP;由等角同弧對等角對等弦我們可以推出∠PCB=∠PAB,PA=PB.要證PA=PB,也就是證邊相等,我們常用的方式之一就是證角相等,證明∠NAP=∠PAN即可。∠ANP=∠ACP+∠CAN=∠BAN+∠BCP=∠BAN+∠BAP=∠PAN,AP=PN=PB得證。

例2:如圖,AB是圓M的直徑,N是三角形ACB的內心,延長CN交圓M於P,AC=4,BC=3,求CP。

對角互補+角平分線+雙垂法

例2:法1,分析:A,P,B,C四點均在圓上,連BP,則四邊形APBC是圓的內接四邊形,對角互補。而CP又是直角ACB的角平分線,那麼這就滿足簡單的對角互補+角平分線模型,可用旋轉法或雙垂法均可求出CP的值。我們在此處選用雙垂法,易得恆成立結論AC+BC=√(2)CP

特殊角構直角三角形+相似三角形計算

法2,分析:易得∠ACP=45°,特殊角考慮構直角三角形,作AE⊥PC,那麼AE:EC:AC=1:1:√(2),又有∠ABC=∠APC圓周角,△AEP△ACB。利用含45°角直角三角形和相似三角形也可以計算出結果,計算過程見上圖。

例3,如圖,AB是圓M的直徑,點P和點C在圓M上,MG⊥PC,AB=10,PC=8,求MG.

垂徑定理的運用

以上三個小例題非常簡單,我相信你肯定有能力很快做出來。最後我們就來用這三個小題的解題方法分三個步驟搞定最初提出的問題。

把難題分解成簡單小題

第一步:延長CN交圓M於點P,根據例2結論AC+BC=√(2)PC,可求PC=(7√(2)/2)

第二步:連PA,PB。根據例1結論PA=PB=PN,易求PN=PA=(AB/√(2))=(5√(2)/2)

第三步:詳見下圖。

垂徑定理+勾股定理

反思:其實通過解決這道題,你更應該明白掌握好基本知識,做好簡單題,多掌握簡單模型和經典結論對於我們來拆解難題,分步解決難題是多麼重要。

這個題目做完了,我們來通過歐拉定理秒殺一下,如果選填題的話,你想怎麼用就怎麼用,又快又準。

三角形外接圓半徑R=AB/2=5/2,設內切圓半徑r,由面積法可知:AC*BC/2=(AC+BC+AB)*r/2,易求r=1.

MN^2=d^2=R^2-2*r*R=5/4,MN=(√(5)/2).

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